传热学-第4章-热传导问题的数值解珐.ppt

传热学,第4章热传导问题的数值解法,数值解法：有限差分法，有限元法及边界元法。,分析解法：（1）对导热微分方程式在规定的边界条件和初始条件下积分求解。（2）求解结果能清楚显示各种因素对温度分布的影响，但仅适用于简单的导热问题，同时解的形式复杂。,导热问题的求解方法：,实验方法：相似原理指导下的实验方法。,4.1导热问题数值求解的基本思想,理论基础：离散数学。,基本思想：把原来在时间，空间坐标系中连续的物理量的场（如导热物体的温度场）用有限个离散点上的数值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值，这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。,4.1.2导热问题数值求解基本思路,分析；二维矩形区域内的稳态，无内热源，常物性的导热问题。,数值求解的步骤；,1.建立控制方程及定解条件,控制方程：描述该导热问题的导热微分方程。定解条件：边界条件。,导热微分方程：,2.区域离散化(discretization),沿x方向和y方向分别以x，y为间隔把求解区域划分成很多个小的子区域。,步长：相邻两节点间的距离x,y。,节点：网格线(边界线)的交点。,节点表示：,控制容积(controlvolum)：以节点为中心,边长等于x,y的小区域。,节点温度代表以它为中心的控制容积的平均温度。,3.建立节点物理量的代数方程,离散方程：节点上物理量的代数方程。,4.设立迭代初场,迭代初场：采用迭代法求解时，需要对被求解的温度场预先假定一个解，称为初场。,5.求解代数方程组,6.解的分析,可进一步计算热流量，热应力及热变形等。,4.2内节点离散方程的建立方法,数值计算过程的核心内容.,4.2.1泰勒级数展开法,根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数的差分表达式：,上两式相加得：,整理得：,其中称为截断误差。,整理成二阶导数的近似代数关系式：,二阶导数的中心差分表达式,(a),同理可得：,(b),将(a),(b)代入导热微分方程式中得离散方程：,设步长x=y，有：,二维稳态导热均匀步长时内部节点温度差分方程,4.2.2热平衡法,对控制容积写出能量守恒的表达式：,根据傅立叶定律:,设步长x=y，有：,垂直纸面单位宽度,说明,稳态时流向任何节点的热量总和必等于零。,4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解,4.3.1边界节点离散方程的建立,1.位于平直边界上的节点,若步长x=y，有：,2.外部角点,控制容积的热平衡为：,若步长x=y，有：,3.内部角点,控制容积的热平衡为：,若步长x=y，有：,4.边界热流密度的三种情况,（1）绝热边界：,（2）值不为零：代入给定的值。,（3）对流边界：,平直边界节点：,外部角点,内部角点,式中：网格毕渥数。,4.3.3求解代数方程的迭代法,常用方法：,消元法矩阵求逆法迭代法,.,其中：均为常数，且。,1.高斯-赛德尔迭代法,设节点温度差分方程的形式为：,（1）将该方程组改为t1，t2，tn显函数形式,（2）求解原则：首先假设一组变量初始值，