高三数学百所名校好题分项解析汇编之南通专版（2020届版）

高三数学百所名校好题分项解析汇编之南通专版（2020届版）第五章数列1【2020届江苏省七市第二次调研考试】在等差数列（）中，若，则的值是_.【答案】-15【解析】数列是等差数列，又，故.故答案为：2.【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2a8=2a3a6,S5=-62，则a1的值是 【答案】-2【解析】a2a8=2a3a6a52=2a5a4a5=2a4q=2，S5=-62a1(1-25)1-2=-62a1=-23.【2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_【答案】【解析】设数列公差为，由已知得，解得故答案为：4.【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为_【答案】88【解析】由题意得 所以 5.【2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研】已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_.【答案】1【解析】由的等差数列,因为成等比数列,则,即,可得,则,故答案为：16.【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】设等差数列的前项和为，若，则的值为_.【答案】.【解析】由得，即，故答案为：.7.【2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则_.【答案】3【解析】从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，第行的个数为，从第1行到第行的所有数的个数总和为，是第行第个数，整理得.故答案为:3.8.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知等差数列的前n项和为Sn，若，则_.【答案】【解析】由等差数列的性质可得：，成等差数列，可得：，代入，可得：，故答案为：.9.【江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末】已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_.【答案】1【解析】由的等差数列,因为成等比数列,则,即,可得,则,故答案为：110.【2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考】设为数列的前n项和，若（），且，则的值为_.【答案】1240【解析】当时，可得，当时，由，得，即，数列是首项，公差为6的等差数列，故答案为：1240.11.【江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考】已知等比数列的前项的和为,则的值为_.【答案】4【解析】 解得,.所以.故答案为:4.12.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试】已知为数列的前n项和且.则的值_【答案】5【解析】，且，即故答案为：5.13.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考】设等比数列的公比为，前项和为.若存在，使得，且，则正整数的值为_.【答案】【解析】，得，解得.由，可得，所以，即，解得，故答案为.14.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试】已知等比数列的前项的和为,则的值为_.【答案】4【解析】 解得,.所以.故答案为:4.15.【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】等比数列中，前项和为，满足，则_.【答案】31【解析】设等比数列的公比为，由,可得。，故答案为：31.16.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】五世纪张丘建所著张丘建算经卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月天共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为_尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为17.【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知数列的首项，数列是等比数列，且，若，则_.【答案】【解析】设等比数列公比为，则，故，故.故答案为：.18.【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则的值为_【答案】. 【解析】设的首项，公比为，时，成等差数列，不合题意；时，成等差数列，解得，故答案为.19.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知等比数列的前项和为，且，则_【答案】1【解析】由于，且为等比数列，则： ，即： ，因为：，则： ，即： ，又因为：，则： ， .解得：，则： .故答案为：1.20.【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知等比数列的前n项和为.若，则的值为_.【答案】【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，即，解得，因此.故答案为21.【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知等比数列的前项和为，若，且，成等差数列，则满足不等式的的最小值为_.【答案】12【解析】因为，成等差数列。所以等比数列的公比.由题得因为，所以因为时，时，.所以的最小值为12.故答案为：1222.【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】已知正项数列，其前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）如果对任意正整数，不等式都成立，求证：实数的最大值为1.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）当时，解得，或（舍）由得，即，也就是，由于数列各项均为正数，所以，即.所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，即，因为，所以，所以，所以，因为不等式对任意的正整数恒成立，即对任意的正整数恒成立，又当，则的最大值为1；23.【2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟】设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.(1)当时. 求数列的通项公式；若，求数列的前项的和；(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，0.【解析】(1)若，因为则，.又，化简，得. 当时，. ，得，.当时，时上式也成立，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.