第一章行列式专项测试题参考答案

爱启航在线考研 习题 第1页（共16页） 第一章第一章 行列式行列式 1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性. (1) 53412 (2)135(21)246(2 )nn 【解析】 （1）()42200853412=+=，偶排列； （2）前 n 个元素135(21)n相互之间不构成逆序，后 n 个元素246(2 )n相互之间也不 构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和. 0 1 210 0 00 135(21)246(2 ) (1) 12(1) 2 n nn n n n = += () * (1) 4241 , 2 n n nkkkkN =当时,排列为偶排列； () (1) 41,41 2 , 2 n n nkkk kN =+=+当时排列为偶排列； ()() (1) 42,2 +1 41 , 2 n n nkkkkN =+=+当时排列为奇排列； ()() (1) 43,432 +1 , 2 n n nkkkkN =+=+当时排列为奇排列. 2. 利用行列式定义计算 1000 20 02020 0002021 D =. 【答案】2021! 【解析】此行列式的完全展开式中唯一的非零项为 () 11 2,2020 3,20192020,2 2021,2021 112,20203,20192020,22021,2021 ( 1) a aaaa a aaaa 即各因子来自每一行的唯一非零元，有 0201820171 00 1,2020,2019,3,2,2021 2018 2019 2018 20171 2 2021!( 1)( 1)( 1)2021!2021!2021!D + = （注： 若本题未要求用行列式定义计算， 也可按第一行展开， 结合拉普拉斯公式求行列式.） 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第2页（共16页） 3. 在函数 1000 323 211 112 )( x x xx xf =中 3 x项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 【答案】D 【解析】完全展开式中的 3 x项仅有 () 11 22 33 44 11223344 ( 1) a a a a a a a a ，有 () 11 22 33 44 3 11223344 ( 1(2)2) () 1 a a a a a a a axxxx = = 所以 3 x项的系数为 2. 4. 行列式= 0100 1110 1010 0111 . 【答案】0 【解析】 113 1110 101 0101 1110 0111 010 0010 按第 列展开第 ， 列相同 . 5. 计算行列式 123 99202301 124 D = . 【答案】4 【解析】 （化零降阶法） 123123 992023010444 124001 D =. 6. 计算行列式 2512 3714 5927 4612 D = . 【答案】-9 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第3页（共16页） 【解析】 （化零降阶法） 1 3 25122512 126 37141206 ( 1)113 59271103 210 46122100 D + = 3 2 326 36 313( 1)( 1)9 33 010 + = = . 7. 证明 () 22 3 22 111 aabb aabbab+=. 【证明】 8. 计算行列式 abacae Dbdcdde bfcfef = . 【答案】4abcdef 【解析】先各列（行）提出公因子，再各行（列）提出公因子. 111 111 111 abacaeaaa Dbdcddebce dddabcdef bfcfeffff = 111 0024 020 abcdefabcdef =. ()()() ()() () 23 13 222 2 3 3 2222 21 111001 cc cc aabbababb abb abb aabbababbab ab + + + = 按第 行展开 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第4页（共16页） 9. 如果 111213 212223 313233 aaa aaaM aaa =，则 11131212 21232222 31333232 3 3 33 33 aaaa Daaaa aaaa = . 【答案】3M. 【解析】 11131212111312111212 21232222212322212222 31333232313332313232 3 3 33 3 333+33 33333 aaaaaaaaaa Daaaaaaaaaa aaaaaaaaaa = 111213 212223 313233 303 aaa aaaM aaa = += . 10. 记行列式 2123 22212223 33324535 4435743 xxxx xxxx xxxx xxxx 为( )f x，则方程( )0f x =的根的个数为 （ ）. （A）1； （B）2； （C）3； （D）4； 【答案】B 【解析】 21 31 41 21232101 2221222322101 3332453533122 44357434373 cc cc cc xxxxx xxxxx D xxxxxx xxxxxx = 42 2100 221002121 5 (1) 3312122176 4376 cc x xxx x x xxxx xx + = 故方程的根的个数为 2. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第5页（共16页） 11. 4 阶行列式 11 22 4 33 44 00 00 00 00 ab ab D ba ba =的值等于（ ）. (A) 12341 2 3 4 a a a abb b b; (B) 12341 2 3 4 a a a abb b b+; (C) ()() 121 2343 4 a abba ab b; (D) ()() 232 3141 4 a ab ba abb. 