轧制原理第六讲---新VIP

轧制原理,主讲：张荣华Emai:zrh1980河北联合大学金属材料与加工工程系,第五章轧制单位压力分布函数式,主要内容基本概念Karman方程及其采利柯夫解Orowan方程及其Sims解Karman方程与Orowan方程的比较,3.1基本概念,轧制单位压力轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单位压力，常用示之。轧制压力轧制压力是单位压力在整个接触面的水平投影面积上的总和，用示之。故的方向与轴平行。水平投影面积系指将接触面积投影到水平方向后的值。其中，,基本概念,平均单位压力平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力的平均值。用表示。建立卡尔曼单位压力微分方程的思路在一定的假设条件下，于变形区内任意取一微分体，分析作用在此微分体上的各种作用力，根据力平衡条件，将各力通过微分平衡方程联系起来，同时运用塑性方程，接触弧方程，摩擦规律及边界条件来建立单位压力微分方程，并求解。,Karman方程,假定条件：(1)材料为各向同性、均质连续体；(2)当很大时，宽展很小，可以忽略，；(3)变形区内各截面上的、沿高度方向不变平截面假定；(4)变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向；(5)不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形，冷轧过程需考虑。(6)沿接触弧上的整个宽度上的单位压力相同，故以单位宽度为研究对象；,Karman方程,建立近似平衡微分方程在后滑区取一宽为的微分单元体小条，其上受力如图所示，则由，有化简后,Karman方程,现对该式进行近似处理并整理忽略高阶无穷小量；方程两边同时乘以；则得(1)近似屈服条件由假定，知，这里是单压力而非静水压力。,Karman方程,根据屈服条件，即将其代入(1)式中，得同理，前滑区的Karman方程为这就是著名的Karman微分方程式。,Karman方程,Karmann微分方程式的第二种表达形式将高阶无论穷小略去后，式可写成如下的形式根据屈服条件，而代入上式，Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较。,卡尔曼方程的求解条件,单位摩擦力沿接触弧的分布规律全滑动：其中为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。全粘着：接触面上的摩擦切应力已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律。,卡尔曼方程的求解条件,混合摩擦：接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区滑动区：粘着区：这一摩擦规律为陈家民公式所采用。液体摩擦：即摩擦切应力与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系数称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用。,卡尔曼方程的求解条件,对屈服应力加权：其中，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情况，为切克马廖夫所采用。摩擦切应力是单位压力的某个函数：北京钢院式用之。,卡尔曼方程的求解条件,接触弧方程（关系）圆弧：较精确，但推导麻烦，如Bland、Sims等用之。抛物线：是一种近似，Nadai、Siebel等用之。直线：以弦代弧，采利柯夫用之。平板：Stone用之。,卡尔曼方程的求解条件,变形抗力的取法无硬化：（热变形适用）有硬化，但取平均值：线性关系加权：其中a、b为权。带张力时：沿接触弧具有分布函数关系：其中、为常数，通过两个实验可定。,Karman方程的采利柯夫解,假定条件摩擦规律接触面全滑动：，接触面摩擦不太严重时适用。接触弧方程（关系）以弦代弧：根据两点式直线方程，在所规定的坐标系下，找出两个点：，由此可写出直线方程为：，如此处理，只有在压薄件时才适用，否则偏差较大。平面变形抗力为常数：，可见热变形时适用。从上述假定条件可看出，采利柯夫解只适用于热轧薄件的道次，或热轧带钢。