2012年高考数学文科试题分类汇编：圆锥曲线

实用精品文献资料分享2012年高考数学文科试题分类汇编：圆锥曲线2012高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 1.【2012高考新课标文4】设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ） 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】 是底角为 的等腰三角形， ， ， = ， ， = ，故选C. 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） 【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ， = ， = ，解得 =2， 的实轴长为4，故选C. 3.【2012高考山东文11】已知双曲线 ： 的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为2，则抛物线 的方程为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知 ，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数 ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为 ，由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ，所以 。故选答案C 5.【2012高考全国文10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。 6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系. 【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为 ，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则 ，即 ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为 ， ， . 7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 解析设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为（ ），准线方程为x= , 点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离). 8.【2012高考四川文11】方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B 解析方程 变形得 ，若表示抛物线，则 所以，分b=-2,1,2,3四种情况： （1）若b=-2， ; （2）若b=2, 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条. 综上，共有14+9+9=32种 点评此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 9.【2012高考上海文16】对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】方程 的曲线表示椭圆，常数常数 的取值为 所以，由 得不到程 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 ，因而必要.所以答案选择B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数 的取值情况.属于中档题. 10.【2012高考江西文8】椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： ， ， .又已知 ， ， 成等比数列，故 ，即 ，则 .故 .即椭圆的离心率为 . 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 的方程，然后化为有关 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ： - =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】A 【解析】设双曲线C ： - =1的半焦距为 ，则 . 又 C 的渐近线为 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， ，即 . 又 ， ， C的方程为 - =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 12.【2102高考福建文5】已知双曲线 - =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D 【答案】C. 考点：双曲线的离心率。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率 即可。 解答：根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ，因此 .故选C. 二 、填空题 13.【2012高考四川文15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_。 【答案】 ， 解析根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1P F2,则OP F1O+OP F2O的值为_. 【答案】 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。 【解析】由双曲线的方程可知 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。 15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由 得 。 ，即 ，解得 。 16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 【答案】 . 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 的坐标为（0,0）， 设 与抛物线的交点为 ，根据题意，知 （-2，-2）， （2，-2） 设抛物线的解析式为 ， 则有 ， 抛物线的解析式为 水位下降1米，则 -3，此时有 或 此时水面宽为 米 17.【2012高考重庆文14】设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率 18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =_。 【答案】 【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为 得： 又 19.【2012高考天津文科11】已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ,则 【答案】1，2 【解析】双曲线的 渐近线为 ，而 的渐近线为 ，所以有 ， ，又双曲线 的右焦点为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 。 三、解答题20. 【2012高考天津19】（本小题满分14分） 已知椭圆 （ab0）,点P（ , ）在椭圆上。 （I）求椭圆的离心率。 （II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的斜率的值。 【解析】() 点 在椭圆上 () 设 ；则 直线 的斜率21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点P （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ， 。 由点 在椭圆上，得 椭圆的方程为 。 （2）由（1）得 ， ，又 ， 设 、 的方程分别为 ， 。 。 。 同理， 。 （i）由得， 。解 得 =2。 注意到 ， 。 直线 的斜率为 。 （ii）证明： ， ，即 。 。 由点 在椭圆上知， ， 。 同理。 。 由得， ， ， 。 是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。 22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分） 如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， =60. （）求椭圆 的离心率； （）已知 的面积为40 ，求a, b 的值. 【解析】（I） （）设 ；则 在 中， 面积 23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程. 【答案】 【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ， 点 代入椭圆 ，得 ，即 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， ，消去 并整理得 ， 因为直线 与椭圆 相切，所以 ， 整理得 ，消去 并整理得 。 因为直线 与抛物线 相切，所以 ， 整理得 综合，解得 或 。 所以直线 的方程为 或 。 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C： + =1（ab0）的一个顶点为A （2,0），离心率为 ， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N （）求椭圆C的方程 （）当AMN的面积为 时，求k的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 解：（1）由题意得 解得 .