01答案04春季班02周帅二轮06

一、典型例题 1 （2019新课标）已知点 A（2，0） ，B（2，0） ，动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为? ? ?记 M 的轨迹为曲线 C求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； 【解答】解：由题意得 ? ?t? ? ? ? ? ? ?， 整理得曲线 C 的方程：? ? ? t ? ? ? ? ? ?t， 曲线 C 是焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆； 2（2019莆田二模） 已知 A （0， 1） ， B 是曲线 y? ? ? ? t1 上任意一点， 动点 P 满足?t ? t ?t ? ? ? ? 求点 P 的轨迹 E 的方程； 【解答】解：设 P（x，y） ，B（x0，y0） ，由?t ? t ?t ? ? ? 得： （x，y+1）+（xx0，yy0） （0，0） ， （1 分） 则 ? ? ? ?， ? ? ?t ? ? ?，（2 分） 即 ? ?， ? ? t ?，（3 分） 因为点 B 为曲线 ? ? ? ? ?t ? 上任意一点，故? ? ? ?t ?，代入得 x24y （4 分） 所以点 P 的轨迹 E 的方程是 x24y 3 （2018全国）双曲线? ? ? ? ? ? ?1，F1、F2为其左右焦点，C 是以 F2为圆心且过原点的圆 （1）求 C 的轨迹方程； （2）动点 P 在 C 上运动，M 满足? ? ?2?t ? ，求 M 的轨迹方程 【解答】解： （1）由已知得 a212，b24，故 c?t ?4，所以 F1（4，0） 、F2 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （4，0） ， 因为 C 是以 F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0） ，半径为 4， 所以 C 的轨迹方程为（x4）2+y216； （2）设动点 M（x，y） ，P（x0，y0） ， 则? ? ?（x+4，y） ，?t ? ? ? ?，? ?t， 由? ? ? ?t ? ，得（x+4，y）2（x0x，y0y） ， 即 ? t ? ? ? ?t ? ? ? ?t ，解得 ? ?t? ? ? ? ? ， 因为点 P 在 C 上，所以? ?t?t ? ?， 代入得? ?t? ? ? ?t?t ? ? ? t? ?， 化简得? ? ? t?t ? ? ? 4 （2019新课标）已知曲线 C：y? ? ? ，D 为直线 y? ? ?上的动点，过 D 作 C 的两条切 线，切点分别为 A，B证明：直线 AB 过定点 【解答】证明：设 D（t，? ? ?） ，A（x1，y1） ，则? ? ?， 由于 yx，切线 DA 的斜率为 x1，故 ?t? ? ? ? ?， 整理得：2tx12y1+10 设 B（x2，y2） ，同理可得 2tx22y2+10 故直线 AB 的方程为 2tx2y+10 直线 AB 过定点（0，? ?） ； 5 （2019北京）已知抛物线 C：x22py 经过点（2，1） 设 O 为原点，过抛物线 C 的 焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 【解答】解：证明：抛物线 x24y 的焦点为 F（0，1） ， 设直线方程为 ykx1，联立抛物线方程，可得 x2+4kx40， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 可得 x1+x24k，x1x24， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 直线 OM 的方程为 y? ? ?x，即 y? ? ? x， 直线 ON 的方程为 y? ? ?x，即 y? ? ? x， 可得 A（ ? ?，1） ，B（ ? ?，1） ， 可得 AB 的中点的横坐标为 2（ ? ? t ? ?）2 ? ? ?2k， 即有 AB 为直径的圆心为（2k，1） ， 半径为? ? ? ? ?| ? ? ? ? ?|2 ?t? ? ?2 ? t ?， 可得圆的方程为（x2k）2+（y+1）24（1+k2） ， 化为 x24kx+（y+1）24， 由 x0，可得 y1 或3 则以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点（0，1） ， （0，3） 6 （2019北京）已知椭圆 C：? ? ? t ? ? ?1 的右焦点为（1，0） ，且经过点 A（0，1） 设 O 为原点，直线 l：ykx+t（t1）与椭圆 C 交于两个不同点 P、Q，直线 AP 与 x 轴交 于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点 【解答】解：证明：ykx+t 与椭圆方程 x2+2y22 联立， 可得（1+2k2）x2+4ktx+2t220， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 16k2t24（1+2k2） （2t22）0，x1+x2? ? ?t?，x1x2? ? ?t?， AP 的方程为 y? ? ? x+1，令 y0，可得 x? ? ?，即 M（ ? ?，0） ； AQ 的方程为 y? ? ? x+1，令 y0，可得 y? ? ?即 N（ ? ?，0） （1y1） （1y2）1+y1y2（y1+y2）1+（kx1+t） （kx2+t）（kx1+kx2+2t） （1+t22t）+k2? ? ?t? t（ktk）（? ? ?t?）? ?t? ?t?， |OM|ON|2，即为| ? ? ? ?|2， 即有|t21|（t1）2，由 t1，解得 t0，满足0， 即有直线 l 方程为 ykx，恒过原点（0，0） 7 （2018北京）已知抛物线 C：y22px 经过点 P（1，2） ，过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物 线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N设 O 为原 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 点，? ? ? ? ，? ? ? ? ，求证：? t ? ?为定值 【解答】证明：设点 M（0，yM） ，N（0，yN） ， 则? ? ?