2017新课标Ⅲ全国高考理科数学试卷含答案

2017新课标III理一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为( )A3B2C1D0【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，故选B联立解得或则AB，有2个元素2设复数z满足(1i)z2i，则z( )A B C D2【解析】方法一由(1i)z2i，得z1i，|z|方法二2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A4(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80B40C40 D80【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为xC(2x)2(y)3yC(2x)3(y)240 x3y3，则x3y3的系数为40，故选C5已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A1 B1 C1 D1【解】由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为16设函数f(x)cos (x)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为 Byf(x)的图像关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在(，)单调递减【解析】函数f(x)cos (x)的图象可由ycos x向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在(，)上先递减后递增，D选项错误，故选D解析A项，因f(x)的周期为2k(kZ且k0)，故f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因f(x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，当k3时，直线x是其对称轴，B项正确C项，f(x)cos，将x代入得到fcos0，故x是f(x)的一个零点，C项正确D项，因f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，故是减区间，是增区间，D项错误7执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A5 B4 C3 D2解析：当输入的正整数N是所给选项中最小的正整数2时，t1，M100，S0，则第一次循环，S0100100，M10，t2；第二次循环，S1001090，M1，t3，此时t2不成立，输出S9091故选D8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B C D【解】球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r，故该圆柱的体积V()219等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3 C3D8【解析】因an为等差数列，且a2，a3，a6成等比数列，设公差为d则aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，又a11，代入上式可得，d22d0，又d0，则d2，故S66a115d24，故选A10已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A B C D【解】以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0，0)，半径为a由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2又e，故e，故选A11已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A B C D1【解】由f(x)x22xa(ex1ex1)，得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1 x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1)，故f(2x)f(x)，即x1为f(x)图象的对称轴由题意，f(x)有唯一零点，故f(x)的零点只能为x1，即f(1)1221a(e11e11)0，解得a12在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为A3 B2 C D2【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离为，圆C：(x1)2(y2)2，因P在圆C上，故P(1cos，2sin)，(1，0)，(0，2)，(，2)，故，2cossin2sin()3，tan2，选A二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)13若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_【解析】画出可行域如图阴影部分所示由z3x4y，得yx，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin3141114设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_【解析】由an为等比数列，设公比为q即，显然q1，a10，得1q3，即q2，代入式可得a11，故a4a1q31(2)3815设函数f(x)则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是_【解析】当x0时，f(x)f(x)(x1)(x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当0x时，f(x)f (x)2x(x1)原不等式化为2xx1，该式恒成立，当x时，f(x)f (x)2x2x，又x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为(，)【解二】因f(x)，f(x)f(x)1，即f(x)1f(x)由图象变换可画出yf(x)与y1f(x)的图象如下：由图可知，满足f(x)1f(x)的解为(，)16a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所称角的最小值为45；直线AB与a所称角的最小值为60；其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)【解析】由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC1，AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆以C为坐标原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系则D(1，0，0)，A(0，0，1)，直线a的单位方向向量a(0，1，0)，|a|1B点起始坐标为(0，1，0)，直线b的单位方向向量b(1，0，0)，|b|1设B点在运动过程中的坐标B(cos，sin，0)，其中为与的夹角，0，2)那么AB在运动过程中的向量(cos，sin，1)，|设直线AB与a所成的夹角为0，cos|sin|0，故，故正确，错误直线AB与b所成的夹角为，则0，cos|cos|当AB与a成60角时，|sin|coscos因cos2sin21，故|cos|故cos|cos|因0，故，此时AB与b成60角故正确，错误三、解答题：(共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分17(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解析】(1)由已知可得tanA，故A在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240解得c6(舍去)，c4(2)由题设可得CAD，故BADBACCAD故ABD面积与ACD面积的比值为1又ABC的面积为42sinBAC2，故ABD的面积为18(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】(1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知P(X200)02，P(X300)04，P(X500)04因此X的分布列为X200300500P020404(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n，若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此E(Y)2n04(1 2002n)04(8002n)0264004n当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n；因此E(Y)2n(0404)(8002n)0216012n故n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元19(12分)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD(1)证明：平面ACD平面ABD；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值【解析】(1)由题设可得，ABDCBD，从而ADDC又ACD是直角三角形，故ADC90取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO又由于ABC是正三角形，故BOAC故DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2又ABBD，故BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90故平面ACD平面ABC(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E(0，)故(1，0，1)，(2，0，0)，(1，)设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n(1，1)设m是平面AEC的法向量，则同理可取m(0，1，)则cosn，m故二面角DAEC的余弦值为20(12分)已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程【解析】(1)设l：xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y22my40，4m216恒大于0，y1y22m，y1y24x1x2y1y2(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)44(m21)2m2m40故，即O在圆M上(2)由(1)可得，x1x2m(y1y2)42m24故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200由(1)可得y1y24，x1x24故2m2m10，解得m1或m当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x3)2(y1)210当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为(，)，圆M的半径为，圆M的方程为(x)2(y)221(12分)已知函数f(x)x1alnx(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，(1)(1)(1)m，求m的最小值【解】(1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因f()aln 20，故不满足题意若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，故f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点由于f(1)0，故当且仅当a1时，f(x)0，故a1(2)由(1)知当x(1，)时，x1ln x0，令x1，得ln(1)从而ln(1)ln(1)ln(1)11故(1)(1)(1)e，又(1)(1)(1)(1)(1)(1)2，故当n3时，(1)(1)(1)(2，e)，由于(1)(1)(1)m