20105一阶电路瞬态分析5-23

5-2,3 一阶电路的瞬态分析5-2,3 一阶电路的瞬态分析 一、动态电路一、动态电路 1. 稳态：稳态： (1) 不随时间发生变化；不随时间发生变化； (2) 周期性地变化；周期性地变化； 称为电路的稳定工作状态。称为电路的稳定工作状态。 2. 瞬瞬(暂暂)态：态： 含有动态元件的电路发生含有动态元件的电路发生“换路换路”(或工作条件 发生变化 或工作条件 发生变化)，需经历一个稳态到另一个稳态的 过渡，此过渡过程称为暂 ，需经历一个稳态到另一个稳态的 过渡，此过渡过程称为暂(瞬瞬)态过程。态过程。 + uS + uR- - + uL - -uC+ + R C L K i例例：电路如图所示 ： 当 ：电路如图所示 ： 当K合上之前，合上之前， i=0，uR=0， 某时刻 ， 某时刻t，合上，合上K，则由，则由KVL 有：有： s uuuu CLR =+ s 1 uidt Cdt di LRi=+ 即：即： dt du Cti dt tdi LC dt tdi RC S 2 2 )( )()( =+ (二阶微二阶微 分方程分方程 ) dt du Ci dt di RC S =+ (一阶微分方程一阶微分方程) 若若L短路：短路： dt du Cti dt tdi LC dt tdi RC S 2 2 )( )()( =+ (二阶微二阶微 分方程分方程 ) dt du Ci dt di RC S =+ (一阶微分方程一阶微分方程) 含含L、C的电路称为动态电路的电路称为动态电路 。 将将L、C元件称为元件称为动态元件动态元件。 一般情况下，当电路中含有：一般情况下，当电路中含有： 一个一个储能元件储能元件描述为描述为一阶一阶微分方程微分方程 一阶一阶电路电路 二个二个储能元件储能元件描述为描述为二阶二阶微分方程微分方程 二阶二阶电路电路 n个个储能元件储能元件描述为描述为n阶阶微分方程微分方程 n阶阶电路电路 二、动态电路的特点二、动态电路的特点 R + E C + C u )0( =tK 2 1 当当t0，K打在打在1，电源，电源E对对C充 电，达到 充 电，达到一种稳态一种稳态；EuC t0时刻时刻K打到打到2，C放电，直至放光，（放电，直至放光，（uC0）,）, 从而进入从而进入另一种稳态另一种稳态。 K从从12，称之为，称之为换路换路，换路过程认为瞬间完成。，换路过程认为瞬间完成。 K在在1时，称为时，称为换路前换路前，记为，记为 t0- - K在在2时，称为时，称为换路后换路后，记为，记为 t0+ + K从从12后，欲使后，欲使uC0 ，需要一定时间，这个，需要一定时间，这个 过程称为过程称为过渡过程过渡过程或或暂态过程暂态过程。 0时刻时刻 结论结论：当动态电路的：当动态电路的结构或元件参数发生改变结构或元件参数发生改变时， 如电源或无源元件断开或接入，信号的突然注入 等，电路将从一个稳定状态逐步过渡到另一个稳 定状态，这中间的过程即是过渡过程。 旧稳态 时， 如电源或无源元件断开或接入，信号的突然注入 等，电路将从一个稳定状态逐步过渡到另一个稳 定状态，这中间的过程即是过渡过程。 旧稳态新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 C 电路处于旧稳态电路处于旧稳态 SR U + _ C u 开关开关S闭合闭合 电路处于新稳态电路处于新稳态 R U + _ C u 三、初始条件三、初始条件 (0 )(0 ) ui + 、 )0()0( 11 + + nn iu、 对于对于动态电路动态电路：即为 及其 ：即为 及其n- -1阶导数：阶导数： n阶：阶： bafafafa ntn n t n t =+=+ )(1 )1( )(2 )( )(1 ? )( = = t f 1 )0( 1 )0()0( n fff， （即初始值）（即初始值） 四、换路定理四、换路定理 1. 电容电容 += t t CCC di C tutu o )( 1 )()( o + += + 0 0 )( 1 )0()0(di C uu CCC ， 0 o =t： 0+=t令令 0)( 1 0 0 = + di C C只要只要iC为为有限值有限值，必有：，必有： 换路定理一换路定理一 ，则， 0)0( 0)0( + = CC uu若该瞬间，若该瞬间，C被被短路短路 (0 )(0 ) CC uu + = )()( 00+ =tutu CC 即：在换路的一瞬间，电容上的电压不会跃变。