数字图像处理第二章第六讲KL变换、其他正交变换

数字图像处理,山东科技大学江涛教授,国家级精品资源共享课,（DigitalImageProcessing）,数字图像处理,第二章常用的数学变换,2.1引言2.2空域变换2.3频率域变换2.4离散余弦变换2.5K-L变换2.6其他正交变换,第二章常用的数学变换,2.5K-L变换,各主分量相互之间互不相关，使得变换后的特征具有独立描述图像的全部信息在遥感图像处理中，将原始的多波段图像转换为主分量图像，将大量信息更多地集中在少数几个分量上，实现有效的特征抽取,第二章常用的数学变换,KL变换（主成分分析）在遥感图像中的应用举例：美国南卡罗来纳州查尔斯顿地区TM影像的主成分分析引于JohnR.Jensen著遥感数字影像处理导论,2.5K-L变换,第二章常用的数学变换,用于主成分分析的统计量,2.5K-L变换,第二章常用的数学变换,2.5K-L变换,用于主成分分析的统计量,第二章常用的数学变换,p=1,由协方差矩阵得到的特征值,2.5K-L变换,第二章常用的数学变换,2.5K-L变换,由协方差矩阵得到的特征值,各波段K与各主成分P的相关程度Rkp,式中：kp=第K波段与第P主成分的特征向量p=第P个特征值Vark=协方差矩阵中第K个波段的方差,主成分,式中，akp特征向量，Bvi,j,k为第k波段第i行，第j列的像元亮度值，n为波段数。,在这种情况下，要求出影像个波段中每个波段的第1个像元，即第1行第1列的像元值，用向量X来表示为：,像元1,1的原始数据,国家级精品资源共享课,第二章常用的数学变换,2.5K-L变换,国家级精品资源共享课,第二章常用的数学变换,2.5K-L变换,第二章常用的数学变换,数字图像处理,第二章常用的数学变换,2.1引言2.2空域变换2.3频率域变换2.4离散余弦变换2.5KL变换2.6其他正交变换,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),沃尔什函数沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。沃尔什函数系是一完备正交函数系，其值只能取1和1。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：一种是按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；另一种是按照佩利排列来定义（按自然排序）；第三种是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由2n（n=0，1，2，）阶哈达玛矩阵（HadamardMatrix）得到的，而哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系，即高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),1893年法国数学家哈达玛总结前人研究只包含+1和-1的正交矩阵结果，形成哈达玛矩阵，既简单又有规律1923年美国数学家沃尔什提出Walsh函数，具有特点函数取值仅有两个(0,1或-1，+1)由Walsh函数构成的Walsh函数集，具备正交性和完备性将Walsh函数用于信号的变换，建立Walsh变换基础后人发现，按照哈达玛构造矩阵的排列方式，对Walsh函数进行排列，形成的韩书记既满足正交性和完备性，有特别容易记忆和产生，将该正交函数集应用于信号变换，由此形成常用的沃尔什-哈达玛变换,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),第二章常用的数学变换,一维离散沃尔什变换定义为,一维离散沃尔什逆变换定义为,式中，Walsh(u,x)为沃尔什函数。若将Walsh(u,x)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则上式分别为,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),第二章常用的数学变换,和,由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算，因此，它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。,2.6其他正交变换离散沃尔什-哈达玛变换(WHT),第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换,二维离散沃尔什-哈达玛变换很容易将一维WHT的定义推广到二维WHT。二维WHT的正变换核和逆变换核分别为：,和,式中：x,u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换,和,求这两个图像的二维WHT。,根据题意，知M=N=4，其二维WHT变换核为：,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换,第二章常用的数学变换,2.6其他正交变换,第二章常用