完整的德布罗意波关系式及其物理内涵_钱凤仪

第 23卷 第 3期 吉 林 工 学 院 学 报 Vol. 23 No. 3 2002年 9 月 JOURNAL OF JILIN INSTITUTEOF TECHNOLOGY Sep. 2002 文章编号: 1006 -2939( 2002) 03 -0047 -04 完整的德布罗意波关系式及其物理内涵 钱凤仪 ( 中国科学院长春地理研究所, 吉林 长春 130022) 摘 要: 回顾了德布罗意提出物质波关系式的历史背景。 进一步在相对论的基础上直接推导出物质波关系 式。新得出的关系式表明, 真实的空间完全不同于我们在宏观世界所想象出的理想平坦或弯曲空间那样, 保 证不了粒子或物体严格地做匀速直线运动或按照短程线所给出的曲线运动。 新得出的物质波关系式表明, 粒 子运动还会导致引力场的产生。 关键词: 四维空间;四维速度; 四维动量;能量动量守恒定律; Lorentz 变换 中图分类号: O412; O572. 245 文献标识码: A 1 提出物质波的历史背景及其目的 1913年 , 玻尔成功地建立了氢原子理论, 提 出了两个极其重要的概念 1。 ( 1) 原子具有能量不连续的概念 。原子的稳 定状态只可能是某些具有一定的分立值能量 ( E1, E2, E3, ) 状态 。为了具体确定这些能量的 数值 ,他又提出了量子化的条件,即电子的角动量 J 只能是 =h 2 的整数倍, 也就是 J =n n =1,2 ,3, ( 1) ( 2) 量子跃迁概念 。原子的稳定状态是不辐 射的 。但由于某种原因, 电子可以从一个能级 En 跃迁到另一个较低( 高) 能级 Em。同时将发射( 或 吸收) 一个光子 ,光子的频率 mn为 mn= En-Em h ( 2) 玻尔理论对于当时已被发现的氢原子光谱线系 的规律给出了很好的说明,但用于处理复杂的原子 光谱,却是极其困难的。从理论上讲,他提出的量子 化条件只是把普朗克的能量不连续问题转化为角动 量的不连续性,并未从根本上解决不连续性的本质。 1923 年,德布罗意仔细分析了光的微粒学说 和波动学说的发展史 ,并注意到19 世纪哈密顿曾 经阐述的几何光学与经典粒子力学的相似性, 从 理论上猜测波粒二重性不只是光所具有的独特性 质 2 。按着这个猜测, 德布罗意假设具有一定能 量 E 及动量 P 的粒子相联系的波( 他称为物质 波) 的频率 及波长 分别为 = E h ( 3) = h P ( 4) 他提出这个假设 , 一方面企图把实物粒子与 光的理论统一起来 , 另一方面更主要的是为了更 自然地去理解微观粒子能量的不连续性 ,以克服 玻尔的量子化条件带有人为性质的缺点 。虽然从 后来建立起来的量子力学观点来看, 这种联系还 有不确切之外 ,能处理的问题也很有局限性 ,但它 的物理图象是非常有启发性的 。 德布罗意认为 , 在氢原子中做圆周运动的电 子相对应的物质波其波形应该是驻波, 如图 1 所 图 1 氢原子中电子绕原子核旋转 时满足驻波条件下的波形图 示。驻波条件要求, 波绕原子核传播一周后应平 滑地衔接起来, 否则相叠合的波将会由于干涉而 相消。这就必然对轨道有所限制, 即轨道的周长 收稿日期: 2002-03-19 作者简介: 钱凤仪( 1960-), 男, 吉林前郭人, 中国科学院长春地理研究所研究员, 主要从事理论物理研究. DOI : 10. 15923/ j. cnki . cn22 - 1382/ t . 2002. 03. 014 应该为波长的整数倍 ,即 2 r =n( 5) 或=2 r n ( 6) 假定式( 4) 成立, 可以得到粒子的角动量为 J =rp =nh 2 =nh( 7) 这样就可以进一步比较自然地得到玻尔量子 化条件 。1928年 ,戴维森和革末通过电子的散射 实验 ,证实了电子具有波粒二象性。后来人们又 证实了中子和分子也具有波粒二象性。 但迄今为止,所得出的物质波关系式( 3) 和式( 4) 依然还是假设。目前量子力学的观点仍旧认为微观 粒子本身具有波粒二象性。事实上,借助相对论电 动力学,可以直接得出德布罗意关系式。原因是我 们更关心为什么实物粒子具有波粒二象性。 2 四维空间、速度、 动量及能量动量守恒定律 2. 