点对点专升本高等数学模拟卷 第4卷 - 答案1

点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 浙江省浙江省 20202020 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 点对点高等数学点对点高等数学模拟卷模拟卷第第 4 4 卷答案卷答案 时间时间: :150150 分钟分钟满分满分: :150150 分分 一、选择题:本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1 5: DBACC 二、填空题:本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 6.答案：2,2 7.答案： 1 3 8.答案： 1 12 !21 )( n n n n x n xf找规律易知： 9.解析： 2 ey 10.解析：5 11.答案： 2 3,3xt xt令 222 2 2242 5 53 3 (3) (3)2 (3)2 (69) 3 2 2418343183 55 xt dxd ttdtttdt tx t ttcxxxC 12.答案： “” 解： 13.答案：-1 14.【答案】 1 y x 【详解】由 dyy dxx ，两端积分得 1 lnlnyxC，所以 1 xC y ，又(1)1y，所 以 1 y x . 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 15.答案：)2, 4, 2(, 2 4 2 122 121),( b c b a cba cba cbab即设 三、计算题：本题共有 8 小题，其中 1-4 小题每小题 7 分，5-8 小题每小题 8 分，共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。 16.求极限 2 0 1sin limln x x xx . 方法一方法一： 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx 32 000 sincos1sin1 limlimlim 366 xxx xxxx xxx 方法二方法二： 223 000 1sincossincossin limlnlimlim 2sin2 xxx xxxxxxx xxxxx 洛必达法则 2 0 sin1 lim 66 x xx x 洛必达法则 17、设函数 a x xxf xF sin2)( )( 0 0 x x 在R内连续，并满足：0)0(f、6)0( f， 求a. 解：因为)(xF在0x处连续，所以 )0()(lim 0 FxF x ， 8262)0(2 )0()( lim sin2)( lim)(lim 000 f x fxf x xxf xF xxx ， aF)0(，故8a. 18.设 ( ) ,0 ( ) 0,0 x g xe x f x x x 其中( )g x具有二阶连续导数，且 (0)1,(0)1.gg （1）求 ( ); fx（2）讨论 ( ) fx在(,) 上的连续性. 解答： （1） 2 ( )( )(1) ,0 ( ) (0) 1, 0 2 x xg xg xx e x x fx g x ； （2） ( ) fx在(,) 上为连续函数. 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 19、求不定积分 dx x x 2 cos 12 ) 12(tantan) 12(tan) 12( cos 12 2 xxdxxxdxdx x x Cxxxxdxxx cosln2tan) 12(tan2tan) 12( 20.已知 ln 0 1 32, 3 a xx ee dx 求a的值. 解答： 3 . 2 a 21.计算积分 3 2 1 2 2 . dx xx 解答： 3 2 1 2 2 ln(23). 2 dx xx 22、设平面图形D由抛物线 2 1xy及其在点)0 , 1 (处的切线以及y轴所围成，试求： （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 【解析】 （1）xyk2 切 ，在点)0 , 1 (处的切线为) 1(20xy，即 ) 1(2xy。 D的面积为 3 1 )1 () 1(2 1 0 2 dxxx。 （2） 6 1 2 1 3 2 )1 ( 2 1 2 0 1 0 2 dyydy y Vy。 18. 已知 2 0 1 cos2 (1) n n n xa x x ，求 n a。 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 四、综合题：本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分。 23.设级数 )( 864264242 864 x xxx 的和函数为S(x). 求： (I)S(x)所满足的一阶微分方程； (II)S(x)的表达式. 【分析分析】 对S(x)进行求导， 可得到S(x)所满足的一阶微分方程， 解方程可得S(x)的表达式. 【详解详解】(I) 864264242 )( 864 xxx xS， 易见S(0) = 0， 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 642422 )( 753 xxx xS ) 642422 ( 642 xxx x )( 2 2 xS x x . 因此S(x)是初值问题 0)0(, 2 3 y x xyy的解. (II) 方程 2 3 x xyy 的通解为 2 3 Cdxe x ey xdxxdx 2 2 2 1 2 x Ce x ， 由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1. 故 1 2 2 2 2 x e x y ，因此和函数 1 2 )( 2 2 2 x e x xS . 25、设函数)(xf可导，且满足方程)(1)( 2 0 xfxdtttf x ，求)(xf. 解：等式两边求导的)(2)( xfxxxf即xxxfxf2)()( 且1)0(f， xp ， xq2， 2 2 x pdx， 2 2 e pdx ee ， 2 2 x pdx ee ， 22 22 22 xx pdx edxxqdxqe 所以 222 222 2)2()( xxx CeeCexf ，由1)0(f， 解得3C， 2 2 32)( x exf 26.（）证明拉格朗日中值定理，若函数( )f x在, ab上连续，在, ab上可导，则 , ab，得证 ( )( )( )f bf afba. 点对点专升本Tel：梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ （）证明：若函数( )f x在0 x 处连续，在0,(0)内可导，且 0 lim( ) x fxA ， 则 (0) f存在，且 (0)fA . 【解析】 （）作辅助函数 ( )( ) ( )( )( )() f bf a xf xf axa ba ，易验证( )x满足： ( )( )ab；( )x在闭区间, a b上连续，在开区间, a b内可导，且 ( )( ) ( )( ) f bf a xfx ba . 根据罗尔定理，可得在, a b内至少有一点，使 ( ) 0 ，即 ( ) f ( )( ) 0,( )( )( )() f bf a f bf afba ba （）任取 0 (0, )x，则函数( )f x满足：在闭区间 0 0,x上连续，开区间 0 0,x内可导， 从而有拉格朗日中值定理可得：存在