所以椭圆C的方程为 . （2）由 得 . 设点M,N的坐标分别为 ， ，则 ， ， ， . 所以|MN|= = = . 由因为点A(2,0)到直线 的距离 ， 所以AMN的面积为 . 由 ，解得 . 25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分) 如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8. ()求椭圆M的标准方程； () 设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值. 【答案】(21)(I) 矩形ABCD面积为8，即 由解得： ， 椭圆M的标准方程是 . (II) ， 设 ，则 ， 由 得 . . 当 过 点时， ，当 过 点时， . 当 时，有 ， ， 其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 . 由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 . 当 时， ， ， 由此知，当 时， 取得最大值 . 综上可知，当 和0时， 取得最大值 . 26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上。 （1） 求抛物线E的方程； （2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。 分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。 解答： （I）设 ；则 得：点 关于 轴对称（lfxlby） 代入抛物线 的方程得： 抛物线 的方程为（II）设 ；则 过点 的切线方程为 即 令 设 满足： 及 得： 对 均成立 以 为直径的圆恒过 轴上定点27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 （1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标； （2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： 解（1）双曲线 ，左焦点 . 设 ，则 ， 2分 由M是右支上一点，知 ，所以 ，得 . 所以 . 5分 （2）左顶点 ，渐近线方程： . 过A与渐近线 平行的直线方程为： ，即 . 解方程组 ，得 . 8分 所求平行四边形的面积为 . 10分 （3）设直线PQ的方程是 .因直线与已知圆相切，故 ， 即 (*). 由 ，得 . 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 . ，所以 . 由(*)知 ，所以OPOQ. 16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 ，它的渐近线为 ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 28【2012高考新课标文20】（本小题满分12分） 设抛物线C：x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （I）若BFD=90,ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程； （II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线 于 轴的焦点为E，圆F的半径为 ， 则|FE|= ， = ，E是BD的中点， () ， = ，|BD|= ， 设A( ， )，根据抛物线定义得，|FA|= ， 的面积为 ， = = = ，解得 =2， F(0,1), FA|= ， 圆F的方程为： ； () 【解析1】 ， ， 三点在同一条直线 上, 是圆 的直径， , 由抛物线定义知 ， ， 的斜率为 或 ， 直线 的方程为： ，原点到直线 的距离 = ， 设直线 的方程为： ，代入 得， ， 与 只有一个公共点， = ， ， 直线 的方程为： ，原点到直线 的距离 = ， 坐标原点到 ， 距离的比值为3. 【解析2】由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点 直 线 坐标原点到 距离的比值为 。 29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1， ）到抛物线C： =2px（P0）的准线的距离为 。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。 （1）求p,t的值。 （2）求ABP面积的最大值。 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】（1）由题意得 ，得 . （2）设 ，线段AB的中点坐标为 由题意得，设直线AB的斜率为k（k ）. 由 ，得 ，得 所以直线的方程为 ，即 . 由 ，整理得 ， 所以 ， ， .从而得 ， 设点P到直线AB的距离为d，则，设 ABP的面积为S，则 . 由 ，得 . 令 ， ，则 . 设 ， ，则 . 由 ，得 ，所以 ，故 ABP的面积的最大值为 . 30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心. （）求椭圆E的方程； （）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标. 【答案】 【解析】（）由 ，得 .故圆的圆心为点 从而可设椭圆的方程为 其焦距为 ，由题设知 故椭圆的方程为： （）设点 的坐标为 ， 的斜分率分别为 则 的方程分别为 且 由 与圆 相切，得 ， 即 同理可得 . 从而 是方程 的两个实根，于是 且 由 得 解得 或 由 得 由 得 它们满足式，故点的坐标为 ，或 ，或 ，或 .【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分） 设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。 （2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】 解：（）如图1，设 ， ，则由 ， 可得 ， ，所以 ， . 因为 点在单位圆上运动，所以 . 将式代入式即得所求曲线 的方程为 . 因为 ，所以 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为 ， ； 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为 ， . （）解法1：如图2、3， ，设 ， ，则 ， ， 直线 的方程为 ，将其代入椭圆 的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为 ， ，于是由韦达定理可得 ，即 . 因为点H在直线QN上，所以 . 于是 ， . 而 等价于 ， 即 ，又 ，得 ， 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ， 都有 .解法2：如图2、3， ，设 ， ，则 ， ， 因为 ， 两点在椭圆 上，所以 两式相减可得 . 依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合， 故 . 于是由式可得 . 又 ， ， 三点共线，所以 ，即 . 于是由式可得 . 而 等价于 ，即 ，又 ，得 ， 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有 . 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 与圆 有一个公共点 ，且在点 处两曲线的切线为同一直线 . （）求 ； （）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以 及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。 解：（1）设 ，对 求导得 ，故直线 的斜率 ，当 时，不合题意，所心 圆心为 ， 的斜率 由 知 ，即 ，解得 ，故 所以 （2）设 为 上一点，则在该点处的切线方程为 即 若该直线与圆 相切，则圆心 到该切线的距离为 ，即 ，化简可得 求解可得 抛物线 在点 处的切线分别为 ，其方程分别为 得 ，将 代入得 ，故 所以 到直线 的距离为 。 【点评】该试题出题的角 度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。 33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分) 如图，动圆 ,1t3, 与椭圆 ： 相交于A，B，C，D四点，点 分别为 的左，右顶点。 ()当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积； ()求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。 【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】()设A( ， )，则矩形ABCD的面积S= ， 由 得， ， = = ， 当 ， 时， =6， = 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. 6分 () 设 ，又知 ，则 直线 的方程为 直线 的方程为 由得 由点 在椭圆 上，故可得