2015概率论与数理统计冲刺讲义

书书书 概率论与数理统计 随机试验样本点 样本空间 随机事件 犃 关系， 运算 规律 概率犘（ 犃 ）古典概型， 几何概型 伯努利概型 定义， 性质 五大公式， 条件概率 随机变量 一维 犡 二维（犡， 犢 ） 独立， 条件 离散型分布（ 律 ） 分布函数 常见分布 函数的分布 数字特征 期望、 方差 协方差、 相关系数 大数定律 中心极限定理 连续型密度 简单随机样本统计量 珡 犡，犛 ， ， 狋，犉 正态总体抽样分布 参数估计点估计 区间估计 假设检验 矩估计法 最大似然估计法 评估 近十年考题与分布 年 数学一 数学三 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 题 分 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 年 一 三 随机事件与概率 主要考点： 随机事件的关系， 运算和规律概率性质， 条件概率 事件独立性， 五大公式 典型例题分析 例 设犘（ 犃） ，犘（犃 犅） 且犘（犃狘犅）犘（ 珡 犃狘珚犅）， 则犘（犃犅） 例 （ ）设事件犃与事件犅互不相容， 则 （） 犘（ 珡 犃珚犅） （ ）犘（犃 犅）犘（犃）犘（犅） （） 犘（犃）犘（犅） （） 犘（ 珡 犃珚犅） 例 （ ）设两个相互独立的事件犃和犅都不发生的概率为 ， 犃发生犅不发生的概率与犅发生 犃不发生的概率相等， 则犘（犃） 例 已知犘（ 犃）犘（犅） ， 则 犘（犃狘犅）犘（犅狘犃）最小可能取值等于 （） （ ） （） （） 例 连续抛掷一枚硬币， 第犽次正面向上在第狀次抛掷时发生的概率 （） 犆 犽 狀（ ） 狀 （ ）犆 犽 狀（ ） 狀 （） 犆 犽 狀 （ ） 狀 （） 犆 犽 狀 （ ） 狀 例 （ ） 已知甲、 乙两箱中装有同种产品， 其中甲箱中装有件合格品和件次品， 乙箱中仅装有 件合格品， 从甲箱中取件产品放入乙箱后求： （）乙箱中次品件数犡的数学期望； （）从乙箱中任取一件产品是次品的概率 例 某一选择题有个选项， 已知考生知道正确解法的概率为 ， 考生因粗心犯错的概率为 ， 如果考生不知道正确解法就瞎猜， 试求： （）该考生答对此选择题的概率 （）当考生答对了， 而不是瞎猜的概率 第一章 随机变量及其分布 主要考点： 离散型和连续型随机变量， 分布函数， 分布律， 概率密度， 常见分布， 随机变量函数的分 布， 随机变量独立 典型例题分析 例 设随机变量犡与犢相互独立， 且均服从犝 ， ， 则犘 （犡，犢） 例 设随机变量犡服从正态分布犖（ ， ） ， （ ） ， 且犘犡犘犡 ， 则 的值 （）小于（ ）等于 （）大于（）不能确定 例 （ ）设随机变量犢服从参数为的指数分布，犪为常数且大于零， 则犘犢犪狘犢犪 例 （ ）设二维随机变量（犡，犢）的概率分布为 犢 犡 犪 犫 已知随机事件犡与犡犢相互独立， 则 （）犪 犫 （ ）犪 犫 （）犪 犫 （）犪 犫 例 （ ）袋中有一个红球， 两个黑球， 三个白球， 现有放回地从袋中取两次， 每次取一个球， 以犡， 犢，犣分别表示两次取球所取得的红球， 黑球与白球的个数 （）求犘犡狘犣 ； （）求二维随机变量（犡， 犢）的概率分布 例 （ ） 设随机变量犡与犢独立同分布， 且犡的概率分布为 犡 犘 ， 记犝 犡， 犢 ， 犞 犡，犢 ， （）求（ 犝，犞）的概率分布； （）求犝与犞的协方差 （犝，犞） 例 设随机变量犡的概率密度为犳（ 狓） ， 