即：在换路的一瞬间，电容上的电压不会跃变。 2. 电感电感 换路定理二换路定理二 ，则， 0)0( 0)0( + = LL ii若该瞬间，若该瞬间，L相当于相当于开路开路 (0 )(0 ) LL ii + = 即：在换路的一瞬间，电感上流过的电流 不会跃变。 即：在换路的一瞬间，电感上流过的电流 不会跃变。 )()( 00+ =titi LL 五、初始值的求解五、初始值的求解 1.由1.由t0- -的电路求的电路求uC(0- -)， iL(0- -) 若若t0- -时电路已达稳态，则时电路已达稳态，则 开路 短路 C L 于是，于是， 0- -电路 电路 0- -电阻电路。电阻电路。 2.2.由换路定理由换路定理，得，得uC(0+ +)， iL(0+ +) 相关初值用相关初值用 + + uC(0+ +) - 代 替 - 代 替iL(0+ +) 代 替 代 替 于是，于是， 0+ +电路 电路 0+ +电阻电路。电阻电路。 六、终值的确定六、终值的确定 r( ) 画出电路电阻电路画出电路电阻电路 短路 开路 短路 开路 L C 换路后，当换路后，当t t时，电路的过渡过程已结束， 电路达到新的稳态，在新的稳态下: 时，电路的过渡过程已结束， 电路达到新的稳态，在新的稳态下: 例例：t0时，开关时，开关K合上，求合上，求: i1(0+)、iC(0+)、 i2(0+)、 uC(0+) 4k + 12V iC i1 i2 2k + uC )0( =tK i1 (0- -) 解解：0- -电阻电路如图电阻电路如图(a)， 4k + 12V - - + uC(0- -) - - 2k i2(0- -) (a) 0)0( 0)0( 0)0( V12)0( 21 = = ii iu CC 由换路定理:由换路定理:V12)0()0(= CC uu 4k + 12V iC i1 i2 2k + uC )0( =tK i1 (0+ +) 4k + 12V - - + uC(0+ +) - -2k i2(0+ +) (b) iC(0+ +) t0+ +时，可得电阻电路如图时，可得电阻电路如图(b)， 以一电压源 ， 以一电压源uC(0+)替代替代C 0)0( 1 = i mA6)0( 2 = i mA6)0(= C i 例例：图示电路，：图示电路，t0时，时，S闭合，电路已达稳态，闭合，电路已达稳态， t=0 时，时，S断开，求：断开，求： i(0+)、 u(0+)、 iC(0+)、 uC(0+) 解解：0- -电路如图电路如图(a)， 30k + 10V i(0- -)20k + uC(0-) (a) V630 3020 10 )0(= + = C u mA2 . 0 3020 10 )0(= + = i 由换路定理:由换路定理: V6)0()0(= CC uu 30k + 10V iC i 20k + uC S F01. 0 + + u- - 30k + 10V i(0+ +)20k + uC(0+) (b) iC(0+ +)+ +u(0+ +)- - 30k + 10V iC i 20k + uC S F01. 0 + + u- - 0+ +电路如图电路如图(b)， 以一电压源 ， 以一电压源uC(0+)替代替代C mA2 . 0 20 )0(10 )0()0( = = = + + C C u ii V4)0(20)0(= + iu 例例：图示电路，：图示电路，t0时，时，S断开，电路已达稳态，断开，电路已达稳态， t=0 时，时，S闭合，求：闭合，求： iL(0+)、 uL(0+)、 iC(0+)、 uC(0+) 6A iC + uC S F2 12 3 + uL H5 iL 6A + uC( 0-) 12 3 iL( 0-) 0- -电路电路 解：解：A6)0(= L i V18)0(3)0(= LC iu 6A iC(0+ +) 12 3 + uL(0+) + uC(0+) iL(0+ +) 0+ +电路电路 V18)0()0(= +CC uu A6)0()0(= +LL ii 例例：图示电路，：图示电路，t0时，时，S打在打在1，电路已达稳态，电路已达稳态， t=0 时，时，S由由1打向打向2，求：，求： i2(0+) 、 uC(0+)、 u(0+) 20A + uC(0+) 5 . 