【答案】D 【解析】 （法一）将第 4 列逐列对换至第 1 列，再将第 4 行逐行对换至第 2 行. ()() 111111 22224422 4 333322 444433 141 4232 3 000000 000000 ( 1)( 1) 000000 000000 ababab ababba D babaab bababa a abba ab b = = = （法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略. 12. 计算行列式 111111 222222 333333 243 243 243 ababab Dababab ababab + =+ + . 【答案】0. 【解析】将第一列加至第二列，再将第一列的-3 倍加至第三列. 1111111111 2222222222 3333333333 2453 24530 2453 ababababaa Dababababaa ababababaa + =+=+= + . 13. 利用行列式的性质，证明() 33 axbyaybzazbxxyz aybzazbxaxbyabyzx azbxaxbyaybzzxy + +=+ + . 【分析】利用行列式运算性质化简. 可按如下步骤操作：第一步，将第一列拆开，得到两行 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第6页（共16页） 列式之和；第二步，利用第一列化简其他列；第三步，化简后提出列的公因子，再化简剩下 的最后一列. 【证明】 axbyaybzazbxxaybzazbxyaybzazbx aybzazbxaxbya yazbxaxbyb zazbxaxby azbxaxbyaybzzaxbyaybzxaxbyaybz + +=+ + 22 xaybzazybzazbxxaybzzyzazbx a yazbxaxb zbxaxbyayazbxxbzxaxby zaxbyayxbyaybzzaxbyyxyaybz + =+=+ + 2233 xayzyzbxxyzyzx ayazxbzxbya yzxb zxy zaxyxybzzxyxyz =+=+ () 33 xyz abyzx zxy =+ ，得证. 14. （1） 1111 1211 1131 111 D n = ; （2） 111 222 a a D nnna + + = + . 【答案】 （1）(1)!n ； （2） 1 (1) 2 n nn aa + + . 【解析】 （1） 1 (2, ) 11111111 12110100 (1)!11310020 1110001 i in rr Dn nn = = （2）将各行加到第一行 (1)(1)(1) 111 222 222 222 nnnnnn aaaa a a D nnna nnna + + + + = + + 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第7页（共16页） 1 (2, ) 111111 22200 (1)(1) 22 00 i in rir aa nnnn aa nnnaa = + + =+ + 1 (1) 2 n nn aa + =+ 15. 计算行列式 5 11110 11101 11011 10111 01111 D =. 【答案】 4. 【解析】将各行全部加至第一行. 5 11110444441111111111 11101111011110100010 4411011110111101100100 10111101111011101000 01111011110111110000 D = 5 4 4 2 4( 1)( 1)4 =. 16. 计算行列式 100 110 011 001 a b D c d = . 【答案】(1)(1)abcdad+ . 【解析】此为三对角行列式，考虑逐行相消化上三角行列式，但, , ,a b c d可能取 0，为避免 讨论，用化零降阶法更为直接. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第8页（共16页） 12 100010 110110 011011 001001 rar aaba bb D cc dd + = + () 12 2 1 11 1001 ( 1)( 1)1111 0101 rab r abaacabcab cc dd + + + + 按第 列展开 2 1 1 1 ( 1)( 1)1(1)(1) 1 acabcab adcdabcdababcdad d + + + =+ +=+ 按第 列展开 17. 计算 5 阶行列式 5 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa Daa aa a = . 【答案】 2345 5 1Daaaaa= + . 【解析】采用递推法，按第 1 列展开， 543 100000 110110 (1)( 1)(1) 011011 00110011 aaa aaaa aa aaaa a DDaD a = = + 有() ()() ()() 233 2 54433221 ()DDa DDaDDaDDaa= = = = ， 所以 ()()()()()()() 32323 222222 5432 DDaaDaaaaDa aaaaa=+ =+ + =+ + + 2345 1 aaaaa= +. （注：本题也可采用化零降阶法，或逐行相消化为上三角行列式） 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第9页（共16页） 18. 计算行列式 0 1 21-1 1 111 100 100(0) 100 n n a a Daaa a =其中 . 【答案】 1 0121 1 1 n n i i aa aa a = . 【解析】此为爪形行列式，思路是“消平爪”化三角形，分别将第 k 行（k = 2,n）除以 k a加至第 1 行. 0 1 2 1 111 100 100 100 n a a Da a = 1 0 1 1 1 20121 1 1 1 000 100 1 100 100 n i i n n i i n a a a aaa aa a a = = = 1-1 (0) n aa其中 19. 