巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明

巧解高考数学压轴题 ( 6 ) 拉格朗日（lagrange）中值定理证明 本本文主要文主要是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总 结结. 通过这篇通过这篇文章文章主要主要让大让大家家明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面 包含了很多深奥的内容包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会而且更重要的是我们应该学会去思考，学会 凡是多问几个为什么， 不要让自己仅仅局限于课本上的内容， 要开动凡是多问几个为什么， 不要让自己仅仅局限于课本上的内容， 要开动 脑筋学会举一反三， 不要单纯为了学习而学习， 让自己做知识的主人！脑筋学会举一反三， 不要单纯为了学习而学习， 让自己做知识的主人！ 罗尔罗尔（R Ro ollelle）中值定理中值定理 如果函数 xf满足条件： 1在闭区间ba,上连续； 2在开区间 ba,内可导； （3） bfaf,则在ba,内至少存在一点 ,使得 0 f 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线 xfy 在点BA, 处的纵坐标相等，那么，在弧 AB 上至少有一点 ,Cf ，曲线 在C点的切线平行于x轴，如图 1， 注意注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定 成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于ba,的， 使得 0 f. 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 2 拉拉格朗日格朗日(lagrange)中值定理中值定理 若函数 xf满足如下条件： 1在闭区间ba,上连续； 2在开区间 ba,内可导；则在ba,内至少存在一点，使 ab afbf f 拉格朗日中值定理的几何意义： 函数 xfy 在区间ba,上的图形 是连续光滑曲线弧 AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦 AB. 如图 2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 xf在闭区间ba,两 端点的函数值相等，即 bfaf，则拉格朗日中值定理就是罗尔中 值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情 形.正因为如此， 我们只须对函数 xf作适当变形， 便可借助罗尔中值 定理导出拉格朗日中值定理. 证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理 3.1 3.1 教材证法教材证法 证明证明 作辅助函数 fbfa Fxfxx ba 显然，函数 xF满足在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，而 且 F aF b 于是由罗尔中值定理知道， 至少存在一点ba， 使 0 ab afbf fF.即 ab afbf f . 3.2 3.2 用作差法引入辅助函数法用作差法引入辅助函数法 证明证明 作辅助函数 ax ab afbf afxfx 显然，函数 x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导， 0ba，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点ba,，使 BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 3 得 0 ab afbf f，即 ab afbf f 推广推广 1 1 如图 3 过原点O作OTAB， 由 xf与直线OT对应的函 数之差构成辅助函数 x， 因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同， 即有： ab afbf KK ABOT ，OT的直线方程为： x ab afbf y ，于 是引入的辅助函数为： x ab afbf xfx . （证明略） 推广推广 2 2 如图 4 过点Oa,作直线 B AAB，直线 B A的方程为： ax ab afbf y ，由 xf与直线函 B A数之差构成辅助函数 x， 于是有： ax ab afbf xfx . （证明略） 推广推广 3 3 如图 5 过点作Ob,直线 B AAB，直 B A线的方程为 bx ab afbf y ， 由 xf与直 线 AB 函数之差构成辅助函数 x， 于是 有： bx ab afbf xfx . 事实上，可过y轴上任已知点 mO,作 /B AAB得 直 线 为 mx ab afbf y ， 从而利用 xf与直 BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 4 线的 B A函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数 x都可以用来 证明拉格朗日中值定理. 因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有 无多个. 3.3 3.3 用对称法引入辅助函数法用对称法引入辅助函数法 在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数 也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从 几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数 xf减去直线函数，反 过来， 用直线函数减曲线函数 xf， 即可得与之对称的辅助函数如下： xfax ab afbf afx xfx ab afbf x xfax ab afbf x xfbx ab afbf x 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以为例给出拉格朗日中值定理的证明. 证明证明 显然， 函数 x满足条件： 1在闭区间ba,上连续； 2在 开区间ba,内可导； 3 ab abfbaf ba .由罗尔中值定理知，至 少 存 在 一 点ba,， 使 得 0 f ab afbf ， 从 而 有 ab afbf f ，显然可用其它辅助函数作类似的证明. 3.4 3.4 转轴法转轴法 由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系xoy逆时针旋 转适当的角度，得新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新 的坐标系下 xf满足罗尔中值定理， 由此得拉格朗日中值定理的证明. BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 5 证明证明 作转轴变换sincosYXx，cossinYXy，为求出 ，解出YX,得 xXxfxyxXsincossincos xYxfxyxYcossincossin 由 bYaY得 cossincossinbfbafa， 从 而 ab afbf t a n，取满足上式即可.