0 5 . 1 + u(0+) i2(0+) 0+ +电路 解： 电路 解： A20)0( 2 = i V12)0(= C u V40)5 . 05 . 1 (20)0(=+= u V12)0()0(= +CC uu A20)0()0( 22 = + ii V425 . 120)0()0(= + C uu 20A i2 + uC S F2 5 . 0 5 . 1 2H + u + 12V - - 21 R 例例：图示电路，：图示电路，t0时，时，S闭合，电路已达稳态，闭合，电路已达稳态， t=0 时，时，S断开，求：断开，求： iL(0+)、 iC(0+)、 uC(0+) 、uR2(0+)、 uR3(0+)、 uL(0+) + 50V iC + uC S5 5 iL+ uL 02 + uR3- + - + uR2 - - 解解:A5 55 50 )0(= + = L i V25)0(5)0(= LC iu + 50V 5 5 iL(0-) 02 + uC(0-) 0- -电路电路 )0( + = C u )0( + = L i iC(0+) + 25V 5 + uL(0+) 02 + uR3(0+)- + - + uR2(0+) - - A5 0+ +电路电路 七、一阶电路的零输入响应七、一阶电路的零输入响应 在动态电路中起激励作用的因素：在动态电路中起激励作用的因素： 2）外施独立源，外施独立源，L、C无储能 无储能 零状态响应零状态响应 1）L、C初始有储能，无外加电源 初始有储能，无外加电源 零输入响应零输入响应 对于线性电路：零输入响应零状态响应对于线性电路：零输入响应零状态响应全响应全响应 1. RC电路的零输入响应：电路的零输入响应： + u0 ) 0(S =t + uC 1 R R C 12 t=0时，时，S由由1打向打向2： 0 )0()0(uuu CC = Ritutu CR =)()( dt du Ci C = + uC R C + uR i 换路 后 电路 换路 后 电路 （一阶齐次微分方程） 0)( )( =+tu dt tdu RC C C 由由KVL : + u0 ) 0(S =t + uC 1 R R C 12 （一阶齐次微分方程） 0)( )( =+tu dt tdu RC C C 0 )0()0( uuu CC = + 又 特征方程特征方程01+RCp 得：得：p RC = 1 t RC C Aetu 1 )( = 00 )0( )0(uuAuu CC = + 又又 11 0 ( )(0 ), 0 tt RCRC CC utueu e t + = + uC R C + uR i 换路 后电 路 换路 后电 路 + u0 ) 0(S =t + uC 1 R R C 12 0 ,)( 1 0 = teutu t RC C 电流：电流：0 , 1 0 = te R u dt du Ci t RC C 0 ,)()( 1 0 = teututu t RC CR + uC R C + uR i 换路后电路换路后电路 11 C0C ( )(0 ), 0 tt RCRC utu euet + = 可以看出可以看出uC(t)呈指数下降。 令： 呈指数下降。 令：RC(称为时间常数，单位：秒）(称为时间常数，单位：秒）。 理论上 。 理论上t， uC()0 ，C放电完毕。放电完毕。 )(tuC 0 u t C eutu = 0 )( t 0 368 . 0 u =t245 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 uo 3 通常认为：通常认为：t 经经35，C放电完毕，过渡过程放电完毕，过渡过程 结束，电路进入新的稳定状态。结束，电路进入新的稳定状态。 )(tuC 0 u t C eutu = 0 )( t 0 368 . 0 u p 1 =特征根特征根p具有频率的量纲，故称为具有频率的量纲，故称为固有频率固有频率。 越小，电压、电流衰减越快。