因为，所以所以将两式相减得：所以(2)令，得.令，得.要使数列是等差数列，必须有，解得.当时，且.当时，整理，得，从而，化简，得，所以. 综上所述，所以时，数列是等差数列.24.【2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研】已知数列an满足：a11，且当n2时，（1）若l1，证明数列a2n-1是等差数列；（2）若l2.设，求数列bn的通项公式；设，证明：对于任意的p，m N *，当p m，都有 Cm.【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【解析】（1）证明：当时,，,则得,当时,是首项为1,公差为1的等差数列（2）当时,当时,得,即,是首项为,公比为4的等比数列,由（2）知,同理由可得,当时,是首项为,公比为4的等比数列, ,当时,；当时,；当时,对于一切,都有,故对任意,当时,25.【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】在公差不为零的等差数列中，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列得：，解得或（舍去），所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，所以， ， -得：，所以.26.【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；（3）记，是否存在互不相等的正整数，使，成等差数列，且，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）； （3）不存在.【解析】（1）因为数列的前项和满足，所以当时，两式相减得：，即，又时，解得：，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.（2）由（1）知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，令，因为，故单调递减，所以，故，所以，实数的取值范围是.（3）由（1）知：，假设存在互不相等的正整数，满足条件，则有.由与得，即，因为，所以.因为，当且仅当时等号成立，这与，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数，满足条件.27.【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】设数列的各项均为正数，的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列的首项为2，公比为q（），前n项和为.若存在正整数m，使得，求q的值.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）当时，则.当时，即，所以.因为数列的各项均为正数，所以，所以，所以数列是公差为4的等差数列，所以.（2）由（1）知，.由，得，所以.因为，所以，即，由于，所以或.当时，解得（舍负），当时，解得（舍负），所以q的值为或.28.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知数列和都是等差数列，.数列满足.（1）求的通项公式； （2）证明：是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列，使得对任意，都有成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.【解析】（1）因为数列是等差数列，设的公差为d，则， 因为是等差数列，所以成等差数列，即，解得，当时，此时是等差数列.故.（2）由，即， 所以， -得， 所以， -得，即时，在中分别令得，也适合上式，所以，因为是常数，所以是等比数列. （3）设存在对任意，都有恒成立，即，显然，由可知， 由得，.设，因为，所以当时，递增；当时，递减. 因为，所以， 解得，综上可得，存在等比数列，使得对任意，都有恒成立， 其中公比的取值范围是.29.【2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考】已知数列满足：（常数），（，）.数列满足：（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由已知得，所以，.（2）由条件可知：（），所以（）.得.即：.因此：，故（），又因为，所以.（3）假设存在k，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数.由（2）知（，2，3）由，所以或2，检验：当时，为整数，利用，结合，各项均为整数；当时变成（，2，3）消去，得：（）由，所以偶数项均为整数，而，所以为偶数，故，故数列是整数列.综上所述，k的取值集合是.30.【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知数列的首项a12，前n项和为，且数列是以为公差的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：数列为等比数列，若存在整数m，n(mn1)，使得，其中为常数，且2，求的所有可能值【答案】（1）；（2）见证明；当n=2，m=4时，=-2，当n=2，m=3时，=-1.【解析】（1）因为，所以所以即当时，当n=1时，符合上述通项，所以(2）因为，所以所以则两式相减，可整理得，且所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列.由可知，且由（1）知，代入可得整理得即：，设，则则因为，所以当时，即因为，且所以所以或，即n=2，m=4或3当n=2，m=4时，=-2，当n=2，m=3时，=-1.31.【江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末】已知数列an满足：a11，且当n2时，（1）若l1，证明数列a2n-1是等差数列；（2）若l2.设，求数列bn的通项公式；设，证明：对于任意的p，m N *，当p m，都有 Cm.【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析【解析】（1）证明：当时,，,则得,当时,是首项为1,公差为1的等差数列（2）当时,当时,得,即,是首项为,公比为4的等比数列,由（2）知,同理由可得,当时,是首项为,公比为4的等比数列, ,当时,；当时,；当时,对于一切,都有,故对任意,当时,32.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试】已知数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，,.（1）求,的值;（2）求证：数列为等差数列；（3）设数列满足，求证：.【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】(1)令得,又,解得;令得,即,从而.(2)因为 ;所以 -得,.因为数列的各项均为正数,所以.从而.去分母得,化简并整理得,即,所以.所以数列为等差数列.(3)由(2)知, .当时,又,所以.由知, .-得,即,依题意,所以.当时,当时,原不等式也成立.综上得,.33.