研究性学习-钟表里的数学

科学探究活动：,钟表里的数学,同学们，我们每天的日常生活都离不开表，但是你们知道表中还隐藏着什么样的有趣的数学知识吗？让我们一起研究研究。,不知你是否观察过钟表上的时针和分针，它们总是成一定角度。那么，你是否知道它们什么时候重合？什么时候成一条直线？什么时候成直角？其中有什么规律？,问题一：,这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：,(1).两针重合时的位置:,图一,图二,我们知道两表针在12:00时会重合(如图一),设下一次重合位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线+棕红线表示,追及路程S为绿线所示，恰为一周。,解法一：,取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则,解法二：,取钟表上的一大格（即一小时）为单位路程，则,结果相同。,它们的位置分别是：,(2).两针成一线时的位置:,图一,我们知道两表针在6:00时会成与一线(如图一),设下一次成一线的位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线+棕红线表示,追及路程S为绿线所示，恰好为一周，因此，此问题的解答与(1)完全类似。即每隔分时针和分针成一线，一天内表针将22次成一线。,图二,S,(3).两针垂直时的位置:,两表针在3:00时垂直(如图一),设下一次垂直的位置为图二,时针走过的路程用黄线表示,分针走过的路程用红线表示,追及路程S为绿线所示。由于蓝角与绿角互补，红角也与绿角互补，所以，红角=蓝角，故图中两黄线部分相等。因此，追及路程恰好为半周。,图一,图二,解：,取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则,方法二：,图一,图二,将时针看作是不动的，分针以相对时针的速度（二者的速度差）追及时针。两表针在3:00时垂直(如图一),下一次垂直的位置为图二,分针走过的路程用绿线表示，这也就是追及的路程S，恰好为圆周的半圈。,解：,取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则,当两针再次重合时，又回到图一的情况，因此，每隔分两针相互垂直,根据以上计算，每隔分时针和分针垂直一次。,在一天中它们重合的次数为,它们的位置分别是：,时针与分针还可以成20度、30度或其它度数的角，它们在一天中会出现几次？分别在哪些位置？其实，分析方法与相互垂直时完全类似，请你也试一试。,推广：,在分析此问题时，我们用到了追及问题的知识、数形结合法、用字母表示数、求代数式的值以及圆和角度的一些知识。,小结：,问题二：,如果一个工人师傅错把一块表的时针和分针安反了，那么这块表还能正确表示所有时间吗？,答案是否定的，除了两针重合时能正确表示时间外，表针在其它位置均无法表示时间,例如：,3：00,问题三：,表是用来反映时间的工具，但如果你的表不准，你是否可以根据它来判断其他人的表准不准呢？答案是肯定的。下面由我来告诉你们方法。,设：表A比标准时间一小时快a，表B比表A每小时快b。那么，表B是否准确？,分析：,标准时间一小时中B所走的时间：当A走1小时时，B走b+1小时；当标准时为1小时时，A走a+1小时；设：B走x小时。A、B两表速度成比例，应有：,这就是判断B表准不准的判据。,下面，让我们根据上面的判据来判断一下：,分析：,例：我的表比标准时间每小时快1分，王骁的表比我的表每小时慢1分，王