飞行器结构动力学-第6章-工程振动中的数值方法

温丽华，西北工业大学航天学院飞机设计工程系飞机结构动力学讲师，西北工业大学工程振动中的第6章数值方法，工程振动中的第6章数值方法，飞机结构动力学，工程振动中的第6章数值方法，6.1概述，6.2结构动力特性分析，6.3多自由度系统响应分析，6.4有限元方法介绍。6.5子结构模态综合法介绍，6.6有限元软件介绍，6.7传递矩阵法，第6章工程振动中的数值方法，6.1概述，6.1概述，第6章工程振动中的数值方法。数值分析技术为结构的动力分析提供了强有力的保证，也为工程结构在各种复杂动力环境中的模拟和仿真提供了有效的工具。工程结构的动力分析主要包括两个方面：结构动力特性分析和结构动力响应分析。第六章工程振动中的数值方法，6.2结构动力特性分析，6.2结构动力特性分析，6.2.1特征值问题的性质，结构无阻尼自由振动方程，将简谐运动代入上述公式，我们可以得到，(6-1)，(6-2)，(6-3)，(6-4)，或写成，(其中，k和m分别是结构的刚度矩阵和质量矩阵。特征系统的一些基本特征。(1)如果K和M是对称的，并且至少有一个矩阵是正定的，那么特征值必须是实数，并且特征向量也可以是实向量。如果m是正定的，k是正定的或半正定的，那么所有的特征值都是正实数。6.2结构动力分析，(2)特征向量(或模态向量)与质量矩阵m和刚度矩阵k正交，即，归一化公式中的特征向量，即，(6-5)，(6-6)，6.2结构动力分析，上述公式称为归一化特征向量。公式(6-5)，(6-6)是，(6-8)，(6-9)，(6-7)，6.2结构动力分析，(3)瑞利商和特征值的极小极大性质，定义：对于任何x，得到第一阶特征值。从公式(6-8)和(6-9)中可以看出，当x是系统的某一阶特征向量时，存在6.2结构动力分析，(6-10)，(6-11)，(6-12)，(6-13)，(4)从公式(6-4)的两边减去的特征值的移轴性质具有另一种等价形式，或者在公式中写成，公式(6-4)和公式(6-15)具有相同的特征向量，但是特征值相差 (5)特征值的分离性，对角矩阵d中有I个负元素。如果有，6.2结构动力特性分析，和(6)位移展开定理，上述讨论是关于广义特征值问题的一些基本特征。 透彻理解这些性质对解决特征值问题非常有帮助。对于n维空间中的任何向量x，它可以根据模态矩阵展开，并且系数q可以根据以下公式确定：6.2结构动力特性分析，(6-17)，(6-18)，6.2.2迭代法，任何适当的初始向量x1，根据迭代格式，然后向量序列x1x2将收敛到相应的特征向量。向量迭代法也被称为幂法。它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适用于对称矩阵，也适用于非对称矩阵。6.2结构动力分析，(6-19)，对于任何向量，那么：根据迭代格式公式(6-19)，那么：因为当k增加时，xk1可能变得很大或很小，因此，在迭代过程中，有必要对迭代向量进行归一化，6.2结构动力分析，(6-20)，(6-21)，(6-22)，(6-23)，(6-24)，迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，但不会破坏收敛。根据特征值的平移轴性质，可以构造带平移轴的矢量迭代法。只要选择适当的轴位移量，迭代可以收敛到所需的特征对，并且可以加速收敛速度。6.2结构动态特性分析。在广义特征值问题中，如果质量矩阵M是对称且正定的，那么一定有一个非奇异矩阵。6.2.3转换方法。1.将广义特征值问题转化为标准特征值问题，可以得到标准特征值问题。因此，在上述公式中，前面乘以S-1，然后，在公式中有6.2结构动态特性分析，(6-28)，(6-29)，(6-30)，(2)。标准特征值问题的变换方法，常用的标准特征值问题的变换方法有雅可比法、吉文斯法和豪斯德尔法，这些方法在一般的矩阵代数教材中有详细的描述。这里我们只简单介绍雅可比方法。为了研究标准特征值问题，在K变换之后，有，6.2结构动力分析，(6-32)，雅可比方法是通过多次旋转正交变换对角化矩阵，并且相应的正交矩阵是，6.2结构动力分析，(6-33)，然后，当，6.2结构动力分析，(6-34)，如果在广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M被雅可比方法同时变换以获得矩阵M和矩阵K的公共主轴，则该方法Givens方法类似于雅可比方法，因为它也执行坐标旋转变换，但是它不对角化实对称矩阵a，而是仅三对角化它。Householdes方法也是一种将实对称矩阵转换成三对角矩阵的方法。对于给定的对称三对角矩阵，在矩阵被三对角化后，需要解决三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵的特征值比一般矩阵容易找到。QR法和Sturm序列二分法是常用的方法。对于标准特征值问题的三对角矩阵，通常使用Sturm序列二分法。通常情况下，标准特征值问题通过Householder holder方法和Lanczos方法转化为三对角矩阵。6.2结构动力分析，(6-40)，其特征值的行列式为，定义其零阶主子公式，6.2结构动力分析，(6-41)，(6-42a)，随后的主子公式为，P0，P1，P2，pn形成一个多