公务员考试高频考点汇总排列组合

给人改变未来的力量 排列组合排列组合 一、考情分析一、考情分析 排列组合与概率问题作为数学运算中相对独立的一块， 难度本身不小， 在国家公务员考 试中的出场率颇高，近几年几乎都有出现。这部分题型的难度逐渐在加大，这就需要考生在 掌握基本方法原理的基础上，掌握更多的特殊解题方法。 二、加法原理与乘法原理二、加法原理与乘法原理 加法原理和乘法原理是解决排列组合与概率问题的基础，也是最常用、最基本的原理， 所以熟练掌握这两个原理至关重要。 加法原理加法原理 完成一件事情，有类不同的方式，而每种方式又有多种方法可以实现。那么，完成这 件事的方法数就需要把每一类方式对应的方法数加起来。 例如：从地到地，坐火车有种方法，坐汽车有种方法，坐飞机有种方法，那么从 地到地一共应该有种方法。 这里从地到地有火车、 汽车和飞机三 类方式，可使用加法原理。 乘法原理乘法原理 完成一件事请，需要个步骤，每一个步骤又有多种方法可以实现。那么完成这件事的 方法数就是把每一个步骤所对应的方法数乘起来。 例如：从地到地坐飞机需要在地转机，已知从地到地有种方法，从地到 地有种方法。这里从地到地，需要分两个步骤完成，第一步从地到地，第二步 从地到地，因此从地到地有种方法。 总之，记住：分类用加法原理，分步用乘法原理 有的同学可能在面对具体题目时，不知道什么时候分类、什么是分步。实际上，对于分 类和分步，可以这样区分：在分类的情况下，完成一件事，每一类中的每一种方法都可以达 到目的，即都可以完成这件事。在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成了，才算 完成这件事。 我们回过头来看前面举的那个例子：从地到地，坐火车有种方法，坐汽车有种 方法，坐飞机有种方法，那么我们只要任选一种方式，都可以从地到达地，所以这是 一个分类的过程；而对于第二个例子，就必须要先到地，才能到地，也就是说、 这两步你要都完成了，才能最终成功，所以这是一个分步的过程。 互动小练习：互动小练习： 现有各不相同的饼干个，面包个，小马要从中选一个，有几种选法？ 该用加法原理还是乘法原理？ 分析：很显然，可以按所选食物类别分为两类： （1）选饼干：有种选法； （2）选面包： 有种选法。在这两类中任选一个，都能达到目的，所以用加法原理：共有种。 从这个自然数中任取两个不同的数，可组成多少个两位数？ 分析：要组成两位数，十位数、个位数，都需要选。可以先选十位数字，再选个位数字， 显然， 只有这两个过程都完成了， 才能组成两位数。 所以这是一个分步过程， 要用乘法原理。 第一步，选十位数字，在、中选一个，有种选法； 第二步，再选个位数字，可以在剩下的个数中任意选，有种选法。 根据乘法原理，满足条件的两位数共有：412 个。 实际上，在解决问题时，加法原理和乘法原理经常是结合起来用的，可以说两个原理在 处理问题时相互交织、互相渗透。 例题 1：有本不同的数学书，本不同的语文书，本不同的英语书，从中任取两 本不同类的书，有多少种不同取法？ 给人改变未来的力量 C 【答案详解】 这道题较为复杂， 既需分步又需分类。 因为书的类型比较少， 可以先分类， 再分步。 任取两本不同类的书，有三种组合： （）取数学、语文各一本； （）取语文、英语 各一本； （）取数学、英语各一本。 然后利用乘法原理求出每类的取法种数，整体用加法原理求解。 取一本数学一本语文，有 109=90 种不同取法； 取一本语文一本英语，有 98=72 种不同取法； 取一本数学一本英语，有 108=80 种不同取法。 由分类加法原理知，共有 90+72+80=242 种不同取法。 要注意：在分类时， “类与类”之间相互独立且并列，分类过程要做到不重不漏。 三、排列与组合三、排列与组合 （一）基本概念 排列： 从个不同元素中任取个按照一定的顺序排成一列， 叫做从个元素中取出 个元素的一个排列。所有不同排列的个数，称为从个不同元素中取出个元素的排列数， 一般我们记作 Am n 。Am n （）（） 。 