近世代数习题与答案

本题得分一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。(A) 1，1，i ,i (B) 1，1 (C) 1，1，i2、设H是群的子群，a，b，则aH = bH的充要条件是（ ）。(A) a1b1H(B) a1bH(C) ab1H3、在模6的剩余类环Z6 中，Z6 的极大理想是( )。(A) （），（） (B) （） (C)（）4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是( )。(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 本题得分二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R为整环，a，bR ，b|a，则（b） （a）。2、F 是域，则是域当且仅当 。3、域F上的所有n阶方阵的集合M(F)中，规定等价关系AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有_个。4、6次对称群S中,(1235)(36)=_。5、12的剩余类环Z12的可逆元是 。本题得分三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“”，错误的打“”）1、设是群，H，若对任意a,bH可推出abH，则HG. （ ）2、群中的元，,则。 ( ) 3、商环是一个域。 （ ）4、设f 是群G到群的同态映射，若， 则。 （ ） 5、任意群都同构于一个变换群。 （ ） 本题得分四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、找出的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想,写出的全部元。2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。本题得分五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）1、 设f是群G到群的满同态，N是G的正规子群，证明：。2、设N G, G:N=2008, 证明：对, 恒有。3、设R为交换环，若R的理想PR,则RP是整环当且仅当P是素理想。4、设Rx是实数域R上的一元多项式环，取，证明：，C为复数域。近世代数测试题（一）一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、设GZ，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”为数的乘法）2、设HG，a，bG，则Ha = Hb的充要条件是（ ）.(A) abH(B) ab1H (C) a1bH3、在整数环Z中，包含（15）的极大理想是（ ）。(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）4、若Q是有理数域,则(Q():Q)是( )(A) 6 (B) 3 (C) 25、下面不成立的命题是（ ）(A) 域是整环(B) 除环是域(C) 整数环是整环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、环Z(i)=a+bi|a,bZ的单位是_。2、若a是群G中的一个8阶元,则a的阶为_ 。3、设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系下：AB 秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_个。4、6次对称群S中,(1245)(46)=_。5、12的剩余类环Z12的零因子是 。三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“”，错误的打“”）1、若HN，HG,那么NHG。 （ ）2、设I是一主理想环，则I是一欧氏环。 （ ）3、商环是一个域。 （ ）4、设f 是群G到群的同态映射，HG，则 f (H) 。 （ ）5、素数阶的群G一定是循环群。 （ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、在10次对称群S10中，=.将表成一些不相交轮换之积，并求及。2、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）1、设f是环R到环的满同态，A为R的理想，证明：。2、设