1 四维空间 我们知道, Lorentz 变换具有如下形式 x = x+ t 1 -2 y =y z =z t = t+ c x 1 -2 = c ( 8) 对于两个事件间隔, Lorentz 变换具有如下形式 x =x + t 1 -2 y =y z = z t = t+ c x 1 -2 ( 9) 上式写成微分形式有 dr =dr + dt 1 -2 dy =dy dz =dz dt = dt+ c dx 1 -2 ( 10) 如果采用虚数时间坐标, 令 x=( x1, x2, x3, x4)=( x , y ,z , ict) ( 11) 由式( 11) 中的向量所构成的空间称为四维 Minkoski 空间 3 。将式( 8) 写成矩阵 x1 x2 x3 x4 = 00-i 0100 0010 i 00 x 1 x 2 x 3 x 4 ( 12) = 1 1 -2 或x=a x ( 13) 这里 a a= ( 14) 式( 12) 的逆变换可以通过改变相运动对速度 和 而获得 ,即 x =a x( 15) 或以矩阵形式表示 x 1 x 2 x 3 x 4 = 00i 0100 0010 -i 00 x1 x2 x3 x4 ( 16) 很容易证明 ,四维向量( x1, x2, x3, x4) 的长度 在式( 13) 和式( 15) 的变换下 ,是一个不变量 ,即 ( x 1)2 + ( x 2)2 + ( x 3)2 + ( x 4)2 = ( x1) 2 + ( x2) 2 + ( x3) 2 + ( x4) 2 ( 17) 一般情况下, x与 x 之间的变换写成 x=x( x 1, x 2, x 3, x 4) x =x ( x1, x 2, x3, x4) ( 18) 上式微分形式为 dx= x x dx dx = x xdx ( 19) 上式仅在特殊情况下是线性变换。对于 Lorentz 变换 ,上式是一个线性变换 。由式( 13) 和 式( 15) 可以计算出 dx=a dx ( 20) dx =a dx( 21) 而且 ( dx 1) 2 +( dx 2) 2 +( dx 3) 2 +( dx 4) 2 = ( dx1) 2 +( dx2) 2 +( dx3) 2 +( dx4) 2 ( 22) 也是不变量。式( 11) 可写成 48 吉 林 工 学 院 学 报 第 23 卷 dx 2 +dy 2+ dz 2- ( cdt) 2 =dx2+ dy2+ dz2- ( cdt) 2 ( 23 ) 如果用上式所表示的时空间隔来描述粒子的 运动 ,则上式可以写成 1-dx 2 +dy 2+dz 2 ( cdt) 2dt 2= 1- dx2+ dy2+ dz2 ( cdt) 2dt2 ( 24 ) 或 1 -u 2 x+u 2 y+u 2z c2 dt 2= 1 -u 2 x+u2y+u2z c2 dt2 即1 -u 2 c2 dt 2= 1 -u 2 c2 dt2( 25) 或1 -u 2 c2 dt=1 -u 2 c2 dt( 26) 如果在粒子运动的某一瞬间, 取 S 跟随粒子 一起运动 ,则 u =0, 这样所记录的时间用 d 表 示,则有 d=1 -u 2 c2 dt =四维标量( 27) 式( 27) 表明,在任一惯性参考系内 ,时间间隙 dt 不是四维标量, 但当它乘上因子1-2就构 成一个四维标量 。这个量值等于跟随粒子一起运 动的参考系内所记录的时间 , 我们称 d为粒子 的固有时间,它是一个不变量 。 2. 2 四维速度 利用四维空间和固有时间,定义四维速度向量 U = dx1 d, dx2 d, dx3 d, dx4 d ( 28) 由式( 11) ,( 12) ,( 27) 可知 U = ux a , uy a , uz a , ic a a =1 -u 2 c2 ( 29) 已知式( 11) 中的 x的内积是不变量, 而且式 ( 27) d 也是标量 ,因此式( 28) 也就是式( 29) 的内 积是不变量,即 U2= ux a 2 + uy a 2 + uz a 2 + icx a 2 =不变量 ( 30) 由 u = 0 可得 U2=-c2( 31) 2. 3 四维动量 已知静止质量 m0是不变量, 即四维标量 ,用 m0乘式( 29) 可以得到一个四维动量 P 如下 P = m0ux a , m0uy a , m0uz a , im0c a = Px,Py,Pz, iE a ( 32) 上式中 E = m0c2 1 -2 ( 33) 由式( 28) 和( 30) 可知 , 式( 32) 自身的内积也 是不变量 ,即 P 2 x+P2y+P2z-E 2 c2 =不变量( 34) 2. 4 能量动量守恒定律 由 = 0 可以确定式( 34) 中的不变量为 P2x+P2y+P2z-E 2 c2 =-m 2 0c2( 35) 将上式动量的分量合成, 并写成一般形式 P2=P2x+P2y+P2z( 36) 则有P2= m 2 0c2 1 -2 -m20c2( 37) 在相对论动力学中 ,上式称为能量动量关系 式或能量动量守恒定律。 