应用泛函分析复习小结

第一章 实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格 测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及 其它学科中有直接的应用。第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数1第六节 勒贝格积分第一节 集合及其运算1） A A = A, A A = A;2） A = A, A = ；3）若 A B ，则 A B = B, A B = A, A B = ；4) 设 X 为基本集，则A AC = X , A AC = , ( AC )C = A, A B = A BC又若 A B ，则 AC BC 。集合的运算法则：2交换律A B = B A, A B = B A ；结合律( A B) C = A (B C) = A B C ；( A B) C = A (B C) = A B C ；分配律( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) ；( A B) C = ( A C) (B C) .定理 1.1设 X 为基本集，A为任意集组，则1)( U A )C = I ( A )C(1.6)II2)( I A )C = U ( A )C(1.7)IIA ( A B) = A I B3第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1 (闭区间套)设an ,bn (n = 1,2,L, ) 是一列闭区间， an 0 ，必存在6A 中的数 x ，使得 x M (x 0 ，都能找到 ( ) 0（注意 ( ) 与点 x 无关），使得对于 E 中的任意两点 x1 与 x2 ，只要x1 x2 ，就有f (x1 ) f (x2 ) 0 ，都能找到正整数 N ( ) ，使得当 n N ( ) 时，不等式fn (x) f (x) 0 ，存在正整数 N ( ) ，使得当 m, n N ( ) 时，不等式fm (x) fn (x) （1.17）对于所有 x E 的成立.定理 4.10 设 fn (x) 是 E 上的一个连续函数列，如果在 E 上它一致收敛于函数 f (x) ，那么极限函数 f (x) 也在集 E 上连续。定理 4.11 设 fn (x) 是区间a,b 上的连续函数列，若 fn (x) 在a,b 上一致收敛于 f (x) ，则极限函数 f (x) 在a,b 上可积，并且16b f (x)dx = lim bfn (x)dx(1.18)an a或写成bba limn fn (x)dx = limn a fn (x)dx第五节 点集的勒贝格测度与可测函数本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度17命题5.1 如果 f (x) 在区间a,b 上连续，那么 f (x) 在a,b 上必R可积。5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1 设G 为直线上的有界开集，定义 G 的测度为它的一切构成区间的长度之和，也就是说，若 G = U(k , k ) ，其中 ( , k ) 是 G 的构成区间，则kmG = ( k k )（1.23）k定义 5.2设 F 为直线上的有界闭集，F (a,b) ，则 G = (a,b) F 是有界开集，定义F 的测度为18mF = (b a) mG（1.24）定义 5.3 设 E 为直线上的任一有界点集，我们称所有包含 E 的开集的测度的下确界为集 E 的外测度，记作 m E ：m E = infmG | G E,G为开集而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集 E 的内侧度，记作 m E ：m E = supmF | F E, F为闭集定义 5.4 设 E 直线上的有界点集，若 m E = m E ，则称 E 为勒贝格可测集，简称为 L 可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，简称为 L 测度，19记作 mEmE = m E = m E定理 5.1 设 X = (a,b) 为基本集， E , E1 与 E2 为 X 的子集。1） 若 E 可测，则其余集 E C 也可测；2） 若 E1 , E2 可测，则 E1 U E2 , E1 I E2 , E1 E2 均可测；又若 E1 I E2 = ，则m(E1 U E2 ) = mE1 + mE2205.3 可测函数定义 5.5 设 E 为直线上的可测集（有界或无界）， f (x) 是定义在 E 上的实值函数，如果对于任何实数 ，集合E( f ) = x | f (x) , x E都是勒贝格可测的，那么称 f (x) 是 E 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理 5.4 函数 f (x) 在可测集上可测的充要条件是对于任何实数 与 ，集合E( f ) = x | f (x) ) = x | f (x) , x E是可测集；2） E( f ) = x | f (x) , x E 是可测集：3） E( f ) = x | f (x) 0 ，则称集合S(x0 , r) = x | x X , (x, x0 ) 0 ，存在 0 ，使得当 (x, x0 ) 时，有1 (Tx,Tx0 ) 0 ，存在正整数 N ，使得当m,nm, n N 时，有 (xm , xn ) 0 ，必存在正整数 N ，使得当 m N , n N 时有(xn , xm ) = max xn (t) xm (t) N , n N ，对每一个 t a,b 有xn (t) xm (t) 34由第一章定理 4.9，存在 x(t) ，使 xn (t) 一致收敛于 x(t) ，又由第一章定理 4.10，得x(t) Ca,b，即存在 x Ca,b ，使 xn x ，故 Ca,b 是完备的。第四节 压缩映射原理及其应用定义 4.1 （压缩映射）设 X 是距离空间，T : X X （从 X 到 X 的自身映射），如存在常数 ， 0 1，对于任何 x, y X ，都有(Tx,Ty) (x, y)称T 是 X 上的一个压缩映射。定理 4.1 设 X 是完备的距离空间，T : X X 是压缩映射。则T 在 X 中存在唯一的不动点 x ，即有 = x Tx35推论 4.1 设 X 是完备的距离空间，T : X X ，如T 在闭球 S (x0 , r) 上是压缩映射，并且 (Tx0 , x0 ) (1 )r ，则T 在 S 中存在唯一的不动点。推论 4.2 设 X 是完备的距离空间，T : X X 。如存在常数 (0 1）的共轭空间。例 2.8 Lp a,b空间的共轭空间。第三节内积空间与希尔伯特空间3.1 内积空间、希尔伯特空间的定义定义 3.1 设 H 为复数域 C 上的线性空间，若从 H H 到 C 中定义一个函数 , ，使对任意 x, y, z H ，满足1） x, y = y, x ，其中 y, x 为 x, y 的共轭复数；2）对于任意复数 , 有 x + y, z = x, z + y, z473） x, x 0 ；当且仅当 x = 时，有 x, x= 0 。则称函数 , 为 H 的内积，定义了内积的空间 H ，称为内积空间。在内积空间中，定义范数如下（3.40）x =x, x而定义距离为(x, y) = x y =x y, x y（3.41）证明下面的许瓦尔兹不等式x , yx y（3.42）定义 3.2 完备的内积空间称为希尔伯特空间。系数域为复数（或实数）的希尔伯特空间称为复（或实）希尔伯特空间。48性质 3.1 设 H 为希尔伯特空间， H 中的内积 x, y 为 x, y 的连续函数，即若xn x, yn y ，则xn , yn x, y性质 3.2 H 中的内积与范数有下列关系： 若 H 为实希尔伯特空间时，x, y =1( x + y 2 x y 2 )（3.43）4若 H 为复希尔伯特空间时，x, y =1( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2（3.44）4性质 3.3 H 中的范数满足下列的平行四边形公式x + y2 +x y2 = 2x2 + 2y2（3.45）493.2 正交分解与投影定理定义 3.3 内积空间 H 中的两个元素（向量） x, y 称为正交的，是指 x, y 的内积 等于零，即 x, y = 0 , 并用 x y 表示。设 M 是 H 中的一个子集，若 x 与 M 中的任意元素 y M 正交，则称 x与 M 正交，记作 x M 。设 M,N 是 H 的两个子集，若任意 x M,yN，均有 xy，则称 M 与 N 正交，记做 MN。设M为H的子集，H中所有与M正交的元素的全体称为集合M的正交补，记做M，即M = y | y x, x M50性质 3.4 设H中两个元素x1，x2正交