高考理数　简单的线性规划

7.2简单的线性规划,高考理数(课标专用),A组统一命题课标卷题组考点简单的线性规划1.(2017课标,5,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.9,五年高考,答案A本题考查简单的线性规划问题.根据线性约束条件画出可行域,如图.作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值.由得点A的坐标为(-6,-3).zmin=2(-6)+(-3)=-15.故选A.,2.(2014课标,9,5分,0.798)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2,方法总结解决线性规划问题的一般步骤:画出可行域;根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点,并求出该点坐标;求出目标函数的最大值或最小值.,3.(2018课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.,答案6,题型归纳线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程求解参数的值;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.,4.(2018课标,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.,答案9,解析本题考查简单的线性规划.由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.,5.(2017课标,14,5分)设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为.,答案-5,解析本题考查线性规划问题,考查学生对数形结合思想的应用能力.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在A点处取最小值,又由解得即A(-1,1),所以zmin=3(-1)-21=-5.,温馨提醒在求解直线型目标函数z=Ax+By的最值时,一定要注意y前系数B的符号.,6.(2017课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为.,答案-1,7.(2016课标,13,5分)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.,答案,解析由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,当直线y=-x+z过点B时,z取最大值.,8.(2015课标,15,5分,0.866)若x,y满足约束条件则的最大值为.,答案3,解析由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由得点A的坐标为(1,3),则=kOA=3.,解题关键分析出的几何意义是可行域内点(x,y)与原点O连线的斜率是解题的关键.,导师点睛(1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法,坚决杜绝不画可行域,直接代点求解的恶习,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键.,9.(2016课标,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.,解析设生产产品Ax件,产品By件,依题意,得设生产产品A,产品B的利润之和为E元,则E=2100 x+900y.画出可行域(如图),易知最优解为(满足xN,yN),则Emax=216000.,答案216000,考点简单的线性规划1.(2018天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案C本题主要考查线性目标函数最值的求解.由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).,作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax=32+53=21,故选C.,2.(2017浙江,4,5分)若x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是()A.0,6B.0,4C.6,+)D.4,+),答案D本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法.不等式组形成的可行域如图所示.平移直线y=-x,当直线过点A(2,1)时,z有最小值4.显然z没有最大值.故选D.,3.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=()A.2B.4C.3D.6,4.(2015福建,5,5分)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于()A.-B.-2C.-D.2,答案A由约束条件画出可行域如图(阴影部分).当直线2x-y-z=0经过点A时,zmin=-.故选A.,评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.,5.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3,6.(2015重庆,10,5分)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()A.-3B.1C.D.3,7.(2014安徽,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为()A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1,8.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(),A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元,答案D设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足:该不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)(满足xN,yN)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.,9.(2018北京,12,5分)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是.,答案3,方法总结解决简单的线性规划问题的方法先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而求得最值.,10.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是.,答案-2;8,解析本小题考查简单的线性规划.由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.当直线y=-x+过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.,思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y=-x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+3y取得最大值.,11.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.,答案,解析画出不等式组表示的可行域如图:,由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min等于点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离的平方,故(x2+y2)min=,所以x2+y2的取值范围为.,解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.,12.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y21,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.,答案3,解析x2+y21,6-x-3y0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-20时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域内的点(含边界).