概率论与数理统计

概率论与数理统计综合复习资料一、填空题1由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。则： ； 。 2一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ；（2）恰有一次取到次品的概率为 。3设、为事件，则 。4设与相互独立，都服从0，2上的均匀分布，则 。5设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则= 。6设由来自总体的容量为100的样本测得样本均值，则的置信度近似等于0.95的置信区间为 。7一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以表示：“取到的两只球均为白球”；表示：“取到的两只球同色”。则 ； 。8设的概率分布为，则 ； 的分布函数 。9已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为 。10设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则= 。11设与独立同分布，且，则(= 。二、 选择题1 设和相互独立，且分别服从和，则【 】。 （） （） （） （） 2已知，则【 】。() 1 () 0.7 () 0.8 () 0.53甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是【 】。 () 0.6 () 5/11 () 0.75 () 6/11 4设事件、满足，则下列结论正确的是【 】。 () () () ()5设和为任意两个事件，且，则必有【 】。 () () () ()6设和是任意概率不为零的互斥事件，则下结论正确的是【 】。 () ()与互斥 () ()与不互斥7设的概率密度，则 【 】。 () 3 () 1/3 () 1/2 () 2三、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求： （1）取到的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。四、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。五、设随机变量的概率分布为 1 0 1 2 0.3 0.2 0.4 0.1求：（1）； （2）的概率分布；六、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律。七、已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： （1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。八、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。九、设是来自正态总体的随机样本，。试确定、使统计量服从分布，并指出其自由度。十、设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数； （2）概率。十一、设的概率分布为 求：和。 十二、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。十三、设，求。十四、在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。 十五、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中； （2）甲击中乙击不中； （3）乙击中甲击不中。十六、在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求： （提示：）（1） 该电子元件被损坏的概率（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200240伏内的概率。十七、设为总体的一个样本，且服从几何分布，即，求的极大似然估计量。 参考答案：一、填空题1 3/14 19/30 2 8/45 16/45 30.7； 4 1/2； 5 1； 6(4.804，5.196) 7 3/28； 13/28； 8 ； 93/7 109/64 11117二、 选择题 1 2 3 4 5 6 A 7 C三、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求： （1）取到的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第车间生产的”（）。 L LLLLL 2分则，且，两两互斥，由全概率公式得 L LLLLL 5分 LLLL 7分 = L LLLLL 10分 L LLLLL 12分四、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。 解：的可能取值为1，2，。 记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得 2分 8分依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为 五、设随机变量的概率分布为 1 0 1 2 0.3 0.2 0.4 0.1求：（1）； （2）的概率分布； 解：（1） 4分 6分 8分（2）的概率分布 3 1 1 3 0.3 0.2 0.4 0.1 12分六、设随机地在1，2，3中任取一值，随机地在1中任取一整数值,求：（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律。解：（1）的概率分布表为 1 2 3 6分 （2）关于的边缘分布律为 1 2 3 9分 关于的边缘分布律为 1 2 3 12分七、已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求： （1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 3分 5分 6分 （2） 9分从而有与的相关系数 10分八、设为的一个样本， 其中为未知参数，求的极大似然法估计量。 解：设为观测值，则构造似然函数 LLLLLL 3分 LLLLLL5分令 LLLLLL8分解的的极大似然估计量为 LLLLLL10分 九、（6分）设是来自正态总体的随机样本，。试确定、使统计量服从分布，并指出其自由度。解：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。 2分由于为简单随机样本，故相互独立，所以由正态随机变量的性质知，从而解得1/45。 4分同理，从而解得1/117。 5分由分布定义知，当、时，服从分布，且自由度为2。 6分十、设二维随机变量（，）的概率分布为 求：（1）随机变量X的密度函数； （2）概率。解：（1）时，=0； 2分时，= 4分故随机变量的密度函数= LLLLLL5分 （2） LLLLLL 10分十一、设的概率分布为 求：和。 解：由于在有限区间1，5上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、，LL 3分因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 LLL 6分。LLL10分 十二、设总体的分布列为 1 0 为的一个样本，求的极大似然估计。 解：设为观测值，的分布律为 （）于是似然函数 LLLLLL 2分 LLLLLL 4分 LLLLLL 6分 LLLLLL 8分令，解得，因此的极大似然估计为 LLLLLL 10分十三、设，求。解：由于 ， LLLLLL2分 ，LLLL3分而 ， LL5 分 ， LLL7分故 。 LLLLLL 8 分十四、在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率： （1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。 解：（1） 2分 3分 4分（2） 6分 8分十五、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中； （2）甲击中乙击不中； （3）乙击中甲击不中。解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则 （1） 4分 （2） 8分 （3） 12 分十六、在电源电压不超过200，200240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求： （提示：）（3） 该电子元件被损坏的概率（4） 电子元件被损坏时，电