（0，yM1） ，? ? ?（0，1） 因为? ? ? ? ，所以 yM1yM1，故1yM，同理1yN， 直线 PA 的方程为 y2? ? ?（x1）? ? ? ? ? ? （x1）? ? ?t?（x1） ， 令 x0，得 yM? ? ?t?，同理可得 yN? ? ?t?， 因为? t ? ? ? ? ? t ? ? ? ?t? ? t ?t? ? ? ? ?t?t ? ?t?t?t?t ?t?tt? ? ?t?t?tt? ?t?tt? ? ?t? ? t?t ? ? t? ? ? ? ? ? ?2， ? t ? ? ?2，? t ? ?为定值 8椭圆? ? ? t ? ? ? ?t的离心率为 ? ? ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与 直线 ? ? ? t? ? ? 相切M，N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，P 是椭圆上不同于 M， N 的一点，直线 PM，PN 交 x 轴于 D（xD，0）E（xE，0） ，证明：xDxE为定值 【解答】解：证明：设 M（x0，y0） ，N（x0，y0） ，P（xP，yP） ，则直线 PM：yy0? ?t ?t （xx0） ， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 令 y0，得 xD? ?tt ?t tx0， 同理直线 PN：y+y0? ?t ?t （xx0） ， 得 xE? ?tt ?t tx0， 所以 xDxE（?tt ?t tx0）（?tt ?t tx0）? ? ? ? ? t ? ? ? ， 又 ? ? ? t ? ? ? ?， ?t ? ? t ?t ? ? ?，则 x022（1y02） ，xP22（1yP2） ，代入 整理得 xDxE2 所以 xDxE为定值 2 9 （2017新课标）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ， （为参数） ， 直线 l 的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ， （t 为参数） （1）若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ?离，求 a 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ? （为参数） ，化为标准方程是：? ? ? ty2 1； a1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y30； 联立方程 ? ? t ? ? ? t ? ? ? ? ， 解得 ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以椭圆 C 和直线 l 的交点为（3，0）和（? ? ?， ? ?） （2）l 的参数方程 ? ? ? t ? ? ? ? ? ? （t 为参数）化为一般方程是：x+4ya40， 椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 P（3cos，sin） ，0，2） ， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 为： d? ?t? ?离 ? ?t?t? ?离 ，满足 tan? ? ?，且的 d 的最大值为 ?离 当a40 时，即 a4 时， |5sin（+）a4|5a4|5+a+4|17 解得 a8 和26，a8 符合题意 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 当a40 时，即 a4 时 |5sin（+）a4|5a4|1a|17， 解得 a16 和 18，a16 符合题意 综上，a8 或16 10 （2018新课标）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ?， （为参数） ， 直线 l 的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? t ?， （t 为参数） （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2） ，求 l 的斜率 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ?（为参数） ， 转换为直角坐标方程为：? ? ? t ? ? ? ? 直线 l 的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? t ?（t 为参数） 转换为直角坐标方程为：xsinycos+2cossin0 （2）把直线的参数方程 ? ? ? t ? ? ? ? t ?（t 为参数） ， 代入椭圆的方程得到：?t?t ? ? t ?t?t? ? ?1 整理得： （4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t80， 则：?t ? ?t? ?t?， （由于 t1 和 t2为 A、B 对应的参数） 由于（1，2）为中点坐标， 所以利用中点坐标公式?t? ? ? ?， 则：8cos+4sin0， 解得：tan2， 即：直线 l 的斜率为2 11 （2018新课标）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 ? ? ? ? ? ?， （为参数） ， 过点（0，?）且倾斜角为的直线 l 与O 交于 A，B 两点 （1）求的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 【解答】解： （1）O 的参数方程为 ? ? ? ? ? ?（为参数） ， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d O 的普通方程为 x2+y21，圆心为 O（0，0） ，半径 r1， 当? ? ?时，过点（0，? ?）且倾斜角为的直线 l 的方程为 x0，成立； 当? ? ?时，过点（0，? ?）且倾斜角为的直线 l 的方程为 ytanx?， 倾斜角为的直线 l 与O 交于 A，B 两点， 圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d? ? ? ?t? 1， tan21，tan1 或 tan1， ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ， 综上的取值范围是（? ?