计算行列式 1 1 2 1 3 1 n aaaa aaaa Daaaa aaaa n + + =+ + . 【分析】将第一行的-1 倍加至其余各行，得到爪形行列式，再化上三角形行列式. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第10页（共16页） 【解析】 11 11 100 22 11 100 33 11 100 n aaaaaaaa aaaa Daaaa aaaa nn + + =+ + 2 1 1 1 1 000 100 2 2 11 000100 33 1 1 100 000 n k akaaaa aaaa n n = + + + = (1)1 1 2! n n a n + =+ . 20. 计算行列式 1222 2222 2232 222 n D n = . 【答案】()22 !n . 【解析】第 2 行的-1 倍加至其他各行，再按第一行展开. () 12221000 22222222 22 !22320010 2220002 n Dn nn = 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第11页（共16页） 21. 证明 n 阶行列式 12 121 1221 1000 0100 0000 0001 kkk nkk nnn x x x Dxa xa xaxa x aaaaxa =+ + 【分析】此为一类三线形行列式，通法是按第一列展开（此列特点是非零元在首尾两端） ， 从而将原行列式降阶为计算三角行列式和一个递推形式. 【证明】采用数学归纳法 111 1nDxaxa=+=+时，命题成立； 假设nk=时命题成立，当1nk=+， 由 11 11 ( 1)( 1) nn nnnnn DxDaxDa + + =+ 按第1列展开 ， 有() 12 111211 kkk kkkkkk DxDax xa xa xaxaa + =+=+ 11 121 kkk kk xa xa xa xa + + =+ ， 即1nk=+时命题成立，所以原命题成立. 22. 计算行列式 1 12 23 1 1 000 000 000 0000 000 n n n nn ab ba ba D a ba =. 【答案】 121 21 1 ( 1) n nnn bba aabb + + 【解析】此为一类三线形行列式，通法是按第一行展开（此行特点是非零元在首尾两端） ， 从而将原行列式降阶为计算三角行列式. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第12页（共16页） 1 12 23 1 1 000 000 000 0000 000 n n n nn ab ba ba D a ba = 212 2321 1 1 11 ( 1) n n n nnn aba bab ab a bab + =+ 1 121 21 ( 1) nn n n baabbab + =+ 23. 计算行列式 12 1 12 0 100 010 001 n n n aaa b Db b + = . 【分析】将第 i 行的 i a倍加至第一行，化为三线型后按第一行展开. 【解析】 12 1 12 0 100 010 001 n n n aaa b Db b + = 1 1 2 000 100 010 001 n ii i n ab b b b = = 21 11 ( 1)( 1) nn nn iiii ii abab + = = = . 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第13页（共16页） 24. 解方程 133 3530 664 x x x += . 【答案】 123 2,4xxx= = 【解析】若直接展开得到关于 x 的三次多项式，求解是不方便的. 故此类问题通常利用行列 式运算性质提出公因子，方法是两行（列）求和或作差，得到公因子和一个零元. 比如此题 将第二行的-1 倍加至第一行. () 1332(2)0110 3533532353 664664664 xxx xxxx xxx + +=+=+ ()()() () 2 110100 23532323240 664604 xxxxxx xx =+=+=+= 所以原方程的解为 123 2,4xxx= =. 25. 计算 2222 3333 abcd abcd D abcd bcdacdabdabc = + + + ，其中0abcd+ +. 【答案】()()()()()()()Dabcd ba ca da cb db dc= + + + . 【解析】 2222 3333 abcd abcd D abcd bcdacdabdabc = + + + 41 2222 3333 rr abcd abcd abcd abcdabcdabcdabcd + + + + + + 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 习题 第14页（共16页） () 43 32 21 2222 3 3333 2222 3333 1111 ( 1) 1111 ()()()()()()() c c c abcd c c abcdabcd abcdc abcdabcd abcd abcd ba ca da cb db dc =+ + = + + . 26. 计算 1234 42222 1234 3333 1234 1111 21212121 43434343 xxxx D xxxx xxxxxxxx = . 【答案】() 14 8 ji ij xx . 【解析】 31 41 12341234 422222222 12341234 33333333 12341234 3 11111111 212121212222 434343434444 rr rxr xxxxxxxx D xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx + + = () 1234 2222 141234 3333 1234 1111 88 ji ij xxxx xx xxxx xxxx = 27. 计算行列式 2 2 2 111 222 333 n n n n D