则随机变量狘犡狘的概率密度为 （） 犳（狓）犳（ 狓）犳（狓） （ ）犳（狓）犳（狓）犳（狓） （） 犳（狓） 犳（狓）犳（狓） ，狓 ； ，狓 烅 烄 烆 （） 犳（狓） 犳（狓）犳（狓） ，狓 ； ，狓 例 设随机变量犡服从标准正态分布， 其分布函数为（ 狓） ， 求随机变量犢（犡） 的分布函数 例 （ ）设随机变量犡的概率密度为犳（狓） 狓 ，狓， ， 其他 烅 烄 烆 令随机变量犢 ，狓 狓， 狓 ， ， 狓 烅 烄 烆 （）求犢的分布函数； （）求概率犘犡犢 例 设随机变量犡服从指数分布犈（ ） ， 在犡狓（狓 ） 的条件下， 随机变量犢的条件概率密 度为犳 犢狘犡（狔狘狓） 狓狔， 狓狔 ， 其他 （）求（犡， 犢）的概率密度犳（狓，狔） （）求犢的边缘概率密度； （）犘犡犢 例 （ ）设随机变量犡的概率分布为犘犡犘犡 ， 在给定 犡犻的条件下， 随机变量犢服从均匀分布犝（ ，犻） （犻，） （）求犢的分布函数犉犢（ 狔） ； （）求犈 犢 例 设二维随机变量（犡， 犢）的概率密度为 犳（狓，狔） 狓 ，狔狓， ， 其他 烅 烄 烆 （）求犢的边缘概率密度犳犢（ 狔） ； （） 求条件概率密度犳犢狘犡（狔狘狓） ； （） 求犡犢 第二章 随机变量的数字特征 主要考点： 数学期望， 方差， 协方差， 相关系数； 常用分布的数字特征， 随机变量函数的数字特征 典型例题分析 例 设随机变量犡服从标准正态分布犖（ ，） ， 则犈 （犡） 犡 例 设随机变量犡的分布函数为犉（ 狓） （狓） （狓） ） ， 其中（狓） 为标准正 态分布的分布函数， 则犈 犡 （） （ ） （） （） 例 （ ）设， 是两个相互独立且均服从正态分布犖 ， 槡 （ ） （） 的随机变量，则随机变量 狘狘的数学期望犈（狘狘） 例 （ ）设两个随机变量犡，犢相互独立， 且都服从均值为， 方差为 的正态分布， 则随机变量 狘犡犢狘的方差犇（狘犡犢狘） 例 设随机变量犡，犡， ，犡狀（ 狀） 独立同分布， 其方差为 ， 记珡 犡 犽 犽 犻犡 犻，犽 狀， 则 （ 珡 犡狊， 珡 犡狋） ， 狊，狋狀的值等于 （） （狊，狋） （ ） （狊，狋） （） （ 狊，狋） （） （ 狊，狋） 例 设随机变量犡，犡， ，犡狀（ 狀 ） 独立同分布， 均服从犖（ ，）记珡犡 狀 狀 犻犡 犻，犢犻犡犻 珡 犡，犻， ，狀则犢与犢狀的相关系数等于 （） 狀 （ ） 狀 （） 狀 （） 狀 例 （ ）设随机变量犡犖（，） ，犢犖（，） ， 且相关系数犡 犢， 则 （） 犘犢犡 （ ）犘犢犡 （） 犘犢犡 （） 犘犢犡 例 （ ）已知随机变量犡与犢的概率分布分别为 犡 犘 ， 犢 犘 ， 且犘犡犢 （）求二维随机变量（犡， 犢）的概率分布； （）求犡与犢的相关系数犡 犢 例 （ ）设随机变量犡，犢的概率分布相同，犡的概率分布为犘犡 ， 犘犡 ， 且犡与犢的相关系数犡 犢 （）求（犡， 犢）的概率分布； （）求犘犡犢 例 （ ） 设随机变量犡犝， ， 随机变量犢 ， 若犡， ， 若犡， ， 若犡 烅 烄 烆 ， 则方差犇 犢 第三章 大数定律， 中心极限定理 主要考点： 切比雪夫不等式， 三个大数定律两个中心极限定理 典型例题分析 例 设随机变量犡的密度函数犳（ 狓）满足 犳（ 狓）狓， 狓 犳 （ 狓）狓， 狓 犳（狓）狓 则根据切比雪夫不等式有犘犡 例 （ ）设随机变量犡，犡， ，犡狀相互独立，犛狀犡犡犡狀， 则根据 中心极限定理， 当狀充分大时， 犛狀近似服从正态， 只要犡，犡，犡狀 （）有相同的数学期望（ ）有相同的方差 （）服从同一指数分布（）服从同一离散型分布 例 （ ） 设总体犡服从参数为的指数分布，犡，犡， ，犡狀为来自总体犡的简单随机样本， 则当 狀 ，犢狀 狀 狀 犻犡 犻依概率收敛于 数理统计 主要考点： 简单随机样本， 统计量， 样本均值珡犡， 样本方差犛 ； 分布， 狋分布，犉分布， 分位数， 正态总体的常用抽样分布； 矩估计， 最大似然估计， 估计量评估； 显著性检验， 两类错误 典型例题分析 例 设犡，犡， ，犡狀为来自正态总体犖（ ， ）的简单随机样本， 则数学期望 烅 烄 烆 犈 狀 犻犡 （） 犻 狀 犼 狀 犡犼 狀 犽犡 （） 犽 烍 烌 烎 例 （ ）设随机变量犡和犢服从标准正态分布， 则 （）犡犢服从正态分布（ ）犡 犢 服从 分布 （）犡和犢都服从 分布（）犡 犢 服从犉 分布 例 （ ） 设总体犡服从正态分布犖（， ） ， 而犡 ，犡， ，犡 是来自总体犡的简单随机样本， 则 随机变量犢 犡 犡 （犡 犡 ） 服从分布， 参数为 例 （ ）设随机变量犡狋（狀） ，犢犉（，狀） ， 给定（ ） ， 常数犮满足犘犡犮， 则犘 犢犮 （） （ ） （） （） 例 设犡，犡， ，犡狀为来自总体犡的简单随机样本， 而犡犅（ ，狆） ， 记珡犡 狀 狀 犻犡 犻， 则 狀 犻 （犡犻珡 犡） 等于 （）珡 犡珡犡 （ ） 珡 犡狀 珡 犡 （） 狀 珡 犡珡犡 （） 狀 珡 犡狀 珡 犡 例 （ ） 设犡，犡， ，犡狀为来自二项分布总体犅（狀，狆） 的简单随机样本， 珡 犡和犛 分别为样本均 值和样本方差， 记统计量犜珡 犡犛 ， 则犈 犜 例 （ ） 设总体犡的概率密度犳（狓，） 狘 狓狘 ， 狓， 其中参数（ ） 未知， 若 犡，犡， ，犡狀是来自总体犡的简单随机样本， 狀 狀 犻 狘犡犻狘是的估计量， 则犈（ ） 例 （ ）设一批零件的长度服从正态分布犖（ ， ） ， 其中， 均未知， 现从中随机抽取 个零 件， 测得样本均值珚 狓 （ ） ， 样本标准差犛（ ） ， 则的置信度为 的置信区间是 （） （ 狋 （ ） ， 狋 （ ） ） （ ） （ 狋 （ ） ， 狋 （ ） ） （） （ 狋 （ ） ， 狋 （ ） ） （） （ 狋 （ ） ， 狋 （ ） ） 例 设犡，犡相互独立且均服从正态犖（ ，） ， 记犢 犡 犡 ， 对给定的（ ）数狔 满足 犘狘犢狘狔， 则有 （） 狔狔 （ ）狔狔 （） 狔 狔 （） 狔 狔 例 近年的矩估计和最大似然估计考题 （ ）犳（狓） （ ）狓 ， 狓 ； ， 其他 （ ）犳（狓） 狓 （ 狓） ， 狓； ， 其他 烅 烄 烆 （ ） （ ） 犳（狓；） （狓）， 狓 ，狓 （ ）犳（狓；） （狓）， 狓 ； ，狓 （ ） 犡 犘 （） （ ）犉（狓；， ） （ ）狓 ， 狓； ，狓 烅 烄 烆 （ ）犳（狓，） ， 狓 ； ，狓； ， 其他 烅 烄 烆 （ ）犳（狓，） ， 狓； （） ，狓； ， 其他 烅 烄 烆 （ ）犳（狓） 狓 狓 ，狓 ； ， 其他 （ ）犳（狓） 槡 （ 狓） ， 狓 （ ）犳（狕， ） 槡 狕 ， 狕 （ ）犳（狓；） 狓 狓，狓 ； ， 其他 烅 烄 烆 （ ）犉（狓；） 狓 ，狓 ； ， 其他 烅 烄 烆 例 设总体犡犘（ ） ， 利用总体犡的如下样本值：，求的矩估计值和最大似然估计 值 例 总体犡的密度犳（ 狓） 狘狓狘， 狓 ， 利用总体犡 的如下样本值 ， ， ， ， 求（） 的矩估计； （）的最大似然估计 例 写出相应的似然函数 犡犘（） 狓，狓