菱形的判定(2)

2.6,菱形,2.6.2菱形的判定,如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？,图2-52,下面我们来证明这个结论.,AD=BC，AB=DC，,如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是菱形.,图2-53,又AB=AD，,四条边都相等的四边形是菱形.,由此得到菱形的判定定理1：,举例,图2-54,证明由于线段BD垂直平分AC，,因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.,在AOB和COD中，有1=2，AOB=COD，OA=OC.,所以OABOCD.,从而AB=CD.,因此四边形ABCD是菱形.(四条边都相等的四边形是菱形),所以BA=BC=DA=DC.,图2-54,菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？,过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.,图2-55,如图2-55，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？,你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？,图2-55,我们来进行证明.,又由于DB是线段AC的垂直平分线，,由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.,因此，DA=DC.,从而平行四边形ABCD是菱形.,图2-55,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,由此得到菱形的判定定理2：,AB=AD=5.,解四边形ABCD为平行四边形，,DAO是直角三角形.,DOA=90，即DBAC.,平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）,又AD=5，满足，,图2-56,1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.,提示：作一条线段长为4cm，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形.,如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MNBD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.,2.,例1,如图，如果要使ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.,AB=AD或ACBD等,例2,如图，已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EFAB，分别交AC、BC于E、F点，作PMAC，交AB于M点，连结ME.（1）求证：四边形AEPM为菱形.（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？,（1）EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形.AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC.又BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP.四边形AEPM为菱形.,解析,则,N,（2）P为EF中点时，,四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC.又EFAB，四边形EFBM为平行四边形.,作ENAB于N，,例3,如图，在四边形ABCD中，E为AB上一