通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A时,t取最小值,tmin=-+4=3.当2x+y-28-3-4=3.综上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.,考点简单的线性规划1.(2017北京,4,5分)若x,y满足则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9,C组教师专用题组,答案D本题考查简单的线性规划.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.令z=x+2y,当z=x+2y过A点时,z取最大值.由得A(3,3),z的最大值为3+23=9.故选D.,2.(2017天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1C.D.3,答案D本题主要考查简单的线性规划.由变量x,y满足的约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=z-x,当直线y=z-x经过点(0,3)时,z取最大值3,故选D.,3.(2017山东,4,5分)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.6,答案C本题考查简单的线性规划.由约束条件画出可行域,如图.由z=x+2y得y=-+,当直线y=-+经过点A时,z取得最大值,由得A点的坐标为(-3,4).故zmax=-3+24=5.故选C.,易错警示没有真正掌握简单的线性规划问题的求解方法,从而找错了最优解,导致最终结果错误.,4.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12,5.(2016天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为()A.-4B.6C.10D.17,答案B由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,zmin=23+50=6,故选B.评析本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.,6.(2016北京,2,5分)若x,y满足则2x+y的最大值为()A.0B.3C.4D.5,答案C画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2)时,z最大,zmax=4.故选C.评析本题考查简单的线性规划,属容易题.,7.(2015天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40,答案C由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线x+6y-z=0过点(0,3)时,zmax=0+63=18.故选C.,8.(2013课标,9,5分,0.788)已知a0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.B.C.1D.2,解题关键根据约束条件准确画出可行域,从而经过平移确定直线z=2x+y过可行域内的点A时z取得最小值是解题的关键.,9.(2013北京,8,5分)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是()A.B.C.D.,评析本题主要考查线性约束条件表示的平面区域的画法及线性规划问题,考查学生对基本方法和基本技能的掌握情况,以及数形结合思想的应用能力.,10.(2013安徽,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|=|=2,则点集P|=+,|+|1,R所表示的区域的面积是()A.2B.2C.4D.4,11.(2014湖南,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.,答案-2,解析要使不等式组构成一可行域,则k,即k2时,直线y=-ax+z经过点A(-2,-2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当-a=2时,直线y=-ax+z与y=2x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当-1-a2时,直线y=-ax+z经过点B(0,2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当-a=-1时,直线y=-ax+z与y=-x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当-a-1时,直线y=-ax+z经过点C,(2,0)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意.综上,当a=-2或a=1时最优解不唯一,符合题意.故选C.,6.(2018山西太原五中4月模拟,9)若不等式组所表示的平面区域内存在点(x0,y0),使x0+ay0+20成立,则实数a的取值范围是()A.a-1B.a1D.a1,7.(2016河北衡水中学五调,6)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是()A.aB.00)的最小值为2,则+的最小值为()A.B.C.D.,答案D作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示),对z=ax+by+5(a0,b0)进行变形,可得y=-x+-,所以该直线的斜率为负数,当直线z=ax+by+5(a0,b0)过点A时,z取得最小值,联立可求出交点A的坐标为(-2,-2),所以-2a-2b+5=2,整理得a+b=,所以+=(a+b)=,当且仅当a=b时取等号,故选D.,思路分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义确定取得最小值时的最优解,从而结合已知可得到a,b的关系式,然后对所求式进行变形,利用基本不等式求出最小值.,方法归纳已知目标函数的最值求参数的常用方法:把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,进而列方程求解参数的值.,5.(2017湖北黄冈模拟)在平面直角坐标系中,已知平面区域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0,则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为()A.2B.1C.D.,答案B对于集合B,令m=x+y,n=x-y,则x=,y=,由于(x,y)A,所以有即因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域的面积,画出图形可知该平面区域面积为2=1,故选B.,名师点拨利用换元法转化本题是求解的关键,正确理解集合B的含义是得到正确答案的前提.,6.(2018豫南九校4月联考,14)已知不等式组表示的平面区域为D,若对任意的(x,y)D,不等式t-4x-2y+6t+4恒成立,则实数t的取值范围是.,二、填空题(每题5分,共30分),答案(3,5),解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).设z=x-2y+6,平移直线y=x,可知z=x-2y+6在A(3,4)处取得最小值1,在C(1,0)处取得最大值7,所以解得3t3,令z=1+=1+.,令t=,则z=1+.可知t=在线段AC上取得最大值1,在点D处取得最小值,以下求D点坐标:由得x2-5tx+1=0.(*)=25t2-4,令=0,解得t=或t=-(舍).当t=时,(*)式为x2-2x+1=0,得x=1,D点坐标为.故t,又易知z=1+=1+在t上单调递增,当t=时,z取最小值,当t=1时,z取最大值3,故的取值范围为.,方法点拨对于二元齐次分式形式的目标函数,常令t=进行换元,转化成一元函数求解.,8.(2018河南顶级名校第二次联考,15)设实数x,y满足约束条件则z=+的最小值为.,答案1,解题关键缩小最优解的范围,即得出使z取得最小值的点落在线段AB上是解题的关键.,9.(2018江西南昌二中1月模拟,15)已知区域D:且圆C:(x