2021考研概率统计全考点习题册答案解析第一讲

2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 1 - 第一讲第一讲 随机事件与概率随机事件与概率 1 1. .1 1 对于任意两个事件A和B，与ABB=不等价不等价的是（ ） （A）AB（B）B A （C）AB =（D）AB = 【答案】【答案】 （D） 【解析解析】ABBABAB=，排除（A）和（B）. 又 ABBABAABAAB=，排除（C） ，故应选（D）. 1 1. .2 2 设,A B为随机事件，( )( ) 4 3 =BPAP，则() 4 1 =BAP成立的一个充分条 件为（ ） （A）A,B相互独立 （B）AB=（C）AB =（D）AB = 【答案】【答案】 （C） 【解析解析】由于 111 ()( )()()( ) 442 P ABP AP ABP ABP A=，由此可 以排除选项(A)(B)(D)，故应选(C)，事实上，当AB = = 时， 1 1()( )( )()() 2 P ABP AP BP ABP AB=+=+=. 1 1. .3 3 设随机事件, ,A B C两两独立, 其概率均为(01)pp, 若ABC =, 且ABC, 则p =（ ） （A） 1 4 （B） 1 3 （C） 1 2 （D）无法确定 【答案】【答案】 （C） 【解析】【解析】因为ABC =，所以 1()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+. 因为ABC， 所以()()P ABCP AB=. 又因为, ,A B C两两独立， 且概率均为p, 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 2 - 从而 2 1( )( )( )()()32P AP BP CP ACP BCpp=+=，解得 1 2 p =. 所以应 选（C）. 1 1. .4 4 设随机事件A与B相互独立, A与C相互独立, BC =, 若 1 ( )( ) 2 P AP B=， 1 () 4 P AC ABC =, 则( )P C =_. 【解析】【解析】由 1 () 4 P AC ABC =, 可得 ()1 , ()4 P ACABC P ABC = 其中 () 1 ()()( )( )( ) 2 P ACABCP ACABACCP ACP AP CP C=+=， ()()()()( )P ABCP ABP CP ABCP ABP C=+=+ 1 ( ) ( )( )( ) 4 P A P BP CP C=+=+, 代入可得 1 ( ) 1 2 1 4 ( ) 4 P C P C = + , 可知 1 ( ) 4 P C =. 1.51.5 设袋中装有 7 个白球和 3 个黑球，依次不放回的取出三个球，则已知第三次取 出黑球，求前两次取出的球颜色不相同的概率. 【解【解析】析】法一法一（条件概率）设A =“第三次取出黑球” ，B =“前两次取出的球颜色 不相同” ，则 () (|) ( ) P AB P B A P A =， 12 39 3 10 C A3 ( ) A10 P A =（也可直接得出 3 ( ) 10 P A =） 11111 37227 3 10 C (C CC C )7 () A60 P AB + =，于是 7 (|) 18 P B A =. 法二法二（缩减样本空间）第三次取出黑球，相当于前 2 次在 7 白 2 黑中取出 1 白 1 黑，故概率为 11 72 2 9 2C C7 A18 =. 1.61.6 从n双不同的鞋子中任取()nrr22只，求下列事件发生的概率： （1）没有成 对的鞋子； （2）只有一对鞋子. 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 3 - 【解析】【解析】 （1）从n双不同的鞋子中任取()nrr22只共有 2 2 r n C种取法， 没有成对的情况相当于先从n双中任取2r双，然后从每双中任取 1 只，共有 21122 22 2 rrr nn C CCC= =种取法，故没有成对的鞋子的概率为 22 2 2 2 rr n r n C C . （2）只有一对鞋子的情况相当于先从n双中任取 1 双，然后从余下的1n 双中任 取22r 双， 再从每双中任取 1 只， 共有 122112222 1221 2 rrr nnn C CCCnC = =种取法， 故 只有一对鞋子的概率为 2222 1 2 2 2 rr n r n nC C . 1.71.7 两人约定于 7 点到 8 点在某地会面， 试求一人要等另一个人半小时以上的概率. 【解析】【解析】设两人达到的时间分别为, x y，则7,8x y，令 ( , )|7,8x yx y =，A=“一人要等另一个人半小时以上” ，则 1 ( , )|( , ), 2 Ax yx yyx=，如下图所示： x y o 8 1 2 yx= 7 7 8 1 2 yx=+ 则 111 2 ( )1 222 ( ) ( )14 S A P A S = . 1.81.8 在区间中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率 为 . (0,1) 5 6 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 4 - 【解析解析】类似上一题，显然为 17 25 . 1.1.9 9 设随机事件，若互不相容，则 . 【解析解析】 . 1.101.10 已知两个随机事件满足，且，则 . 【解析解析】 ， 因为，则，故. 1.111.11 若，且，求 . 【解析解析】因为，故，于是 ()( )()0.9()P ABCP AP ABCP BC=. 又 ，故()0.7P ABC=. 1.11.12 2 已知， 1 ()() 16 P ACP BC=，则 事件,全不发生的概率为 . 