， ? ? ） （2）l 的参数方程为 ? ? ? ? ? t ?， （t 为参数， ? ? ? ? ? ） ， 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则?t? ?t? ? ， 且 tA，tB满足? ? ? t ? ? ?， ?t ? ? ?，?t?， P（x，y）满足 ? ? ?t? ? ? t ?， AB 中点 P 的轨迹的参数方程为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， （为参数，? ? ? ? ? ） 12 （2016新课标）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ? ? ? ? ? ? t ?（t 为参 数，a0） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos （）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （）直线 C3的极坐标方程为0，其中0满足 tan02，若曲线 C1与 C2的公共点 都在 C3上，求 a 【解答】解： （）由 ? ? ? ? ? ? t ?，得 ? ? ? ? ? ? ? ?，两式平方相加得，x 2+（y1） 2a2 C1为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆 化为一般式：x2+y22y+1a20 由 x2+y22，ysin，得22sin+1a20； （）C2：4cos，两边同时乘得24cos， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d x2+y24x， 即（x2）2+y24 由 C3：0，其中0满足 tan02，得 y2x， 曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y2x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程， 得：4x2y+1a20，即为 C3， 1a20， a1（a0） 13 （2016江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参 数） ，椭圆 C 的参数方程为 ? ? ? ? ? ?（为参数） ，设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 求线段 AB 的长 【解答】解：由 ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ，由得 ? ? ? ? ?， 代入并整理得， ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ?，得 ? ? ? ? ? ? ?， 两式平方相加得?t ? ? ? ? 联立 ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? 离 ? ? ? ? 离 |AB|?t ? 离t ?t ?t? ? 离 t? ? 离 二、巩固练习 1 （2009 秋荆州区校级期中）过点 M（3，0）作直线 l 与圆 x2+y225 交于 A、B 两点若点 P 是线段 AB 的中点，求点 P 的轨迹方程； 【解答】解：P 是 AB 中点，OPAB，取 OM 中点 G，则在 RtOMP 中必有?t? ? ? ? ? ? ? P 点的轨迹为以 G 为圆心? ?为半径的圆，令 P（x，y）则? ? ? t?t ? ? ?， 即 x23x+y20 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 经检验知：AB 为 x 轴及 ABy 轴均满足上式，P 点的轨迹为 x23x+y20 2已知定点 F（0，1） ，动点 M（a，1） （aR） ，线段 FM 的中垂线 l 与直线 xa 交于点 P求动点 P 的轨迹的方程； 【解答】解：P 在 FM 的中垂线 l 上，|PF|PM| PM 与直线 y1 垂直，|PM|为 P 到直线 y1 的距离 P 到点 F（0，1）的距离与 P 到直线 y1 的距离相等， P 的轨迹为以（0，1）为焦点，以直线 y1 为准线的抛物线 P 的轨迹方程为：x24y 3 （2019新课标）已知曲线 C：y? ? ? ，D 为直线 y? ? ?上的动点，过 D 作 C 的两条切 线，切点分别为 A，B证明：直线 AB 过定点； 【解答】解：证明：y? ? ? 的导数为 yx， 设切点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，即有 y1? ? ? ，y2? ? ? ， 切线 DA 的方程为 yy1x1（xx1） ，即为 yx1x? ? ? ， 切线 DB 的方程为 yx2x? ? ? ， 联立两切线方程可得 x? ? ?（x1+x2） ， 可得 y? ? ?x1x2? ? ?，即 x1x21， 直线 AB 的方程为 y? ? ? ? ? ?（xx1） ， 即为 y? ? ? ? ? ?（x1+x2） （xx1） ， 可化为 y? ? ?（x1+x2）xt ? ?， 可得 AB 恒过定点（0，? ?） ； 4 （2018新课标）设椭圆 C：? ? ? ty21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0） 设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB 【解答】证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0， 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，OMAOMB， 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk（x1） ，k0， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1?，x2?， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，kMB之和为 kMA+kMB? ? ? t ? ?