2 专题八 几何综合题综合训练

二、重难专题突破专题八几何综合题(必考)针对训练1. (2018北京)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH.(1)求证：GFGC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.第1题图2. (2014北京)在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图；(2)若PAB20，求ADF的度数；(3)如图，若45PAB90，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明.第2题图综合训练1. (2019海淀区二模)已知C为线段AB中点，ACM.Q为线段BC上一动点(不与点B重合)，点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQkCP.(1)若60，k1，如图，当Q为BC中点时，求PAC的度数；直接写出PA、PQ的数量关系；(2)如图，当45时.探究是否存在常数k，使得中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由.第1题图2. (2019北京)已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图；(2)求证：OMPOPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明.第2题图3. (2017北京)在等腰直角ABC中，ACB90，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQCP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M.(1)若PAC，求AMQ的大小(用含的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.第3题图4. (2015北京)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移ADP，使点D 移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于点H，连接AH，PH.(1)若点P在线段CD上，如图，依题意补全图；判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明；(2)若点P在线段CD的延长线上，且AHQ152，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)第4题图5. (2019北京黑白卷)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点(不与端点B、C重合)，点F在对角线AC上，且EFAC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG.(1)若AB7，当BE时，求FG的长；(2)用等式表示线段DF与FG的数量关系，并证明.第5题图6. (2019丰台区二模)如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(不与点B、C重合)，延长AE到点F，连接BF，且AFB45，G为DC边上一点，且DGBE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM.(1)依据题意，补全图形；(2)求证：DAGMAB；(3)用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明.第6题图7. (2019平谷区一模)在ABC中，ABC120，线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD，连接CD，BD交AC于点P.(1)若BAC，直接写出BCD的度数(用含的代数式表示)；(2)求AB，BC，BD之间的数量关系；(3)当30时，直接写出AC，BD的关系.第7题图8. (2019平谷区二模)在等边三角形ABC外侧作射线AP，BAP，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E，连接AD、BD.(1)依据题意补全图形；(2)当20时，ADC ；AEC ；(3)连接BE，求证：AECBEC；(4)当060时，用等式表示线段AE， CD，DE之间的数量关系，并证明.第8题图参考答案 针对训练1. (1)证明：如解图，连接DF，四边形ABCD为正方形，DADCAB，ACADC90，点A关于直线DE的对称点为F，ADEFDE，DADFDC，DFEA90，DFG90，在RtDFG和RtDCG中，RtDFGRtDCG(HL)，GFGC；第1题解图(2)解：线段数量关系：BHAE.证明：如解图，在线段AD上截取AMAE，连接EM.ADAB，DMBE，由(1)得12，34，ADC90，123490，222390，2345，EDH45，EHDE，DEH90DHE45，DEEH，DEH90，A90，1AED90，5AED90，15，第1题解图在DME和EBH中，DMEEBH(SAS)，MEBH，A90，AMAE，MEAE，BHAE.2. 解：(1)补全图形如解图所示；第2题解图第2题解图(2)如解图，连接AE，则PAEPAB20，AEABAD，BAD90，EAD130，ADF25；(3)线段数量关系：2AB2EF2FD2.证明：如解图，连接AE、BF、BD，AD与BF相交于点G.由轴对称的性质可得：EFBF，AEAB，AFAF，AFEAFB(SSS)，AEFABF.又ABAD，ADAE，AEFADF，ABFADF.BAD90，ABFAGB90.又AGBFGD，FGDADF90，BFD90.