补充构造异面直线所成角的几种方法

一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线和b所成角的大小，与点O的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0，2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角的范围是090，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例1如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线B1E与GF所成角的余弦是 。 例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值BMANCSBMANCSBMANCS例3长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。例4如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_ 练习：1.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )(第2题)F1ABCD1C1A1B1B1(第1题)A1ABC1D1CDMN2.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 3.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直4.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果ab、bc，则ac； 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)05.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条FABCES(第6题) (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)307右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与ED平行； CN与BE是异面直线；CN与BM成角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D） ABCDM(第8题)N438如图，四面体ABCD中，ACBD,且AC4，BD3，M、N分别是AB、CD的中点，则求MN和BD所成角的正切值为 。9异面直线a、b成60，过空间一点P的直线c与a、b成角都为60，则这样的直线c有 条。10异面直线a、b成60，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，120(第11题)MABCNC1A1B111.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与AB1所成角的余弦值。8ABCDE(第12题)78544512.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若ACCDDA8，ABBD5，BC7，求BE与AC所成角的余弦值。二.共面、共线、共点问题共点问题:证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上共线问题:证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上共面问题:证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB中点，F为A1A的中点.求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点。2.D三点共线。练习：1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个。3. 已知平面，设过A、B、C三点的平面为，则是（ ） A. 直线AC B. 直线BC C. 直线CRD. 以上全错4. 已知ABC三边AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R，求证：P、Q、R共线。5. 如果ABC和A1B1C1不在同一平面内，且AA1、BB1、CC1两两相交，求证：三直线AA1、BB1、CC1交于一点。三.平行问题ABCDA1B1C1D11、“线线”的证明：(1)平行四边形法：如图,在正方体中, 由,ABCDPQO得四边形为平行四边形,于是；(2)中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形, 点Q是PC的中点,则由OQ是PAC的中位线,得到OQ/PA；ABCDA1B1C1D1MBN(3)“线面”平行法：如图,若平面ABCD,过的平面交平面ABCD于MN,则MN；ABCDA1B1C1D1MBNEBFEB(4)“面面”法：如图,若平面平面ABCD,平面与平面、平面ABCD分别交于EF、MN,则有EF MN;(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：ABCDA1B1C1D1EFG平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。E如图，在正方体中，E，F分别为面对角线D1B1，A1B上的动点，且D1E= A1F，则ABCDPQO，故，所以EF/GB。2、“线面”的证明： (1)“线线”法： 如图,Q为PC的中点，则,所以平面PAD； ABCDA1B1C1D1MBN (2)“面面”法： 如图,若平面ABCD,直线MN在平面, 则MN平面ABCD；3、“面面”的证明：“线面”法：如图,在平面上ABCDA1B1C1D1MBN找到两条相交直线MN、均平行于平面ABCD,则有平面平面ABCD；例题分析：1，则与的位置关系（ ）A平行 B异面 C相交 D以上情况均有可能2，是两条不相交的直线，则过直线且平行于的平面（ ）A有且只有一个 B至少有一个 C至多有一个 D以上答案都不对ABCDABCDEFABCDABCDEF3、已知正方体ABCD-ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点。求证：EF面ADC。 4、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，E、F分别是AB, PC的中点 ，CBDAPEFCBDAPEF求证：EF平面PAD；5. 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。 求证：AF平面PCE； A11ED1C1B1DCBAA11ED1C1B1DCBA6、如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。7. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点 求证：平面 8已知正四棱锥PABCD，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58，求证：直线MN平面PBC； _P_B_A_N_M_E_D_C_P_B_A_N_M_E_D_C_P_B_A_N_M_E_D_C 9、正方体ABCD-A1B1C1D1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求证PQ平面DD1C1C；10已知正三棱柱ABCA1B1C1，D为AC中点。求证：直线AB1平面C1DB；A1C1CBAB1DA1C1CBAB1D11如图:已知A1B1C1ABC是正三棱柱,D是AC中点.证明:AB1平面DBC1; BCADA1B1C1BCADA1B1C112如图，在斜三棱柱中， E、F分别是棱的中点，证明平面13如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，E是PC的三等分点，F是PB的中点，求证：AF面BDE；14、如图PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。求证：AF/平面PCE；15.如图，平面分别平行于，分别在上，且，（1）求证：是矩形；（2）求当点在什么位置时