由 xf在闭区间ba,上连续，在 开区间ba,内可导，知 xY在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可 导，且 bYaY，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点ba,， 使得 0cossin fY ，即 ab afbf f tan 3.5 3.5 用迭加法引入辅助函数法用迭加法引入辅助函数法 证明证明 让 xf迭加一个含待顶系数的一次函数mkxy，例如 令 mkxxfx或 mkxxfx，通过使 ba，确定出 mk,，即可得到所需的辅助函数. 例如由 mkxxfx，令 ba 得 mkbbfmkaaf， 从而 ab afbf k ， 而m可取任意实数， 这样我们就得到了辅助函数 mx ab afbf x ，由m的任意性易知 迭加法可构造出无数个辅助函数， 这些函数都可用于证明拉格朗日中 值定理. 3.6 3.6 用行列式引入辅助函数法用行列式引入辅助函数法 证明证明 构造一个含 xf且满足罗尔中值定理的函数 x，关键是 满足 ba.我们从行列式的性质想到行列式 1 1 1 xf x af a bf b 的值在 BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 6 ,xa xb时恰恰均为 0，因此可设易证 1 1 1 xf x xaf a bf b ，展开得 xf b xbf aaf xaf bf a xbf x. 因为 xf在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，所以 x在闭 区间ba,上连续，在开区间ba,内可导，且 0ab，所以由罗 尔 中 值 定 理 知，至 少 存 在 一 点ba,，使 得 0 . 因 为 0 fbabfaf 即： ab afbf f 3.7 3.7 数形相结合法数形相结合法 引理引理 在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为 ,A a f a， ,B b f b， ,C c f c， 则ABC面积为 1 1 1 2 ABC af a Sbf b acf c ， 这一引理的证明在这里我们不做介绍， 下面我们利用这一引理对拉格 朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实 际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设 , c f c 是直线AB与 yf x从A点开始的第一个交点，则构造 2 1 1 1 4 1 af a xcf c xf x ， 易验证 x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间, a c上连续，在开区 间, a c内可导，而且 ba，则至少 存在一点ba,，使 / 0，即： BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 7 0 11 1 1 1 1 1 f cfc afa f cfc afa 但是 1 10 1 af a cf c f ，这是因为，如果 1 10 1 af a cf c f ， 则 ff cf cf a cca ，这样使得 , f成为直线AB与 yf x 从A点的第一个交点，与已知矛盾）. 故 0 1 1 1 f cfc afa ，即 ac afcf ab afbf f . 若只从满足罗尔中 值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造 1 1 1 afa xbf b xfx 来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做 进一步的推广：可构造 1 1 1 g af a xg bf b g xf x 来证明柯西中值定理. 3.8 3.8 区间套定理证法区间套定理证法 证明证明 将区间,Ia b二等分，设分点为 1 ，作直线 1 x，它与 曲线 yf x 相交于 1 M，过 1 M作直线 11L M弦 baM M. 此时，有如下 两种可能: 若直线 11 M L与曲线 yf x仅有一个交点 1 M，则曲线必在直 线 11 M L 的一侧.否则，直线 11 M L不平行于直 BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 8 线 ab M M. 由于曲线 yf x在点 1 M处有切线， 根据曲线上一点切线的 定义，直线 11 M L就是曲线 yf x在点 1 M处的切线，从而 ab afbf f 1 .由作法知， 1 在区间, a b内部，取 1 于是有 ab afbf f 若直线 11 M L与曲线 yfx还有除 1 M外的其他交点，设 111 ,Nx y为另外一个交 点，这时选取以 11 ,x为端点的区间，记作 111 ,Ia b，有 1,11 2 ba lI ba , 11 11 f bf af bf a baba ，把 1 I作为新的“选用区间” ，将 1 I二等分， 并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一 个新 “选用区间” 2 I.如此下去， 有且只有如下两种情形中的一种发生: (a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点 k ，作 直线 k x它与曲线 yfx交于 k M，过点 k M作直线 kkL M弦 b MM, 它与曲线 yf x只有一个交点 k M，此时取 k 即为所求. (b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则 得一闭区间序列 n I，满足: 12 III nnn baI, 0 2 nn n ba ban nn nn f bf af bf a baba 由知， n I构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点 3 , 2 , 1nIn，此点即为所求. 事实上 n n n n balimlim， f存 BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark 9 在 f ab afbf nn nn n lim，由lim n nn nn f bf af bf a baba ，所以 ab afbf f ，从“选用区间”的取法可知，确在, a b的内部. 3.9 3.9 旋转变换法旋转变换法 证明证明 引入坐标旋转变换A: cossinxXY cossinYXy 因为 22 cossin cossin10 sincos 所以A有逆变换 / A: cossincossinXxyxf xX x sincossincosYxyxf xY x 由于 xf满足条件: 1在闭区间ba,上连续； 2在开区间ba,内可 导，因此式中函数 Y x在闭区间ba,上连续，在开区间ba,内可导. 为使 Y x满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角， 使 Y aY b, 即 sincossincosaf abf b ，也即 tan f bf a ba . 这样，函数 Y x就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一 点ba，使 0cossinfY即 tanf. 由于所选取 旋转角满足 ab afbf tan，所以 ab afbf f . 说明：本系列教学难度可能偏大，适合数学基础牢固、学有余力的同 学。 后面我会继续为大家提供一些巧解高考数学压轴题的方法与技巧 的，部分为大学知识在高中阶段的应用。 需要获取最新资源请进入 DDL 分享论坛地址：！ BY BBS:_ BY BBS:_ a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf watermarka-pdf watermark a-pdf watermarka-pdf waterm