【解析解析】，故，由加法公式： , 故. ,A B( )0.5P A =()0.8P AB=,A B ( )P B = ()( )()P ABP AP BP AB=+（ ） ()( )()0 80 50 3P BP ABP AP AB.=+=（ ） ,A B()()P ABP AB=( )P Ap= ( )P B = ()()1()P ABP ABP AB= 1 ( )( )()P AP BP AB= + 1( )( )()P AP BP AB= + ()()P ABP AB=( )( )1P AP B+=( )1( )1P BP Ap= = ABAC，( )0.9P A =()0.8P BC= ()P ABC= ABAC，ABCBC= ()0.8()0.8()0.2P BCP BCP BC= 1 ( )( )( ) 4 P AP BP C=()0P AB = A BC ()0P AB =()0P ABC = ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+ 111115 00 44416168 =+= 3 ()()1() 8 P ABCP ABCP ABC= = 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 5 - 1.11.13 3 已知，求. 【解析解析】 ，故. 1.11.14 4 已知且，则下列选项成立 的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】【答案】 （B） 【解析解析】由乘法公式，等式两边同乘以有 ，故应选（B）. 1.11.15 5 一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放 回，则第二次抽出的是次品的概率为 . 【解析解析】法一：法一： 设事件=“第 次抽出次品”由题意: 11 210 (), () 1212 P BP B=，应用全概率公式有 . 法二：法二： 由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，不放回抽样中第二次抽得次品的概率 与第一次抽得次品的概率相同，都是. 1.1.1616 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个 白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中 ( )0.4, ()0.5P BP AB=+=(|)P A B ()( )( )()0.4( )()0.5P ABP AP BP ABP AP AB+=+=+= ( )()0.1P AP AB= ()( )()0.11 () 1( )0.66( ) P ABP AP AB P A B P BP B = , 1)(0BP 1212 ()|(|)(|)P AABP ABP AB+=+ 1212 ()|(|)(|)P AABP A BP AB+=+ )()()( 2121 BAPBAPBABAP+=+ )|()|()( 2121 BAPBAPAAP+=+ )|()()|()()( 2211 ABPAPABPAPBP+= ( )P B () 1212 ()()P AABP ABP A B+=+ i Bi1,2,i = 1 212 12 (|), (|) 1111 P BBP BB= 11 21212 211021 ()() (|)() (|) 121112116 P BP B P BBP B P BB=+=+= 21 126 = 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 6 - 取出 1 个球，则这个球为白球的概率为 ；若已知取出的球是白球，此球属 于第二个箱子的概率为 . 【解析解析】 记， 则 由全概率公式，这个球为白球的概率为： 由贝叶斯公式得，当取出的球是白球时，此球属于第二个箱子的概率为： 1.1.1717 设三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率 等于，则事件在一次试验中出现的概率为 . 【解析解析】设在每次试验中出现的概率为，则 ， 解得 1.181.18 设随机事件BA,满足( )( ) 2 1 =BPAP，()1=BAP，则必有（ ） ,1,2,3 i BAii=从箱子中取出的是白球取的是第 个箱子 ()()()()()() 123123 11315 , 35628 P AP AP AP B AP B AP B A= ( )()()()()()() 112233 P BP A P B AP AB AP AB A=+ 11111553 353238120 =+= () ()() ()()()()()() 22 2 112233 P AP B A P A B P A P B AP AP B AP AP B A = + 11 20 32 111115 53 353238 = + AA 27 19 A Ap ()() 3 03 00 3 19 1101111 27 P AP AC ppp = = = 至少出现 次出现次 1 3 p = 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 7 - （A）=BA （B）=AB （C）()1=BAP （D）()0=BAP 【答案】【答案】 （C） 【解析解析】()()1()1 ( )( )()1P ABP ABP ABP AP BP AB+= = +=，故 应选（C）. 1.11.19 9 某考生做一道单项选择题，会做和不会做的概率分别为 0.8 和 0.2，且会做 的情形下做对的概率为 0.95，在不会做情形下做对的概率为 0.25，求该考生做对 该题的概率. 【解析解析】设A =“会做” ，B =“做对” ，则 ( )0.8,(|)0.95,(|)0.25P AP B AP B A= = =，于是 ( )( ) (|)( ) (|)0.8 0.950.2 0.250.81P BP A P B AP A P B A=+=+=，故该考生 做对该题的概率为 0.81. 