典型例题与习题课第二章

第二章第二章习题课习题课 相关概念相关概念 典型例题典型例题 相关公式相关公式 一一 相关概念相关概念 矩阵的秩（满秩、降秩矩阵）矩阵的秩（满秩、降秩矩阵） 矩阵的等价矩阵的等价 逆矩阵与伴随矩阵逆矩阵与伴随矩阵 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵 对称与反对称矩阵对称与反对称矩阵 对角形矩阵与准对角形矩阵对角形矩阵与准对角形矩阵 正交矩阵正交矩阵 矩阵运算中常见的错误推导矩阵运算中常见的错误推导 (1) (A+B)2=A2+2AB+B2. (2) 若若AB=0, 则则A=0或或B=0. (3) 若若AB=AC且且A 0, 则则B=C. (4) |A|= |A|. (5) 若若|A|=0, 则则A=0. 二二 相关公式相关公式 矩阵的各种运算法则矩阵的各种运算法则 1. 矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘 2. 矩阵的乘法矩阵的乘法 3. 矩阵的转置矩阵的转置 与逆矩阵相关的公式与逆矩阵相关的公式 1. A1= |A|1A* 2. 若若AB=E, 则则A1= B, B1= A 3.若若adbc 0, 则则 . 1 ac bd bcad 1 dc ba 4. (A T)1 = (A1)T, (AB)1= B 1A1 5.若若A为正交矩阵为正交矩阵, 则则A1= A T 6. 初等矩阵的逆：初等矩阵的逆：P(i, j )1= P(i, j ); P(i(k)1= P(i(1/k); P(i (k), j )1= P(i (k), j ) 7. 准对角形矩阵的逆准对角形矩阵的逆 1 2 1 s A A A . 1 1 1 2 1 A A As 1 1 2 1 1 s A A A 1 2 1 s A A A 与伴随矩阵相关的公式与伴随矩阵相关的公式 1. AA*=A*A=|A|E 3. A*=|A| A1, 5. (AB)* = B*A* 4. (A*)1 = (A1)* = |A|1A 设设A可逆可逆, 6. (A*)* =|A|n2A 2. (A*)T= (A T)*, (kA)* = kn 1A* 方阵的行列式方阵的行列式 1. |AB| = |A| |B| 3. |A T | = |A|, |A1 | = |A|1 4. |kA|n= k n |A| 5. |A*|n= |A|n1 2. |A1A2An| = |A1| |A2 | |An| 一行一列矩阵在矩阵乘法中的应用一行一列矩阵在矩阵乘法中的应用 , 2 1 n a a a A n bbbB 21 , 21 22212 12111 nnnn n n bababa bababa bababa AB .)( 1 2211 n t ttnn ababababBA 若若 则则 三三 典型例题典型例题 例例 1已知已知=(1, 2, 3), =(1, 1, 2), A= , B= , 求求A, B, A4. 解解 211 3 2 1 A 3 2 1 211B A4 = , 633 422 211 = 5 = 53 =53A. 练习练习(1994年研究生入学试题年研究生入学试题)设设 = (1, 2, 3), =(1, 1/2, 1/3), A= , 求求An. . 12/33 3/212 3/12/11 33 11 nnn A 答案：答案： 例例 2 (1996年研究生入学试题年研究生入学试题) 设设A=EXX , 其中其中 E为为n阶单位矩阵阶单位矩阵, X为为n 1的非零矩阵的非零矩阵, 证明证明 (1) A2=AX X=1. (2) 当当X X=1时时, A为不可逆矩阵为不可逆矩阵. 证明证明(1) A2 = (EXX )(EXX ) = E 2XX +X(X X)X = E +(X X 2)XX A2=A X X 2 = 1 X X=1. (2) 于是线性方程组于是线性方程组AX=0有非零解有非零解. 练习练习设设 = (1/2, 0, , 0, 1/2), 矩阵矩阵 A=E , B=E+2 , 其中其中E为为n阶单阶单 位矩阵位矩阵, 则则AB=_. (A) 0 (B) E (C) E (D) E+ C 则则AX=EX XX X=X X=0, 而而X非零非零, 因此因此|A|=0. 从而从而A不可逆不可逆. 若若X X=1, 练习练习 设矩阵设矩阵A, B满足满足 AP = PB, 且且 , 112 012 001 , 100 000 001 PB求求An. 解解 因为因为|B|=0, |P|= 1, 所以所以B不可逆不可逆, P可逆可逆, 且且 等式两边右乘等式两边右乘P1 得得 而而An= (PBP1)(PBP1)(PBP1)= PBnP1. A = PBP1 . 116 002 001 . 114 012 001 1 P 116 002 001 112 APBPA k 故故 当当n=2k+1时时, B2k+1=B, 当当n=2k时时, , 100 000 001 2 k B . 112 002 001 100 000 001 12 PPA k 故故 例例 3 已知已知A6=E, 求求A11. 其中其中. 2123 2321 A 解解 A11 = A12A1 =A6A6 A1 = A1 . 2123 2321 关于逆矩阵的计算关于逆矩阵的计算 例例 4 (1996年研究生入学试题年研究生入学试题) 设四阶矩阵设四阶矩阵 , 2000 1200 3120 4312 , 1000 1100 0110 0011 CB 且矩阵且矩阵A满足关系式满足关系式A(EC1B) C =E, 化简此化简此 式并求式并求A. 解解A(EC1B) C = AC(EC1B) = A(C B) = E. 1 1234 0123 0012 0001 . 1210 0121 0012 0001 所以所以 A = (BC ) )1 例例 5 设设A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 且且A对称对称, 又又(AB)2=E, 化简化简.)