05-06数学分析试卷及答案3套

复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称：课程名称： 数学分析（I） 数学分析（I） 课程代码： 课程代码： 开课院系：开课院系： 数学科学学院 数学科学学院 学生姓名： 学生姓名： 学号： 学号： 专业： 专业： 题 目 题 目 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 总 分总 分 得 分 得 分 1计算下列各题： （1）求曲线在 = = ty tx 2cos ,sin 4 =t所对应的点处的切线方程。 （2）求极限。 xx x 2cotlim 0 （3）求函数 x xy 1 =（）的极值。 0x （4）求曲线的凸性与拐点。 )7ln12( 4 =xxy （5）计算不定积分 )1 ( 2 xx dx 。 2讨论函数 + = 为无理数 为有理数， xxx xxx xf ),1 ( ),1 ( )( 的连续性与可微性。 3问函数 xx x xf 1 sin 1 2 )( + + =在上是否一致连续？请对你的结论说明理由。 ) 1, 0( 4设函数在点可导，且)(xf1=x1) 1 (=f，2) 1 (= f ，求 n n f n f + ) 1 ( 1 1 lim。 5设函数满足)(xf x x xf )1ln( )(ln + =，求dxxf)(。 6证明：当时成立 0x 1 )1ln( 11 + xx 。 复旦大学 20052006 学年第一学期期末考试试卷 答案 1 （本题满分 40 分，每小题 8 分） （1）0222=+ yx。 （2） 2 1 。 （3） e ex ey 1 = = 为极大值。 （4）曲线在上为上凸，在 1, 0(), 1 +上为下凸，)7, 1 (为拐点。 （5）C x x x + 1 ln 1 。 2 （本题满分 15 分）在点连续且可微，f0=x0)0(=f，1)0(= f 。在其它点 不连续，因此也不可微。 3 （本题满分 10 分）不一致连续。 4 （本题满分 10 分）。 2 e 5 （本题满分 15 分）。 Ceex xx + )1ln()1 ( 6 （本题满分 10 分）证明：要证的不等式1 )1ln( 11 + xx （）等价于 0x 01)1ln( )1ln( + x x x （0x） 。 设1)1ln( )1ln( )(+ =x x x xf，则 2 )1ln( )( x xx xf + = （0 = x xg（0x） ，且，所以 0)0(=g 0)1ln()(+=xxxg （0 + = x xx xf （0x） 。 因为，因此当时成立 0)(lim 0 = xf x 0x x f)(xf1) 1 ()(= fxf。 所以 1 1 )( 2 + x 4 1 1 1 1 1 1 1)() 1 ()( 1 2 1 2 1 += + + + +y0 0 z 0 P 二求球面（）被平面 2222 azyx=+0a 4 a z =与 2 a z =所夹部分的面积。 三计算二重积分 () + D dxdy x yx 2 4 ，其中是由Dx轴，直线xy =以及曲线 1=+yx，2=+yx所围成的平面闭区域。 四计算三重积分，其中。 dxdydze z| 1| ),( 222 +=zyxzyx 五 计算曲线积分 + L dszy 22 2， 其中L是球面（）与平面 2222 azyx=+0ayx =相交而成的圆周。 六计算曲面积分，其中 +dxdyzdzdxydydzx 222 为锥面在平面 与（）之间的部分，定向为下侧。 222 zyx=+ 0=zhz =0h 七设是右半平面ji )()(2),( 24224 yxxyxxyyxA+=0| ),(=xyxD上 的向量场，试确定常数，使得为上函数的梯度场，并求出 。 ),(yxAD),(yxu ),(yxu 八 将|（sin|)(xxf=x） 展开为 Fourier 级数， 并分别求级数 = 1 2 14 1 n n ， () =1 2 2 14 1 nn 的和。 九设 + + = 1 2) 1 ( cos )(dt tt xt xf，),(+x。 （1）证明积分 + + 1 2) 1 ( cos dt tt xt 关于x在),(+上一致收敛； （2）证明； 0)(lim= + xf x （3）证明在上一致连续。 )(xf),(+ 数学分析（数学分析（III） 试题答案） 试题答案 2005.1 一 （本题满分 10 分） 3 3 000 =zyx。 二 （本题满分 10 分） 2 2 a 。 三 （本题满分 10 分） 2 15 。 四 （本题满分 10 分） 作球面坐标变换cos,sinsin,cossinrzryrx=得 = 0 |cos| 2 0 1 0 2| sindeddrrdxdydze rz 。 由于) 1(2sinsinsin 2 cos 2 0 cos 0 |cos| =+= rrrr ederderder ，所以 2) 1(4 1 0 | = drerdxdydze rz 。 五 （本题满分 10 分） 2 2 a 六 （本题满分 10 分） 4 2 h 。 七 （本题满分 10 分）1=；C x y yxu+= 2 arctan),(。 八 （本题满分 15 分） = = 1 2 14 2cos42 )( n n nx xf ，x； 2 1 14 1 1 2 = =n n ； () 2 1 16 14 1 2 1 2 2 = = nn 。 九 （本题满分 15 分） （1）因为 )1 ( 1 )1 ( cos 22 tttt xt + + ，),(+x， 而 ), 1 +t + + 1 2) 1 ( 1 dt tt 收敛，所以 + + 1 2) 1 ( cos dt tt xt 关于x在),(+上一致收敛。 （2）对于任意给定的0。因为 + + 1 2) 1 ( cos dt tt xt 一致收敛，所以存在1A，使 得 2)1 ( cos 2 XXx 2)1 ( cos 1 2 =+ + + + + + 22)1 ( cos )1 ( cos )1 ( cos 2 1 2 1 2 A A dt tt xt dt tt xt dt tt xt 。 即0 )1 ( cos lim 1 2 = + + + dt tt xt x 。 （3）因为对于任意),(, 21 +xx，成立 , | 41 1 | )1 ( 2 2 )1 ( 2 sin 2 sin2 )1 ( 2 sin 2 sin2 )1 ( )cos(cos )()( 21 1 2 21 1 2 21 1 2