不动点问题广州七中陈武生

不动点法的解题研究广州第七中学 陈武生 2013-4-12求线性递推数列的通项定理1 设，且为的不动点，满足递推关系，证明是公比为a的等比数列。证：是的不动点，所以，所以，所以，数列是公比为的等比数列。例1 （2010上海文数21题）已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.证：(1) 当n=1时，a1=-14；当时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，记，令，求出不动点，由定理1知：，又a1-1= -15 0，所以数列an-1是等比数列。(2)解略。 求非线性递推数列的通项定理2 设，且是的不动点，数列满足递推关系，（）若，则数列是公比为的等比数列；（），则数列是公差为的等差数列。证：（）由题设知； 同理， 所以数列是公比为的等比数列。（）由题设知的解为，且。所以 ，所以数列是公差为的等差数列。例2 （2006年全国卷22题）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。解：依题，且，将代入上式，得，记，令，求出不动点，由定理2（）知：，所以数列是公差为的等差数列，所以，因此数列的通项公式为。例3 （2010年全国卷22题）已知数列中，（）设，求数列的通项公式. （）求使不等式成立的的取值范围 .解：（）依题，记，令，求出不动点；由定理2（）知：， ； 两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，从而（）解略。定理3 设，且是的不动点，数列满足递推关系，则有；若，则是公比为的等比数列。证：是的不动点，。，又，则，故是公比为的等比数列。例4 （2010东城区二模试题）已知数列满足，求证：；求证：；求数列的通项公式证：、证略；依题，记，令，求出不动点；由定理3知：，所以，又，所以又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列所以由，得所以利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理4 设且是的最小不动点，数列满足递推关系，则有定理5 设且是的不动点，数列满足递推关系，则有函数中的不动点例5对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和（2）函数恒有两个相异的不动点，恒有两个不等的实根，对恒成立，得的取值范围为（3）由得，由题知，设中点为，则的横坐标为，当且仅当，即时等号成立，的最小值为例6已知函数（）。（）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（）在数列中，（），求数列的通项公式。解：（）由及得或（舍去），所以或，即的实不动点为或；（）由条件得，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。应用举例1：已知数列an中，a1=2，求an的通项。解：因为an的特征函数为：,由,数列an-1是公比为的等比数列,an-1=an=1+.2已知数列an中，a1=3，求an的通项。解：因为an的特征函数为：,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=3,.3已知数列an中，a1=2，求an的通项。解：因为an的特征函数为：,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=2,.4已知数列an的前n项和为