例如：从个孩子中选出个孩子排成一行，问有多少种排法。排列顺序不同，排法 也就不一样，也就是说需要考虑孩子的顺序，因此这道题是排列题，排法应该是 A4 10 种。 组合： 从个不同元素种取出个元素拼成一组， 称为从个元素取出个元素的一个组合。 所有不同组合的个数，我们称为个不同元素取出个组合的组合数，一般我们记作 Cm n 。 Cm n = ! ) 1(.)2)(1( m mnxxnnn 。 例如：从个孩子中选出个孩子组成一组，问有多少种选法。这里面只要选出 4 个孩子就可以，不需要考虑孩子的顺序，因此这道题是组合题，选法应该是 C4 10 种。 牢记：考虑顺序用排列，不考虑顺序用组合 例题 2：参加某会议的甲、乙、丙、丁共个企业家进行合影留念，每两人进行一次合 影，一共需要进行（）次合影。 【答案详解】每两人进行一次合影，甲跟乙合照与乙跟甲合照是一样的，只需要合影 次，所以这个问题与顺序没有关系，因此是组合问题，相当于从个人里选出个人的一个 组合，求这两个人不同组合的个数，即 C2 4 =6 种。 例题 3：甲、乙、丙、丁共位同学两两之间互赠自己的照片来做纪念，一共需要多少 张照片？ 【答案详解】交换照片时，甲给乙照片、乙给甲照片，一共需要张照片，所以这个问 题是有顺序的，因此是排列问题。所以为 A2 4 =12。 注意：如果不能理解，可以将例题、例题中的情况数，全列出来，对比即可。 给人改变未来的力量 （二）解题方法 解决排列组合问题， 除了加法原理和乘法原理这两个原理外， 在解题中根据题目的具体 情况，还可以采用以下几大方法。 1.分步分类法分步分类法 例题 1：要求厨师从 12 种主料中挑选出 2 种、从 13 种配料中挑选出 3 种来烹饪某道菜 肴，烹饪的方式共有 7 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴？ A131204B132132C130468D133456 【答案详解】烹饪某道菜肴需要挑选主料、配料、烹饪方式三个步骤，因此此题是乘法 原理的运用。每一步骤均是组合数的计算。 例题 2：有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯 杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？ 种种种种 【答案详解】分类讨论如下： 2特殊优先法特殊优先法 排列问题中，有些元素有特殊的位置要求，如甲必须站第一位，或者有的位置有特殊的 元素要求，如第一位只能站甲或乙。此时，应该优先安排特殊元素或者特殊位置。 例题 3：1 名老师和 6 名学生排成一排，要求老师不能站在两端，那么有多少种不同的 排法？ A720B.3600C.4320D.7200 【答案详解】本题中特殊元素是老师，特殊位置是两端（即排头和排尾） ，优先考虑老师 的位置。 例题 4： 6 个人排成一排，要求甲不站排头，乙不站排尾，共有多少种排法？ A720B.504C.480D.120 【答案详解】分情况讨论。 （1）甲站在排尾 满足“甲不站排头，乙不站排尾” ，剩下 5 人全排列，有 A 5 5=120 种； （2）甲不站排尾 由“甲不占排头”可知，甲站在中间 4 个位置中的一个，有 4 种情况； 然后考虑乙，中间 3 个位置加上排头，共 4 个位置，即有 4 种情况； 给人改变未来的力量 其余 4 人全排列，有 A4 4 =24 种； 由乘法原理可知，甲不站排尾时有 4424=384 种情况。 综上所述，由加法原理，共有 120+384=504 种情况。 注意：有限制的位置或元素较多时，应尽量把限制多的问题拆解为限制少的问题。 捆绑法捆绑法 如果题中要求两个或多个元素相邻时， 可将这几个元素捆绑在一起， 作为一个整体进行 考虑。这种方法只适用于排列问题中，因此需要注意这个整体内部各元素之间的排列。 例题 5：6 个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法？ A280B.120C.240D.360 【答案详解】将甲、乙“捆绑”在一起，看做是一个人参与排列，注意甲、乙本身的顺序（即 甲在乙的左边还是右边） ，那么共有 A5 5 A2 2 =240 种。 插空法插空法 在排列问题中，如果要求两个或多个元素不相邻，可先将其余无限制的元素进行排列， 再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端间所形成的“空”中。 例题 6：6 人站成一排，要求甲、乙必须不相邻，有多少种不同的排法？ A240B.480C.360D.720 【答案详解】除甲、乙外其他 4 人的全排列有 A4 4 =24 种，再将甲、乙插到 4 人形成的 5 个 空中（包括两端） ，有 A2 5 =20 种，由乘法原理，不同的排法共有 2420=480 种。 5反面考虑法反面考虑法 有的问题直接考虑， 情况需要分成好多类来考虑， 而它的反面往往只有一种或者两种情 况，此时我们先求出反面的情况，然后将总情况数减去反面情况数就可以了。 例题 7： 某单位邀请位教师中的位参加一个会议， 其中甲、 乙两位不能同时参加， 则邀请的不同方法有（）种。 【答案详解】 “甲、乙不能同时参加”按照正面考虑，分成以下三类： （）甲参加，乙不参加：从剩下的位老师中选出位 （）乙参加，甲不参加：从剩下的位老师中选出位。 （）甲、乙都不参加：从剩下的位教师中选出位。 然后求出每一类中的不同方法，最后将三类的不同方法相加，可以得出答案。 这个过程中，分类比较多。而它的反面是“甲、乙同时参加”只有一类，因此可以从反面考 虑。 从位老师中任选位的情况数减去甲乙两位同时被选择的情况数： C6 10 -C4 8 种，即为所求。 例题 8：从 6 名男生，5 名女生中任选 4 人参加竞赛，要求男女至少各 1 名，有多少种 不同选法？ A240B.310C.720D.1080 【答案详解】 “男女至少各 1 名”的对立面是“只选男生或只选女生” 。 只选男生有 C4 6 =15 种情况；只选女生有 C4 5 =5 种情况。所以对立面共有 155=20 种情况。 给人改变未来的力量 故所求为 C4 11-20=310。 6插板法插板法 若将若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，可用比组数少个的“挡板”插入 这些元素之间形成的“空”中，将元素进行分组。 例题 9： 将 10 台相同的电脑分配给 5 个村，每村至少一台，那么有多少种不同的分配 方法？ A126B.320C.3024D.1024 【答案详解】10 台电脑并成一排，内部形成 9 个空，在这 9 个空中任意插入 4 个板，那 么就把这 10 台电脑分成了 5 部分， 每一种插法就对应一种分配方法， 故有 C4 9 =126 种方法。 例题 10： 将 10 本没有区别的图书分到编号为 1、2、3 的图书馆，要求每个图书馆分 得的图书不小于其编号数，共有多少种不同的分法？ A12B.15C.30D.45 【答案详解】先给编号为 2 的图书馆 1 本书、编号为 3 的图书馆两本书； 再将剩下的 7 本书分为三份，则可保证“每个图书馆分得的图书不小于其编号数” ，相当于 在 7 本书的 6 个空处加入 2 个隔板，有 C2 6 =15 种。 7归一法归一法 如果其中几个元素的位置相对确定， 如甲必须排在乙前面， 此时我们只需要将这些元素 与其他元素正常排列，然后除以这几个元素的全排列数即可。这里的“归一”是指，这些位 置相对确定的元素位置排列以后，我们只取其中一种。 例题1：5 个人排成一列，现在要求甲必须排在乙之前，丙之后，问有多少种排法？ A2B6C20D108 【答案详解】首先将 5 个人全排列，有 A 5 5=120 种排法。由于甲、乙、丙三人之间的排序 已经确定，他们全排列有 A3 3 =6 种排法。因此，所求排法有 1206=20 种。 8线排法线排法 排列问题一般考查的是直线上的顺序排列， 但是也会有