专题09 平面域的面积与旋转体的体积

1 专题 九 平面域的面积与旋转体的体积 （一）平面图形的面积 计算平面图形的面积时，利用二重积分比利用一元定积分的元素法方便.设有平面域 D，则该平面域D的面积为 = D dS1 1）若平面域D由曲线)()()(),(xgxfxgyxfy=， ax =，bx =（ba ）所围成（如右图） ，则 = b a xf xg b a D dxxgxfdydxdS)()(11 )( )( 2）若平面域D由曲线曲)(=，=,=)(+ + = 0)21 ( 2 1 01)1 ( 2 1 2 2 xxx xx 令 021 2 =+xx，得21 2, 1 =x + += 0 1 21 0 22 )21 ( 2 1 )1 ( 2 1 dxxxdxxS 2 3 2 1+= V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 3 【例 3】 设平面图形A由xyx2 22 +与xy 所确定,求图形A,绕2=x旋转一周所得 旋转体的体积. 【解 1】利用二重积分 = = DD x dxdyxrV)2(2),(2 2 = 2 21 0 )2(2 xx x dyxdx = 1 0 2 )2)(2(2dxxxxx += 1 0 1 0 2 1 0 2 )2(22)1 (2xdxxdxxxdxxxx 3 2 23 2 4 )2( 3 1 2 2 1 0 2 3 2 = +=xx 其中 4 2 1 0 2 = dxxx为 4 1 单位圆面积. 【解 2】 = = DD x dxdyxrV)2(2),(2 2 = y y dxxdy 2 11 1 0 )2(2 dyyy)2()11( 222 1 0 += 3 7 )122( 1 0 22 += dyyy 3 7 2 1 3 5 2 += . 3 2 2 2 = 其中 4 1 1 0 2 = dyy为 4 1 单位圆面积. 【例 4】过点) 1 , 0(作曲线xyLln:=的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由 L与直线AB围成. 求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】 设切点A的坐标为),( 11 yx，则切线方程为 )( 1 1 1 1 xx x yy=， 将点) 1 , 0(代入，得. 2, 1 2 1 =yex V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 4 所求面积为 2) 1( 2 1 ln 2 1 2 = e exdxS 1ln 2 1 1 2 2 += edxxx e e 112 222 +=eee2= 所求体积为 = 2 1 22 ) 1(4 3 ln e exdxV ) 1( 3 4 )2ln2ln( 2 1 2 2 +=exxxxx e ).1( 3 2 2 =e 【例 5】求圆盘1)2( 22 +yx绕y轴旋转而成旋转体的体积. 【解 1】 dxxxV = 3 1 2 )2(122 dxxx += 3 1 2 )2(12)2(22 dxx = 3 1 2 )2(1222 2 3 1 2 4 2 8)2(18 = dxx 【解 2】 = D xdV2 += D dx2)2(2 = D d22 2 4= 【例 6】求曲线| 1|3 2 =xy与x轴围成的封闭图形绕直线3=y旋转所得的旋转体体积. 【解 1】 作出图形. AB的方程为2 2 +=xy ) 10(x， BC的方程为 2 4xy= )21 (x. 设旋转体在区间 1 , 0上体积为 1 V，在区间2 , 1 上的 体积为 2 V，则它们的体积元素分别为 ,d28d)2(33d 42222 1 xxxxxV+=+= .d28d)4(33d 42222 2 xxxxxV+= 由对称性得 +=+= 2 1 42 1 0 42 21 d)28(2d)28(2)(2xxxxxxVVV . 15 448 d)28(2 2 0 42 =+= xxx V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 5 【解 2】 = 13 0 2 2 2 )3(2)3(2 x D dyydxdyV 15 448 9) 1( 2 2 22 = dxx 【例 7】设曲线 x y 1 =与直线xy=及2=y所围区域为D， 1）求区域D分别绕x轴和y轴旋转所得旋转的体积； 2）求区域D分别绕2=x和2=y旋转所得旋转的体积. 【解】 1） = D x ydV2 = y y ydxdy 1 2 1 2 3 8 = = D y xdV2 6 11 2 1 2 1 = dxxdy y y 2）区域D绕2=x旋转所得旋转的体积为 = D dxV)2(2)2ln4 6 25 ()2(2 1 2 1 = dxxdy y y 区域D绕2=y旋转所得旋转的体积为 = D dyV)2(2)2ln 6 5 (4)2(2 1 2 1 = y y dxydy 【例8】 求曲线 2 xy=与直线xy=所围区域为D绕直线xy=旋转一周所得旋转体的体积. 【解】 22 ),( yxxy yxr = = = D d yx V 2 2dy yx dx x x = 2 2 2 1 0 60 2 = 【例 9】设平面域D由曲线)cos1 (+=所围成，试求 1）区域D的面积； 2）区域D绕极轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】1）解 = D dS1 + = cos1 00 2dd 2 3 )cos1 ( 0 2 =+=d 2） 由于D在极轴上方和下方两部分绕极轴旋转产生的旋转体重合，则 V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 6 = 0 2 y D x ydV ddsin2 cos1 0 2 0 + = += 0 3 sin)cos1 ( 3 2 d 3 8 = 【例 10】已知曲线) 2 0( cos ),( : = = t ty tfx L，其中函数)(tf具有连续导数，且 ). 2 0(0)(, 0)0( t f，解得.cos cos 1 cos sin )( 2 t tt t tf= 由于0)0(=f，所以.sin)tanln(sec)(ttttf+= 2）因为0)0(=f，+= )(lim 2 tf t ，所以以曲线L及x轴和y轴为边界的区域是无界 区域，其面积为 + = 0 ydxS = 2 0