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知数列，满足：，（1）若是等差数列，且公差，求数列的通项公式；（2）若、均是等差数列，且数列的公差，求数列的通项公式【答案】（1）（2）【解析】（1）因为是等差数列，且公差，所以，所以，因为，即：，所以，上面式子相加得：，所以，当时也满足上面的通项，综上：数列的通项公式，（2）因为是等差数列，且数列的公差，所以，得：，即，所以，因为是等差数列，设等差数列的公差为，所以，由此解得：，所以，满足，即，因为，所以，所以，当时，所以，当时，所以，综上：数列的通项公式.34.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】设数列的前n项和为，求数列的通项公式；设数列满足：对于任意的，都有成立求数列的通项公式；设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由【答案】(1)，.(2)，.见解析.【解析】（1）由， 得， 由-得，即，对取得，所以，所以为常数，所以为等比数列，首项为1，公比为，即，. （2）由，可得对于任意有， 则， 则， 由-得，对取得，也适合上式，因此，.由（1）（2）可知，则，所以当时，即，当时，即在且上单调递减，故，假设存在三项，成等差数列，其中，由于，可不妨设，则（*），即，因为，且，则且，由数列的单调性可知，即，因为，所以，即，化简得，又且，所以或，当时，即，由时，此时，不构成等差数列，不合题意，当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，因为数列在且上单调递减，且，所以，综上所述，数列中存在三项，或，构成等差数列.35.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试】已知数列满足：（常数），.数列满足：.（1）求的值；（2）求出数列的通项公式；（3）问：数列的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) ；(2) ； (3) k为1，2时数列是整数列.【解析】（1）由已知可知：，把数列的项代入求得；（2）由可知：则：有：，即：，；（3）假设存在正数k使得数列的每一项均为整数，则由（2）可知：，由，可知，2.当时，为整数，利用结合式可知的每一项均为整数；当时，变为用数学归纳法证明为偶数，为整数.时结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，时，命题成立.故数列是整数列.综上所述k为1，2时数列是整数列.36.【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】设为数列的前项和，若（为常数）对任意恒成立.（1）若，求的值；（2）若，且.求数列的通项公式；若数列满足，且，求证：数列为等比数列.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）因为，所以，所以数列为等比数列.所以，所以. （2）.当时，解得或（舍去）. 当时，化简得：.又因为，所以，所以数列为等差数列，所以. 因为，所以当时，.又因为，所以.当时，解得. 因为，所以，两式相除得，.因为，所以，两式相除得， 所以.又因为，所以，即.所以数列为等比数列.37.【江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考】已知数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，,.（1）求,的值;（2）求证：数列为等差数列；（3）设数列满足，求证：.【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】(1)令得,又,解得;令得,即,从而.(2)因为 ;所以 -得,.因为数列的各项均为正数,所以.从而.去分母得,化简并整理得,即,所以.所以数列为等差数列.(3)由(2)知, .当时,又,所以.由知, .-得,即,依题意,所以.当时,当时,原不等式也成立.综上得,.38.【2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.(1)当时. 求数列的通项公式；若，求数列的前项的和；(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，0.【解析】(1)若，因为则，.又，化简，得. 当时，. ，得，.当时，时上式也成立，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.因为，所以所以将两式相减得：所以(2)令，得.令，得.要使数列是等差数列，必须有，解得.当时，且.当时，整理，得，从而，化简，得，所以. 综上所述，所以时，数列是等差数列.39.【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考】若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析【解析】（1）因为，所以，于是，又因为，解得（2）的公差为，的公比为，所以，但，所以不具有性质证（3）充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”40.【2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟】设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，（e是自然对数的底数）.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）因为,当时,解得；当时,有,由得,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即（2）由（1）知,所以,减去得:,所以41.【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知数列的前项和为，设.（1）若，记数列的前项和为.求证：数列为等差数列；若不等式对任意的都成立，求实数的最小值；（2）若，且，是否存在正整数，使得无穷数列，成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在；详见解析【解析】（1）因为，（i）所以（ii）将（i）（ii），得，即（iii）所以，当，时，（iv）将（iii）（iv）得，当，时，整理得，即，所以数列为等差数列因为，令，2，得，解得，结合可知，故所以，两式相减，得，所以依题意，不等式对任意的都成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立令，则，所以当，2时，即，且当，时，即所以当时，取得最大值，所以，实数的最小值为（2）因为，所以，即因为，所以，所以，所以当，时，假设存在，成等差数列，公差为则，（）若，则当，时，而，所以与题意矛盾（）若，则当，时，与题意矛盾所以不存在，使得无穷数列，成公差不为0的等差数列42.【2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】如果无穷数列an满足条件：； 存在实数M，使得anM，其中nN*，那么我们称数列an为数列.（1）设数列bn的通项为bn20n2n，且是数列，求M的取值范围；（2）设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3，S3，证明：数列Sn是数列；（3）设数列dn是各项均为正整数的数列，求