高考理数　三角恒等变换

4.2三角恒等变换,高考理数(课标专用),考点三角函数式的求值与化简1.(2018课标,4,5分)若sin=,则cos2=()A.B.C.-D.-,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案B本题考查三角恒等变换.由sin=,得cos2=1-2sin2=1-2=1-=.故选B.,2.(2015课标,2,5分,0.86)sin20cos10-cos160sin10=()A.-B.C.-D.,答案Dcos=,sin2=cos=cos2=2cos2-1=2-1=-.故选D.,思路分析利用诱导公式化sin2=cos,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.,一题多解cos=(cos+sin)=cos+sin=1+sin2=,sin2=-.故选D.,导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.,4.(2014课标,8,5分,0.737)设,且tan=,则()A.3-=B.3+=C.2-=D.2+=,答案C由tan=得=,即sincos=cos+sincos,所以sin(-)=cos,又cos=sin,所以sin(-)=sin,又因为,所以-,0-0),则A=,b=.,答案;1,解析2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,A=,b=1.,评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键.,4.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan=.,答案,解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=,所以tan=tan=.,5.(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan=,cos(+)=-.(1)求cos2的值;(2)求tan(-)的值.,解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tan=,tan=,所以sin=cos.因为sin2+cos2=1,所以cos2=,所以cos2=2cos2-1=-.(2)因为,为锐角,所以+(0,).又因为cos(+)=-,所以sin(+)=,因此tan(+)=-2.因为tan=,所以tan2=-.因此tan(-)=tan2-(+)=-.,6.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.,解析(1)因为cosB=,0B,所以sinB=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-.因为0A,所以sinA=.因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=.,评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.,7.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中aR,.(1)当a=,=时,求f(x)在区间0,上的最大值与最小值;(2)若f=0,f()=1,求a,的值.,解析(1)当a=,=时,f(x)=sin+cos=(sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx=sin,由x0,知-x.故f(x)在0,上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由知cos0,解得,考点三角函数式的求值与化简1.(2015四川,12,5分)sin15+sin75的值是.,C组教师专用题组,答案,解析sin15+sin75=sin15+cos15=sin(15+45)=sin60=.,2.(2015江苏,8,5分)已知tan=-2,tan(+)=,则tan的值为.,答案3,解析tan=-2,tan(+)=,tan=tan(+)-=3.,3.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cosx与y=sin(2x+)(0),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是.,答案,解析显然交点为,故有sin=,+=2k+,kZ或+=2k+,kZ,=2k-或=2k+,kZ,又0,故=.,4.(2013课标,15,5分,0.271)设为第二象限角,若tan=,则sin+cos=.,答案-,解析tan=tan=-,sin=-cos,将其代入sin2+cos2=1得cos2=1,cos2=,又易知cos0,cos=-,sin=,故sin+cos=-.,思路分析=-,利用两角差的正切公式求得tan的值,由tan=,sin2+cos2=1及所属的象限求得sin与cos的值,从而求出sin+cos.,技巧点拨求值、化简是解三角函数问题的基础,在求值与化简时,常利用sin2+cos2=1实现角的正弦、余弦的互化,利用=tan实现角的弦切互化.,5.(2013课标,15,5分,0.246)设当x=时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cos=.,答案-,解析由辅助角公式得:f(x)=sin(x-),其中sin=,cos=,由x=时,f(x)取得最大值得:sin(-)=1,-=2k+,kZ,即=+2k,cos=cos=-sin=-.,思路分析由辅助角公式得f(x)=sin(x-).当x=时,f(x)取最大值,故有-=2k+,kZ,从而求得值,利用诱导公式知cos=-sin,进而可得cos的值.,解题关键本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.,6.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,xR,且f=.(1)求A的值;(2)若f()+f(-)=,求f.,解析(1)f=Asin=,A=,A=.(2)f()+f(-)=sin+sin=,=,cos=,cos=,又,sin=,f=sin(-)=sin=.,考点三角函数式的求值与化简1.(2018山西长治二模,6)已知sin=,则cos的值为()A.B.C.D.,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案Asin=,cos=,sin2=2sincos=2=,cos2=1-2sin2=1-2=1-=,cos=-=.故选A.,2.(2018河南濮阳一模,5)设090,若sin(75+2)=-,则sin(15+)sin(75-)=()A.B.C.-D.-,答案B因为090,所以7575+2255.又因为sin(75+2)=-0,所以1800,tan=tan(+-)=当且仅当=9tan时等号成立,(tan)max=.,一、选择题(每题5分,共30分)1.(2018广东揭阳二模,5)已知f(x)=sinx-cosx,实数满足f()=3f(),则tan2=()A.-B.-C.D.,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:30分钟分值:50分),答案A由题意可得f(x)=cosx+sinx,f()=cos+sin.由f()=3f(),得cos+sin=3sin-3cos,2sin=4cos,即tan=2.tan2=-,故选A.,思路分析由f(x)=sinx-cosx得f(x),利用f()=3f()求得tan的值,从而求得tan2的值.,易错警示在求解f(x)时,易把(cosx)错求为sinx,从而导致错解.,2.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atan+b=(a-btan)tan,且+与的终边相同,则的值为()A.B.C.D.,答案B已知等式可化为atan+b=atan-btantan,即b(1+tantan)=a(tan-tan),=tan(-),又+与的终边相同,即=2k+(kZ),tan(-)=tan=tan=,即=,故选B.,方法技巧应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结构中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代换”“逆用、变用公式”“通分、约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,3.(2018福建福州3月模拟,4)cos15-4sin215cos15=()A.B.C.1D.,答案D解法一:cos15-4sin215cos15=cos15-2sin152sin15cos15=cos15-2sin15sin30=cos15-sin15=2cos(15+30)=2cos45=.故选D.解法二:因为cos15=,sin15=,所以cos15-4sin215cos15=-4=.故选D.,方法总结三角函数求值问题中所给的角往往都是非特殊角,解决这类问题的主要思路有:化为特殊角的三角函数值求解;化为正负相消的项,消项求值;化分子、分母,使之出现公约数,约分求值.,4.(2017豫北名校联考,8)若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=时取得最小值,则cos=()A.B.-C.D.-,答案Bf(x)=5cosx+12sinx=13=13sin(x+),其中sin=,cos=,由题意知+=2k-(kZ),得=2k-(kZ),那么cos=cos=cos=-sin=-,故选B.,解题关键利用辅助角公式进行化简,找出与的关系是解决本题的关键.,5.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知为第二象限角,且tan+tan=2tantan-2,则sin等于()A.-B.C.-D.,答案Ctan+tan=2tantan-2=-2tan=-2,为第二象限角,sin=,cos=-,则sin=-sin=-sin=cossin-sincos=-.,思路分析由已知条件得tan=-2,利用同角三角函数的基本关系及的范围求出sin与cos的值,进而利用三角恒等变换求sin的结果.,6.(2016安徽皖江名校联考,10)已知在锐角ABC中,角+的终边过点P(sinB-cosA,cosB-sinA),且cos=,则cos2的值为()A.B.-C.-D.-,答案DABC是锐角三角形,A+B,A、BB-A0,则sinBsin=cosA,cosB0,cosB-sinA0,角+为第四象限角,sin=-,cos=cos-=coscos+sinsin=-,cos2=2cos2-1=-,故选D.,解题关键利用锐角三角形的定义及正、余弦函数的单调性得出+的范围是解决本题的关键.合理进行“拆角”是正确解决本题的保证.,二、填空