越小，电压、电流衰减越快。 对对RC电路：电路：1)1)一个一个RC电路，仅有电路，仅有一个对应的一个对应的； 2) 2) uC(t)、 i(t)的形式为的形式为Ae RC t 1 求求的关键是求的关键是求R 。 + 200V +uC- - ) 0(S =t 60 80 i 02 + + uo - - 60 40 F02. 0 例例：求图示电路：求图示电路i(t)、uo(t) 。 解:解: 0- -电路，0.02电路，0.02F电容开路F电容开路 + 200V +uC- - ) 0(S =t 60 80 i 02 + + uo - - 60 40 F02. 0 解:解: V120200 6040 60 )0(= + = C u V120)0()0(= CC uu 换路后：关键求换路后：关键求，=RC，先求，先求R +uC- - 60 80 i 02 + + uo - - 60 F02. 0 换路后电路换路后电路 C两端的等效电阻：两端的等效电阻：=+=100 2 80 60R s1021002. 0100 66 =RC 0V 120 120)( 5 6 105 102 = = te etu t t C ， +uC- - 60 80 i 02 + + uo - - 60 F02. 0 换路后电路换路后电路 02 . 1 )105(12002. 0 )( )( 5 5 105 1055 = = te e dt tdu Cti t t C ， A 0tV 120 120)( 5 6 105 102 = = ， t t C e etu 利用电阻并联分流，可求出：利用电阻并联分流，可求出： 0 , 2 )( 60)( o =t ti tu 2RL电路的零输入响应电路的零输入响应 + U0 ) 0(S =t + uL 1 R R L iL dt di Ltu L L =)()()(tRitu LR = 0 )0()0(Iii LL = + t0: 0 1 0 )0(I R U iL= t0: L R p= t L R L Aeti =)( L di dt Ri L L += 0 由由KVL: 0 =+ RLp特征方程： 代入初值，得 特征方程： 代入初值，得 0 IA = + uL RL iL + uR 换路后电路换路后电路 0 ( )(0 ) A0 RR tt LL LL itieI et + =， + uL RL iL + uR 换路后电路换路后电路 = GL R L 令：令： 例例：励磁电路如图所示，求：励磁电路如图所示，求：u、iL + 40V ) 0(S =t + uL L i 1 4H. 0V + u 5k 解解:A40)0()0(= +LL ii s R L t 5 108 15000 4 . 0 :0 + = 0A4040)( 5 108 = teeti t t L ， 0V102)(5000)()( 5 = tetitutu t LL ， kV 200 , 0 = = + u t 八、一阶电路的零状态响应八、一阶电路的零状态响应 0)0( 0)0(= +LC iu，零状态：零状态： 1RC电路在电路在DC激励下的零状态响应激励下的零状态响应 ) 0(S =tR + uS i + uR- - + uC 图示电路，图示电路，S闭合之前，电容未充电，即电路 处于零初始状态，。 闭合之前，电容未充电，即电路 处于零初始状态，。0)0(= C u t0， S闭合，由闭合，由KVL： SCR uuu=+ 0)( =+tuu dt du RC SC C ，RiuR= dt du Ci C = 将代入，得：将代入，得： 一阶线性非齐次常微分方程一阶线性非齐次常微分方程 ) 0(S =tR + uS i + uR- - + uC CCC uuu += 0)( =+tuu dt du RC SC C () C u 非齐次微分方程式 非齐次微分方程式(*)的一个特解。的一个特解。 )( SCC uuu= C u 0=+ C C u dt du RC 对应齐次微分方程式 的通解。 对应齐次微分方程式 的通解。 tt RC C AeAeu 11 = 待定积分常数待定积分常数 方程的特征根方程的特征根 时间常数时间常数 t SC Aeutu +=)( ) 0(S =tR