根据勾股定理可得：BF2FD2BD2，又AD2AB2BD2，且ADAB，2AB2BD2.2AB2EF2FD2.第2题解图综合训练1. 解：(1)如解图，在CM上取点D，使得CDCA，连接AD，第1题解图ACM60，ADC为等边三角形DAC60.C为AB的中点，Q为BC的中点，ACBC2BQ.BQCP，ACBCCD2CP.AP平分DAC.PACPAD30；PAPQ；【解法提示】ACP60，PCCQ，PQCCPQ30，PACPQC30，PAPQ.(2)存在k，使得中的结论成立证明：过点P作PC的垂线交AC于点D.第1题解图ACM45，PDCPCD45.PCPD，PDAPCQ135.CDPC，BQPC，CDBQ.ACBC，ADCQ.PADPQC(SAS).PAPQ.2. (1)解：补全图形如解图所示；第2题解图(2)证明：在OPM中，AOBOMPOPM180.又AOB30，OMPOPM150.线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PN，MPN150，即NPOOPM150.OMPOPN；(3)解：OP2.证明：如解图所示，过点P作PEOA于点E，过点N作NFOB于点F，则PFNMEP90.由(1)知OMPOPN.PMENPF.在PFN和MEP中，PFNMEP(AAS).NFPE，PFEM.在RtOPE中，OP2，AOB30，PE1，OE.OH1，即OEEH1，EH1.点M关于点H的对称点为点Q，QHMH1ME1PF.EQEHHQ11PF2PFOPPFOF.在ONF和QPE中，ONFQPE(SAS).ONQP.第2题解图3. 解：(1)ACP90， 在RtACP中，CAPAPC90，HQAP, 在RtHPQ中，QHPQ90，又APCHPQ，CAP，Q，又在等腰直角ABC中，BBAC45，AMQBQ45；(2)线段数量关系：PQBM. 证明：如解图，连接AQ，过点M作MNBQ于点N，第3题解图CQCP，ACPACQ90，ACAC，ACQACP(SAS)，CAQCAP，APAQ，PQ2CP，又BAC45，MAQBACCAQ 45AMQ，AQMQ，APMQ，又MNBQ，ACPQNM90，在RtAPC和RtQMN中，RtAPCRtQMN(AAS)，CPNM，PQ2MN，又在RtBMN中，B45，BMMN，PQBM.4. 解：(1)补全图形如解图；第4题解图AHPH且AHPH；证明：如解图，连接CH，四边形ABCD是正方形，HDQ45，QHBD，DHQ为等腰直角三角形，DHQH，HDQHQD45，DPCQ，HDPHQC，PHCH，HPCHCP，BD为正方形ABCD的对角线，AHCH，DAHHCP，AHPH，DAHHPC，DAHDPHHPCDPH180，AHP180ADP90，AHPH且AHPH；第4题解图(2)如解图，作HRCD，QHBD，BDC45，DHQ为等腰直角三角形，又AHQ152，AHBAHQBHQ1529062，DAHAHBADH624517，HDPHQC，DCHQPHDAH17，PDQC，设DPx，则DRHRRQ.CRCQRQPDRQx，由tan DCHtan 17得tan 17，解得x，DP.第4题解图5. 解：(1)四边形ABCD为正方形，ABC90.根据勾股定理得，AE10，EFAC，点G是AE中点，FGAE5；(2)线段数量关系：DFFG.证明：如解图，连接BF、BG， 第5题解图AC是正方形ABCD的对角线，ABAD，DACBAC.AFAF，AFDAFB(SAS).DFBF.ABCAFE90.点A、F、E、B四点共圆点G是AE中点，点G为点A、F、E、B四点共圆的圆心BGFG.BAC45，BGF2BAC90.BGF为等腰直角三角形BFFG.DFBF，DFFG.6. (1)解：补全图形如解图；第6题解图(2)证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，ABCBADADG90，在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)，BAEDAG，点F关于直线AB的对称点为点M，BAEMAB，DAGMAB；(3)解：线段数量关系：BM2DF22AD2.证明：如解图，连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，BAD90，DAGMAB，MAN90，由对称性可知：MAFB45，N45，MN，AMAN，AFAM，AFAN，BAEDAG，BANDAF，在BAN和DAF中，BANDAF(SAS)，AFDN45，BFD90，BF2DF2BD2，BDAD，BMBF，BM2DF22AD2.第6题解图7. 解：(1)BCD120；【解法提示】线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD，ACD是等边三角形，ACD60，ABC120，BACBCA60，BCDACDBCA6060120，即BCD120；(2)如解图，延长BA使AEBC，连接DE.由(1)知ADC是等边三角形，ADCD.DABDCBDABDAE180，DCBDAE.ADCD，AECB，ADECDB(SAS).BDED，BDCEDA.BDCADB60，EDAADP60.DEB为等边三角形，DBBEEAABBCAB.BDABBC.第7题解图(3)AC，BD的数量关系是：ACBD；位置关系是：ACBD.【解法提示】由(1)知ACD为等边三角形，ADCACDDAC60，BAC30，ABC120，ACB30，ABBC，ADDC，BD垂直平分AC，ABD60，DAB90，sin ABD，ACBD.8. 解：(1)补全图形如解图，第8题解图(2)40；60；【解法提示】在等边ABC中，ACAB，BAC60，由对称可知：ABAD，PABPAD，ACAD，ADCACD，PAB20，PAD20，CADBACPABPAD100，ADC(180CAD)40，AECADC PAD60.(3)证明：点B关于射线AP的对称点为点D，BAEDAE.DAEBAE.ADABAC，ADC60.AEC60.ACB60，ACDADC60，BCE.ABC