2013年高考广西理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2013年广西，理1，5分】设集合则中的元素个数为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】由题意知，则的可能取值为5，6，7，8，因此集合共有4个元素，故选B（2）【2013年广西，理2，5分】（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（3）【2013年广西，理3，5分】已知向量，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，故选B（4）【2013年广西，理4，5分】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意可知，则，故选B（5）【2013年广西，理5，5分】函数的反函数（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由题意知，因此，故选A（6）【2013年广西，理6，5分】已知数列满足，则的前10项和等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由，故数列是以为公比的等比数列，故选C（7）【2013年广西，理7，5分】的展开式中的系数是（ ）（A）56 （B）84 （C）112 （D）168【答案】D【解析】的展开式中的系列为，而的展开式中的系列为，故的系数为，故选D（8）【2013年广西，理8，5分】椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】设点坐标为，则，于是，由，故，故选B（9）【2013年广西，理9，5分】若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由条件知在上恒成立，即在恒成立，函数在上为减函数，故选D（10）【2013年广西，理10，5分】已知正四棱锥中，则与平面所成角的正弦值等于（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如下图，连接交于点，连接，过作于， 故为与平面所成的角设，则，由等面积法，得，故，故选A（11）【2013年广西，理11，5分】已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由题意知抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，将其代入，得设，则而 由，可得所以： 由解得，故选D（12）【2013年广西，理12，5分】已知函数，下列结论中正确的是（ ）（A）的图像关于中心对称 （B）的图像关于对称（C）的最大值为 （D）既是奇函数，又是偶函数【答案】C【解析】依题意，设，则由，当时，函数值为0，当时，函数值为，当时，函数值为，故的最大值为，故选C第II卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年广西，理13，5分】已知是第三象限角，则 【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，故展开式中的系数为（14）【2013年广西，理14，5分】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种（用数字作答）【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有（15）【2013年广西，理15，5分】记不等式组所表示的平面区域为，若直线与公共点，则的取值范围是_ 【答案】【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由直线过定点，依图并结合题意可知，要使直线与平面区域有公共点，则（16）【2013年广西，理16，5分】已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为，则球的表面积等于 【答案】【解析】设为两圆的公共弦，为的中点，则，结合题意可知，又，故为正三角形，故，又，故三、解答题：本大题共6题，共75分（17）【2013年广西，理17，10分】等差数列的前项和为，已知，且成等比数列，求的通项式解：设的公差为由得，故或由成等比数列得又，故若，则，所以，此时，不合题意；若，则，解得或的通项公式为或（18）【2013年广西，理18，12分】设的内角的对边分别为，（1）求；（2）若，求解：（1）， 由余弦定理得，（2）由（1）知，所以 ，故或，因此或（19）【2013年广西，理19，12分】如图，四棱锥中，与都是等边三角形（1）证明：；（2）求二面角的大小解：（1）证明：取的中点，连结，则为正方形过作平面，垂足为连结，由和都是等边三角形知，所以，即点为正方形对角线的交点 故，从而，因为是的中点，是的中点，所以因此（2）解法一： 由（1）知，故平面 又平面，所以取的中点，的中点，连结，则， 连结，由为等边三角形可得所以为二面角的平面角 连结，则又，所以设，则， 故在中， 所以因此二面角的大小为 解法二： 由（1）知，两两垂直以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， ，设平面的法向量为，则，可得，取，得，故设平面的法向量为，则，可得取，得，故于是由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为 （20）【2013年广西，理20，12分】甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判（1）求第4局甲当裁判的概率；（2）表示前4局中乙当裁判的次数，求的数学期望解：（1）记表示事件“第2局结果为甲胜”，表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”则（2）的可能取值为0，1，2记表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，表示事件“第1局结果为乙胜丙”，表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则， （21）【2013年广西，理21，12分】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为3，直线与的两个交点间的距离为 （1）求；（2）设过的直线与的左、右两支分别相交于两点，且，证明：成等比数列解：（1）由题设知，即，故所以的方程为将代入上式，求得由题设知，解得所以（2）由（1）知，的方程为由题意可设的方程为