均值不等式常见题型整理

均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果abR+，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果abR+，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果abR，那么a2+b2 (当且仅当a=b时，取“=”) 均值定理：如果abR+，那么 (当且仅当a=b时，取“=”)均值定理可叙述为： 4变式变形：5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。二、 常见题型：1、分式函数求最值，如果可表示为的形式，且在定义域内恒正或恒负，则可运用均值不等式来求最值。例：求函数的最小值。解：当即x=0时等号成立，2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。例：已知，求的最小值。解法一：思路二：由变形可得然后将变形。 解法二：可以验证：两种解法的等号成立的条件均为。此类题型可扩展为：设均为正数，且，求的最小值。 ，等号成立的条件是。3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。例：求函数的最小值。思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间入手，可得一个不等式（当且仅当或时取等号），展开此式讨论即可。 解：即得4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。例：已知a,b,c均为，求证：。证明：均为正数，总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。【巩固练习】1、若求函数最值。 答案：2、求函数的值域。 答案：-3，03、已知正数满足求的最小值。答案：4、已知为正数，且，求的最小值。答案：5、若，求的最小值。答案：6、设为整数，求证：。三、利用不等式解题的典型例题解析：题型一：利用均值不等式求最值（值域）例1、（1）已知，求的最小值（2）已知，求的最大值变式1： 1、若，求的值域 2、函数的最大值为 变式2：1、已知且，求的最小值2、，求的最小值3、当为正常数时，求的最小值变式3：1、函数的图象恒过定点，若点A在直线上，其中，则的最小值为 2、求的最小值为 3、已知的最小值为 变式4：1、已知都是正实数，且（1）求的最小值（2）求的最小值题型二：利用均值不等式证明不等式例2、已知，求证：（1）（2）（3）变式5：1、已知且不全相等，求证： 2、已知，且，求证： 3、已知，求证：题型三：利用基本不等式解应用题例3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元。（1） 该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（2） 若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时