1.201.20 设两两独立的三个事件CBA,满足条件：=ABC， ( )( )( ) 2 1 =CPBPAP，且() 16 9 =CBAP，则( )._=AP 【解析解析】由条件得 ()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC+=+ 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )P AP A P BP A P CP B P C= 2 9 3 ( )3 ( ) 16 P AP A=，解得 1 ( ) 4 P A =或 3 4 ，又因为( ) 2 1 AP，所以 1 ( ) 4 P A =. 【注注】这题是 1991-1 考研真题，题中条件“ 2 1 ”是多余的，这是因为 9 ( )() 16 P AP ABC+=，所以 3 ( ) 4 P A . 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 8 - 1.211.21 （1）进行伯努利试验，假设每次试验成功的概率为p，求第mn+次试验恰 好第n次成功的概率为_； （2）某人向同一目标独立重复射击，每次 射击命中目标的概率为(01)pp，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概 率为（ ） （A） 2 3 (1)pp （B） 2 6 (1)pp （C） 22 3(1)pp （D） 22 6(1)pp 【解析解析】 （1） 111 11 (1)(1) nnmnnm n mn m CpppCpp + =. （2） 1222 3 (1)3(1)C ppppp=，故应选（C）. 1.221.22 设事件,A B同时发生时，事件C一定发生，则（ ） （A）( )( )( )1P CP AP B+ （B）( )( )( )1P CP AP B+ （C）( )()P CP AB= （D）( )()P CP AB= 【答案】【答案】 （B） 【解析解析】因为事件,A B同时发生时，事件C一定发生，所以ABC，于是 ( )()P CP AB，而()( )( )()( )( ) 1P ABP AP BP ABP AP B=+，所以 ( )( )( )1P CP AP B+，故应选（B）. 1.21.23 3 设A与B相互独立，且( )0P A ，( )0P B ，则下列结论中一定正确一定正确的是 （ ） （A）A与B互不相容 （B）()( )P ABP A= （C）A与B相容 （D）()( ) ( )P ABP A P B= 【答案】【答案】 （C） 【解析解析】因为A与B相互独立，所以()( ) ( )P ABP A P B=，因为( )0P A ， ( )0P B ，所以()0P AB ，进而AB ，A与B相容，故应选（C）. 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 9 - 1.21.24 4 对于任意两个事件A和B，则下述命题正确正确的是（ ） （A）若，则,A B一定相互独立 （B）若，则,A B有可能相互独立 （C）若，则,A B一定相互独立 （D）若，则,A B一定不相互独立 【答案】【答案】 （B） 【解析解析】若( )0P A ，( )0P B ，则事件A与B互斥一定不独立，独立一定不 互斥，但是在没有此条件时互斥和独立两者没有必然的联系，故应选（B）. 1.251.25 将一枚硬币独立的掷两次，引进事件：= 1 A第一次出现正面，= 2 A第二次 出现正面，= 3 A正、反面各出现一次，= 4 A出现两次正面，则事件（ ） （A） 321 ,AAA相互独立 （B） 432 ,AAA相互独立 （C） 321 ,AAA两两独立 （D） 432 ,AAA两两独立 【答案】【答案】 （C） 【解析解析】由于相互独立必然两两独立，所以排除(A)和(B)（若(A)成立，则(C)也成 立，而这是单项选择题，故(A)不成立，(B)也不成立）. 显然 12 ,A A独立， 31212412 ,AA AA AAA A=+ =，因为 1313 1 ()() () 4 P A AP A P A=, 2323 1 ()() () 4 P A AP A P A=，又 12 AA与独立，故 (C)正确. 而 2424 11 1 ()() () 42 4 P A AP A P A=，故 24 AA与不独立，(D)错误. 1.261.26 已知, ,A B C为随机事件，A与B相互独立，( )1P C =，则下列事件中不相互不相互 独立独立的是（ ） （A）A,B,AC+ （B）A,B,A C （C）A,B,AC （D）A,B,AC 【答案】【答案】 （C） AB AB AB = AB = 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 10 - 【解析解析】由独立的性质，显然（A） 、 （B） 、 （D）均相互独立. 取C =，且( )01P A，( )0P B ，则 2 ()()( ) ( )( ) ( ) ()( ) ( )P AB ACP ABP A P BP A P B P ACPA P B=，故 A,B,AC不相互独立，故应选（C）. 1.21.27 7 设, ,A B C为三个随机事件，已知( )( )( )0 40 60 5P A. ,P B. ,P C.=，又 AB，A与C相互独立，则()()PA C B| ACB_=. 【解析解析】由AB得(),A C BA CAC ACBB= +=， 故 ()() ()|)(|) ( )0.6 P ACBP AC P AC B ACBP AC B P B = 0 4 0 51 0 63 . . =. 1.21.28 8 10 台洗衣机中有 3 台二等品，