,Karman方程的采利柯夫解,边界条件：入口处（）：无张力：，有后张力：，将称为后张力系数。出口处（）：无张力：，有前张力：，将称为前张力系数。,Karman方程的采利柯夫解,推导求通解:由Karman方程将带入，则有为推导方便，该式可写成如下形式：此为一阶变系数非齐次微分方程，根据高等数学，其通解为：,Karman方程的采利柯夫解,求特解（确定积分常数）首先将上式中的换算成，由，则，故将此式代入上式中，且令，则通解可写成：分别对前、后滑区进行积分，则可得两区的单位压力和的分布函数式。现以后滑区为例。对后滑区：（1）,Karman方程的采利柯夫解,同理，对前滑区可得：（2）下面利用边界条件求出积分常数和。将入口处的边界条件：，（无张力时），代入（1）式，则解出将出口处的边界条件：，（无张力时），代入（2）式，则解出,Karman方程的采利柯夫解,将和的表达式分别代入（1）、（2）两式，则得到无张力条下的采利柯夫单位压力的分布函数式：后滑区：前滑区：式中。同样方法，可得到具有前后张力时的采利柯夫单位压力的分布函数式：后滑区：前滑区：,中性角的确定,利用采利柯夫式推出求解中性角或中型面高度的计算模型利用中性面高度的计算式，可得到比值与中性角的关系则而比值，可由采利柯夫式导出。下面推出的计算式。因在中性面处有，即将解出：当有前、后张力时：其中,Orowan单位压力微分方程,假定条件材料为各向同性、均质连续体；径向应力沿高度方向非均匀分布；切应力在变形区内呈线性分布，如图1所示，根据两点式直线方程，有不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形。,Orowan单位压力微分方程,Orowan方程的建立如图1所示，在后滑区取圆弧形窄条abcd作为单元体，其弧的半径为r，设cd面上的水平力为，则ab面上的水平力为，根据水平方向的力平衡方程：，有图1推导Orowan方程图示,Orowan单位压力微分方程,整理后式中，“-”为后滑区；“+”为前滑区，将上式写成导数的形式：(1)弧上的水平力=?由图1可知，弧上的水平力等于与在水平方向上的投影之和，即由于引起的水平分力与引起的水平分力相比甚小，可略去，则,Orowan单位压力微分方程,由图1可知，则(2)求与的关系即确定=？根据平面变形时的Mises屈服条件：将假定代入上式有,Orowan单位压力微分方程,因以轴对称，故与无关，又在接触面上，可知在小弧条上处处皆有，则上式为：(3)将（3）式代入（2）式，水平力为：对上式积分，得(4),Orowan单位压力微分方程,其中将（4）式代入（1）式，得(5)这就是著名的Orowan单位压力微分方程式。式中的曾在工程法中讨论过，它主要取决于接触面上的摩擦状态：当，且，则；当。,Orowan方程的Sims解,假定条件摩擦规律接触面全粘着：，这只有热变形才有可能。接触弧方程（关系）圆弧Sims认为，较大时，若仍以弦代弧，将带来较大偏差，故应采用接触面的实际形状圆弧，其方程为平面变形抗力为常数：，热变形适合。无张力，非连轧，仅用于单道次或可逆式轧制。,Orowan方程的Sims解,Sims式的通解由Orowan方程（5）式，因对的接触面，故(5)式可写成：两边除以，然后对左边求导：式中,Orowan方程的Sims解,代入上式并整理后，得则通解为：(6)Sims式的特解（积分常数C的确定）根据（4）式，单元体上的水平力为(7),Orowan方程的Sims解,由边界条件：入口处：，水平力，代入（7）式有。由于，必有，代入（6）式有(8)出口处：，水平力，代入（7）式有，由于必有，代入（6）式有,Orowan方程的Sims解,(9)将(8)、(9)两式分别代入(6)式，可得到前、后滑区的分布函数式：后滑区：(10)前滑区：(11)这就是适用于热轧中厚板的Sims单位压力分布函数式。,Orowan方程的Sims解,利用Sims式确定中性角的计算模型在中性面上，有，将(10)、(11)两式代入，则整理一下式中：所以(12),因为所以代入(12)式有(13)这就是利用Sims单位压力分布函数式得到的中性角计算模型。,Karman方程与Orowan方程的比较,Karman方程：Orowan方程：1二者在形式上的差别仅是Orowan方程有，而Karman方程则没有。反映的是接触面的摩擦状况，其取值在1之间。当时（接触面摩擦系数较小的情况），两个方程一致；当时（接触面