， 由 y1kx1k，y2kx2k 得 kMA+kMB? ?t?tt? ?t?t ， 将 yk（x1）代入? ? ? ty21 可得（2k2+1）x24k2x+2k220， x1+x2? ? ?t?，x1x2? ? ?t?， 2kx1x23k（x1+x2）+4k? ? ?t?（4k 34k12k3+8k3+4k）0 从而 kMA+kMB0， 故 MA，MB 的倾斜角互补， OMAOMB， 综上OMAOMB 5已知椭圆 C：? ? ? t ? ? ? ?（ab0）上的一点到两个焦点的距离之和为 4，离心率 为 ? ? ，点 A 为椭圆 C 的左顶点设圆 M：x2+（y2）2r2（0r2） ，过点 A 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于点 B 和 D，求证：直线 BD 过定点 【解答】证明：设切线 AB，CD 的方程为 yk（x+2） ， 则? ?t? ? ?，即（4r2）k28k+4r20， 设两切线 AB，AD 的斜率为 k1，k2，则 k1k21， 联立 ? ? ? t ?t ? ? t ? ? ，得（1+4k2）x2+16k240， 设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 x1? ? ? ?t? ?，y1? ? ?t? ?， 同理得 x2? ? ? ?t? ? ? ? ? ? ?t? ，y2? ? ?t? ? ? ? ? ?t?， 所以直线 BD 的斜率 kBD? ? ? ?t? ? ?t? ? ? ? ? ?t? ? ? ? ?t? ? ? ? ?t? ?t 则直线 BD 的方程为 y? ? ?t? ? ? ? ?t? ?t（x? ? ? ?t? ?） ， 整理得 y? ? ?t? ?t（xt ? ? ） ， 故直线 BD 过定点（? ? ? ，0） 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 6已知 O 为坐标原点，点 F1，F2为椭圆 M： ? ? t ? ? ?1（ab0）的左右焦点，点 E（a， b）在抛物线 N：x2? ? ? ? y 上，直线 EF2与椭圆 M 的一个交点为 F，且 EF 的中点恰为 F2过抛物线 N 上一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点，设 AB 中点为 C，直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1，k2，证明：k1k2为定值 【解答】解：证明：设 P（t， ? ? ） ，因为抛物线 N：y? ? ? ?，求导 y? ? ? x， 则直线 AB 方程：y? ? ? ?（xt）t ? ? ?，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线 AB 方程：y? ? ? ? ? ? ? t2代入椭圆? ? ? t ? ? ? ? 得：12（1+t2）x212t3x+3t448 0， 因此 x1+x2? ? ?t?，y1+y2? ? ? ?（x1+x2）? ? ? ? ? ?t?t， 所以 C（ ? ?t?t，? ? ?t?t） ，则 k1? ? ? ?，k2? ? ?， 所以 k1k2? ? ?（点差法等其他方法正常给分） 7 （2017新课标）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ， （t 为参数） ， 直线 l2的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ? ， （m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l3： （cos+sin） ? ?0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 【考点】QH：参数方程化成普通方程菁优网版 权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程 【分析】解： （1）分别消掉参数 t 与 m 可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 yk（x2） 与 x2+ky；联立，消去 k 可得 C 的普通方程为 x2y24； （2）将 l3的极坐标方程为（cos+sin）? ?0 化为普通方程：x+y? ?0，再与曲 线 C 的方程联立，可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即可求得 l3与 C 的交点 M 的极径为? 【解答】解： （1）直线 l1的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ， （t 为参数） ， 消掉参数 t 得：直线 l1的普通方程为：yk（x2）； 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 又直线 l2的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? ? ， （m 为参数） ， 同理可得，直线 l2的普通方程为：x2+ky； 联立，消去 k 得：x2y24，即 C 的普通方程为 x2y24（y0） ； （2）l3的极坐标方程为（cos+sin）? ?0， 其普通方程为：x+y? ?0， 联立 ? t ? ? ? ? ?得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 2x2+y2? ? ? t ? ? ?5 l3与 C 的交点 M 的极径为? 8（2014新课标）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos，0，? ? （）求 C 的参数方程； （）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 l：y?x+2 垂直，根据（1） 中你得到的参数方程，求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标 【解答】解： （1）由半圆 C 的极坐标方程为2cos，0，? ?，即 22cos，可得 C 的普通方程为（x1）2+y21（0y1） 可得 C 的参数方程为 ? ? ? t ? ? ? ? （t 为参数，0t） （2）设 D（1+cos t，sin t） ，