浙教版八年级数学下册 第1章 二次根式 知识点总结

知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是 2、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009，则x+y= 解题思路：式子（a0）， ，y=2009，则x+y=2014举一反三： 1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D33、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 【例4】若则 举一反三：1、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.2、若与互为相反数，则。 （公式的运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三： 3已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三： 2、化简得（ ）（A）2（B）（C）2（D）3、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）2、若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【例10】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)1、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】 【例11】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=_.知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例12】 把下列各式分母有理化（1） （2） 举一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）知识点五：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典型例题】 【例13】 比较与的大小。 【例14】比较与的大小。【例15】比较与的大小。 【例16】比较与的大小。已知：，求的值二次根式和一元二次方程经典练习题1. 把的根号外的因式移到根号内等于 。2. 若与互为相反数，则。3. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 4. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 5. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或6. 若成立，则x、y符合的条件是（ ）A. x0，y0B. x0，y为一切实数C. x0，y0D. 以上都不对7. 若和都是最简二次根式，则。8. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -310. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 11. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 312.若最简二次根式与是同类二次根式，则。若最简二次根式与是同类二次根式，则。13、以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 14、如果是一个完全平方式，则_15、已知是一元二次方程的两个实数根，且，则m=_16、已知是方程的两实根，是否能适当选取a的值，使得的值等于_17、关于x的二次方程的两根一个比1大，另一个比1小，则m的取值范围是_18、已知二次方程的两根都是负数，则k的取值范围是_19、方程的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么m = _20、一元二次方程的两实根之差是3，则21、已知实数满足，那么的值是（ ） （A）1或-2 （B）-1或2 （C）1 （D）-222、关于x的方程的两实根满足，则的值是（ ）（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）-1523、已知、为ABC的三边，试判断关于的方程的根的情况24、 已知是关于x的方程的两个实根，k取什么值时，25、已知关于的方程有两个不相等的实数根、，且（1）求证：（2）试用的代数式表示（3）当时，求的值26、 已知：是关于的方程的两个实数根且，求的值27、已知关于的一元二次方程（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等