3 德布罗意关系式理论直接推导 按着普郎克的能量子假设 ,空间向 m0提供 的能量( m0的固有能量) E0=m0c2( 38) 不能无限加以分割, 而是“由有限的和相等的 P 部分构成” , 如果将 E0第 n 分能量用 n来表 示,则 E0= n n =1,2,3, ,p 1=2= = p( 39) 按普朗克提出的能量量子化的方法 ,假定每 个最小能量子 n可以表示成普朗克常数 h 和特 征频率n的成积, 即 n=hn n =1,2,3, , p( 40) 由式( 39) 可得 E0=Pn=phn( 41) 令0=pn( 42) 可得E0=h0( 43) 由于空间向 m0提供的能量 m0c2的速度部 分也是光速 ,而且提供能量和接受能量都是连续 不断的动态过程 ,因此 m0接受能量的波长 0和 频率 0之间应当同光子一样满足 00=c( 44) 49 第 3 期 钱凤仪:完整的德布罗意波关系式及其物理内涵 由式( 12) 将式( 37) 写成 P2=( 2 -1) ( m0c2) 2 c2 =( 2 -1) ( E0) 2 c2 ( 45) 再借助式( 8) ,( 12) ,( 34) ,( 43) ,( 44) 可得 P2= h 0 2 ( 46) 令新的波长为 = 0 ( 47) 上式代入式( 46) 即得 P 2 = h 2 ( 48) 或 2 = h P 2 ( 49) 如对式( 49) 开方,取其正值, 则 = h P ( 50) 这样只需要借助普朗克能量有限可分的方 法,就可以自然而然地得到德布罗意关系式 。因 此,能量的不连续即物质的有限分割,导致了运动 的实物粒子具有波动现象。事实上, 如果物质可 以无限分割,分割的工具必须更小 ,用已知最小的 粒子即电子分割电子时, 不仅不能越分越小, 反而 越分越大 。如果物质可以分割到零 ,那么,无穷多 个零还是零, 最初的实物粒子是无法形成的 。从 纯粹数学角度讲, 实物粒子是可以无限分割下去 的,但现实的物理世界必须另当别论。 如对式( 49) 开方取其负值,则 =-h P ( 51) 也就是P =- h ( 52) 式( 52) 表明, 粒子在运动过程中会引起周围空 间的负波动,负波动也就是负的空间能量动量分布, 也就是形成引力场 4 。例如,通过人为的方式使一 个物体因旋转而获得角动量 I ,那么这个物体自然会 同时获得一个惯性质量的增量 M ; 由于引力质量 等于惯性质量,因此,这个物体自然会同时获得一个 引力质量的增量 M, 也就是物体的旋转运动导致 物体获得一个附加的负的空间能量动量分布,也就 是使物体获得一个附加的引力( 而不是斥力) 场。 4 结 论 从德布罗意关系式的理论推导过程中 ,可以 清醒地认识到,“粒子具有波粒二象性 , 或粒子是 波粒二象性的统一”是不确切的。更准确地讲,对 粒子尤其是微观粒子而言 ,无论是平坦空间还是 弯曲空间, 都不能保证粒子严格地做匀速直线运 动,或按照短程线所给出的曲线运动。因此 ,运动 粒子表现出的波粒二象性 : 粒子性反应的是粒子 本身的性质; 波动性反应的是空间的性质 。波粒 二象性如同惯性一样 , 是时空与物质相互作用的 结果, 这种现象的根本原因来源于物质的有分割 性,以及物质质量的本质是一个物质与空间之间 相互交换能量的动态过程 。普朗克的能量不连续 的假说也同样来源于物质的有限分割。 以上研究结果表明, 运动粒子的动量、 波动性 同其所产生的引力场之间是相互关联的 。 参考文献 : 1 曾谨言. 量子力学 M . 北京: 科学出版社, 1981. 2 王正行. 近代物理学 M . 北京: 北京大学出版社, 2000. 3 吴大猷. 相对论理论物理( 第四册) M .北京: 科学出版社, 1983. 4 钱凤仪. 相互作用原理 M .长春: 吉林科学技术出 版社 , 1999. The L. de. Broglie Relationship Based on the Theory of Relativity and Its New Physical Meaning QIAN Feng-yi ( Inst . of Geography , Academia Sinica , Changchun 130022, China) Abstract : The history of the establishment of the L . de Broglie relationship is reviewed. Instea