信号与系统王明泉科学出版社第六章习题解答

第6章 线性时不变离散系统的时域分析6.6本章习题全解6.1 分别绘出以下各序列的图形(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：6.2 判断以下序列是否是周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。解：设信号的最小周期为N，则有，k为任意整数对于正弦信号，所以只有当时，成立即满足，所以只有为有理数时，即时，可得到为周期序列。根据以上的分析，可得（1），为周期序列，当取时，可得周期（2），为非周期序列（3），为周期序列，当取时，可得周期（4），为非周期序列6.3设均为周期序列, 其周期分别为, 请问这三个序列的线性组合是否还是周期序列? 若是, 周期是多少?解：该序列还是周期序列。设，周期为N则因为均为周期序列,所以，所以只有当时，成立。此时，即表示N为的最小公倍数。所以这三个序列的线性组合还是周期序列周期是的最小公倍数。6.4 巳知序列的图形如下图表示， (1)写出它们的数值序列； (2)求下列卷和的数值序列表示式； (3)将所求各卷和用单位函数序列表示。11-1-110211211n210-11n120-1-2n03(a)(b)(c)(d)n题图6-6解：（1），（2）求1.做出的波形；2.翻褶。以为对称轴，折叠，得到，对应序号相乘，相加得；3.将位移一个单元，对应序号相乘，相加得；4.重复步骤3，得最终得到结果如下：所以同理求所以同理求所以同理求所以（3） 6.5 已知序列x(n)和h(n)如下：求线性卷积，并用公式表示。解： 6.6 卷积的一个重要的性质是结合律。即若。分别按上述三种结合方式计算卷积，根据结果能得出什么结论？解：（1） （2）（3）6.8 判断以下系统是否线性的，是否时不变的，是否稳定或因果的？解：（1）所以，系统为非线性，系统为时不变对于任意的，则有，所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关，所以系统是因果的（2），系统为非线性，系统为时不变对于任意的，则有，所以系统是稳定的。根n-3时刻的输入有关，所以系统是非因果的（3）所以，系统为线性，所以，系统为时变对于任意的，则有，所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关，所以系统是因果的（4）所以，系统为非线性，系统为时变对于任意的，则有，所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关，所以系统是因果的（5）所以，系统为线性，系统为时不变对于任意的，则有，所以系统是不稳定的。根n时刻以后时刻的输入有关，所以系统是非因果的（6）所以，系统为线性，系统为时不变对于任意的，则有，所以系统是不稳定的。只根n时刻的输入有关，所以系统是因果的6.9 以下各序列是系统的单位样值响应，试判断各系统的因果性和稳定性。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）当时，所以该系统是因果系统，所以该系统是稳定系统（2）当时，所以该系统是因果系统，所以该系统是稳定系统（3）当时，所以该系统是非因果系统，所以该系统是不稳定系统（4）当时，所以该系统是非因果系统，所以该系统是稳定系统（5）当时，所以该系统是因果系统，所以该系统是稳定系统（6）当时，所以该系统是因果系统，所以该系统是不稳定系统6.10 求题图6-10所示的复合系统有三个系统组成，它们的单位样值响应分别为，求复合系统的单位样值响应。题图6-10解：根据题意得复合系统的单位样值响应为6.11两个离散时间系统A和B，其中系统A是一个LTI系统，其单位样值响应为系统B分别为：（1）；（2）。其中是B的输入，是B的输出。分别计算题图6-21 (a)、(b)所示两个级联系统的单位样值响应。证明这两个系统不具备交换律性质。题图6-21解：（a）设时，系统A的输出为，则所以（b）设时，系统B的输出为，则6.12 试证明：如果一个离散时间LTI系统的输入是周期为N的周期信号，则输出也是周期为N的周期信号。证明：是周期为N的周期信号，即设LTI系统的单位样值响应函数为则系统输出为因为系统为LTI系统，满足移不变特性，所以所以也是周期为N的周期信号6.13 以每月支付D美元的办法偿还一笔100000美元的贷款。利息（按月复利）是按每年未偿还金额的12%计算的。例如，第一个月总的欠款为设为第个月支付的余下未付欠款，贷款是第0个月借的，第一个月开始每月偿还，试写出差分方程。 解： 即其中6.14 一个乒乓球从米高度自由下落至地面，每次弹起的最高值是前一次最高值的1，若以表示第次跳起的最高值，试列写描述此方程的差分方程。解：，即初始条件6.15 试利用经典法求解下列系统的全响应（1），（2），解：（1）特征方程为，特征根为，因为方程的输入为0，所以可设方程的解为带入初始条件，解得所以（2）设特解为，代入方程，得所以特征方程为，特征根为，设方程的其次解为所以完全解为带入初始条件，解得所以 6.16 已知各系统的差分方程如下，求各系统的零输入响应(1),，；（2），。解：（1）特征方程为，特征根为因为是三重根，设方程的解为代入初始条件，解得（2）特征方程为，特征根为设方程的解为代入初始条件，解得6.17 已知系统的差分方程为初始条件，。（1） 求系统的零输入响应和单位样值响应；（2） 若，求系统的零状态响应。解：（1）特征方程为，特征根为设零输入响应为代入初始条件，解得，所以当系统方程输入为时，系统输出为，此时差分方程为所以，根据系统方程，以及，可得起始状态代入条件解得所以另外输入为时，输出为所以系统的单位样值响应（2）系统的零状态响应6.18 已知系统的差分方程为初始条件，。求系统的全响应。解：设特解代入方程得,所以特征方程为，特征根为设完全响应为代入初始条件，解得所以6.19 某系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相应于输入为的响应为（1） 若系统起始为静止的，试决定此二阶差分方程。（2） 若系统激励为，求响应。解：根据方程的解可知，其次解为，即特征根为2，5特解为设差分方程为将特解代入方程，得 （式1）根据解得，代入方程得，所以所以系统差分方程为（2）输出为6.20 已知线性时不变系统的单位样值响应以及输入，求输出，并绘图示出。（2）解：