()( 111 BAEEBA 解解由由(AB)2=E, 得得AB=(AB)1. 从而从而 11111 )()()( BAAABABAE ,)(BAA 所以所以 111 )()( BAEEBA )()( 1 BAAEBA ).)(BAAB 例例 6 已知已知XA+E=A2X, 其中其中, 765 043 021 A 求求X. 解解 由已知由已知XA+E=A2X, 即即 X(A+E)=A2E. , 032 865 053 022 | EA A+E 可逆可逆. X = (A2 E)(A+E )1= (A E ). 665 033 020 例例 7 设设A, B, C, D为为n阶矩阵阶矩阵, 且且A可逆可逆, 若若 AC=CA, 证明证明 .CBAD DC BA 证证 通过分块矩阵的初等变换通过分块矩阵的初等变换, 将分块矩阵将分块矩阵 DC BA 化为上化为上(下下)三角形分块矩阵三角形分块矩阵, 然后利用然后利用Laplace定理求对应行列式定理求对应行列式. DC BA A1 DC BAE 1 即即 DC BA E A EC E 0 00 1 C BCAD BAE 1 1 0 . 0 1 1 BCAD BAE 两端取行列式两端取行列式, 由由Laplace定理得定理得 , 11 BCAD DC BA A BACAADBCADA DC BA 11 . 1 CBADBCAAAD 练习练习 设设A, B, C, D为为n阶方阵阶方阵, 证明证明 .BABA AB BA 证证 AB BA BAAB BA . 0 BA BBA 即即 EE E AB BA EE E00 . 0 BA BBA 两边取行列式两边取行列式, 利用利用Laplace定理即可定理即可. E E 对矩阵进行初等行对矩阵进行初等行(列列)变换相当于在矩阵的变换相当于在矩阵的 左左(右右)边乘以对应的初等矩阵边乘以对应的初等矩阵. 初等矩阵与初等变换初等矩阵与初等变换 注意初等变换与初等矩阵的对应关系注意初等变换与初等矩阵的对应关系: 例例 8 (1995年研究生入学试题年研究生入学试题) 设设 , , 133312321131 131211 232221 333231 232221 131211 aaaaaa aaa aaa B aaa aaa aaa A , 101 010 001 , 100 001 010 21 PP则必有则必有_. (A) AP1P2=B (B) AP2P1=B (C) P1P2A=B (D) P2P1A=B C 练习练习 设设 , , 13131211 33333231 23232221 333231 232221 131211 akaaa akaaa akaaa B aaa aaa aaa A , 10 010 001 , 001 100 010 21 k PP则则A=_. (A) P11BP21 (B) P21BP11 (C) P11P21B(D) BP21P11 A 例例 9 (1997年研究生入学试题年研究生入学试题) 设设A为为n阶可逆阶可逆 矩阵矩阵, B为为A的第的第i, j行互换得到的行互换得到的. (1) 证明证明B可逆可逆.(2) 求求AB1. 证证|B|= |A| 0. B=P(i, j)A AB1=P(i, j)1 AB1=P(i, j). 与矩阵的秩相关的问题与矩阵的秩相关的问题 1. 求秩的方法求秩的方法: 定义定义与与初等变换初等变换. (2) 对对n阶方阵阶方阵A,. 1)( , 0 1)( , 1 )( , *)( nAR nAR nARn AR 2. 相关公式：相关公式： (1) R(A)=R(AT). ).()( 0 0 BRAR B A R (3) 设设P, Q可逆可逆, R(A)=R(PA)= R(AQ)= R(PAQ). (4) 例例 10求矩阵求矩阵 1 1 1 1 aaa aaa aaa aaa A的秩的秩. 解解 a的取值不同的取值不同, 秩可能不同秩可能不同. |A| 0时时, R(A)=4; |A|=0时时, R(A)4. .)1)(13( 1 1 1 1 3 aa aaa aaa aaa aaa A . 0 ,1 3 1 Aaa时或 因此因此 3 1 a且且a 1时时, R(A)=4. 当当a=1时时, 显然显然R(A)=1; 当当 3 1 aR(A)=3. (初等变换初等变换) 练习练习 若矩阵若矩阵 2101 211 211 a a 的秩为的秩为2, 则则 a =_. (A) 0 (B) 0或或 1 (C) 1 (D) 1或或1 B 例例 11 设设A为为4 3矩阵矩阵, 且且R(A)=2, 而而 , 301 020 301 B 求求R(AB). 解解因因 , 012 301 020 301 B故故B可逆可逆. 于是于是R(AB)=R(A)=2. 例例 12 设设, 14 312 211 k A 当当k取何值时取何值时, R(A)=3; 当当k取何值时取何值时, R(A)3. 解解 14 312 211 k A 740 130 211 k 3 4 700 130 211 k 所以所以, 当当, 0 3 4 7 k 即即k=17时时, R(A)=23. 当当, 0 3 4 7 k 即即k = 17时时, R(A)=3. 另外另外, 本例可用行列式来进行判断本例可用行列式来进行判断. 0 14 312 211 k A 令令 解得解得 k=17. 所以所以, k=17时时, R(A)=2 3; k17时时, R(A)=3. 对称矩阵与反对称矩阵、正交矩阵对称矩阵与反对称矩阵、正交矩阵 在证明与计算化简中在证明与计算化简中, 灵活运用它们的定义灵活运用它们的定义 及性质及性质. 例例 13 A可逆可逆, 若若A*对称对称, 则则A, A1对称对称. 证证 .* 1 )*( 1 )* 1 ()( 11 AA A A A A A A .)()()( 111111 AAAAA 例例 14 若若A为正交矩阵为正交矩阵, 则则A