单一瓶颈路段之排队等候模式与零等候最佳收费结构

IV-17 第四章單一瓶頸路段之排隊等候模式與零等候最佳收費結構 本章之研究對象與背景有別於第二章所介紹之傳統道路擁擠現象，而是討論存在單一瓶頸路段之背景假設下，成群通勤車輛在瓶頸入口前大排長龍之交通現象。單一瓶頸路段之定義乃是一條道路中某一路段之路幅由寬變窄，或是某一路段之車道由多變少之情形，請參閱圖4.1。在此情況下決策者之目的是如何收取適當之等候費用以消除或減少車輛在瓶頸入口前排隊等候之時間。最早將瓶頸路段等候收費之問題提出來討論的開山鼻祖為Vickrey (1969)，但該研究沉寂一段時間後，於西元1986年起再度受到交通經濟學者之重視，刊登於知名國際期刊之相關文獻如雨後春筍般紛紛出籠：如De Palma and Arnott (1986), Cohen (1987), Newell (1987), Braid (1989), Arnott, et al. (1990a, 1990b, 1993), Tabuchi (1993), Laih (1994), Chen and Bernstein (1995), Yang (1997, 1998)等。其中在探討單一瓶頸路段之等候收費架構方面，最具代表性之著作乃為Braid (1989)，Arnott, et al. (1990a)及Laih (1994)。前二者不約而同地推導出零等候最佳收費以完全消除通勤者在瓶頸入口前之總排隊等候時間。零等候最佳收費乃是隨著通勤者到達收費入口之時間不同而收取不同之等候費。因該等候收費結構乃為連續變化之收費金額，實務上之可行性可能不高。有鑑於此，Laih於1994年發展出一套階梯式等候收費結構以做為零等候最佳收費之替代方案。階梯式等候收費結構雖無法消除所有車輛在瓶頸入口前之總排隊等候時間，但其最大之優點即是決策者可在數個不同等候程度之時段中，透過不同金額的等候收費方式以達成各種不同之等候減少效果。因此，政府或相關單位在制定瓶頸路段等候收費時將有更多的選擇空間。有關階梯式等候收費之具體內容將在下一章中詳細敘述。本章考慮之研究背景為僅有一個出入口之瓶頸路段，在早上通勤尖峰時段中，該瓶頸路段已處於容量飽和之狀態，且成群通勤車輛於瓶頸入口前排隊等候而造成時間延滯之現象。就形成原因而言，當到達瓶頸入口前之每小時車流量大於該瓶頸路段之容量時，則會在瓶頸入口前形成排隊等候之現象(但是如車禍或是施工等因素而造成瓶頸路段容量減少而形成排隊等候之情形則不在討論範圍內)。有關單一瓶頸等候模式有如下之假設：(1)有一群固定人數之通勤者，他們的單位時間價值皆相同，且依通勤成本最小之原則選擇其出發時刻；(2)等候收費前通勤者之通勤成本除了排隊等候時間成本(queuing time cost)以外，尚包括比工作開始時刻早到或晚到之時程延滯成本(schedule delay cost)，且以上皆為線性函數；(3)通勤者除了通過該單一瓶頸路段以外，別無其他通勤途徑；(4)除了該瓶頸路段以外，其餘皆是寬廣之道路而無排隊等候之虞，故在本模式中將不排隊等候之通勤時間視為通勤者之固定成本，不影響其出發時刻之決定；(5)每位通勤者皆自行開車通勤(並無共乘之情形)。本模式之主要符號簡介如下：N ： 必須通過該瓶頸路段之通勤者車(人)數；s ：該瓶頸路段之車容量(車數/小時) ;t ： 通勤者之出發時刻；： 所有通勤者共同之工作開始時刻；：瓶頸入口前車輛排隊等候之開始時刻；： 瓶頸入口前車輛排隊等候之結束時刻；： 等候收費前可以準時到達工作場所之出發時刻；：通勤車輛於瓶頸入口前排隊等候之時間長度；：每小時之等待成本；：比工作開始時刻早到之時間長度；：每小時之早到時間成本；：比工作開始時刻晚到之時間長度；：每小時之遲到時間成本；：開車通勤者之通勤成本。根據前述瓶頸等候模式之假設(4)，我們可以想像當這些通勤者一出發後隨即到達該瓶頸路段之入口前參與排隊等候之過程，而一進入瓶頸入口後因不再有排隊等候之現象發生，故可視其馬上到達工作場所。據此，吾人可得早到、準時以及遲到等三種不同型態之工作場所到達模式(arrival patterns at work)：若(早到)，則且 (4.1)若(準時)，則 (4.2)若(遲到)，則且 (4.3)圖4.2以數值例描繪出(4.1)(4.3)等三種不同型態之到達模式。提早到達模式中之與分別為15分鐘與30分鐘；準時到達模式中之為30分鐘，但與均為零；延遲到達模式中之與則分別為13分鐘與3分鐘。接著考慮等候收費前之均衡狀態。由於每位通勤者皆是在總通勤成本最小之原則下決定其出發時刻，故可得以下之目標函數： (4.4) 根據前述瓶頸等候模式之假設(2)可知為線性函數。接著將(4.1)(4.3)代入(4.4)後，則可表示成之函數如下： (4.5)(4.6)(4.7) (4.5)、(4.6)及(4.7)代表了早到、準時以及遲到等三種不同型態到達模式的通勤成本。因為每位通勤者皆追求最小之通勤成本，故當每位通勤者在所有出發時間內之通勤成本皆相同時方能達成均衡(即均衡之條件是)。如此，(4.5)與(4.7)式達成均衡之條件為： (4.8)(4.9)因(4.6)式乃是指通勤者在(一個時間點)出發時所對應之TC值，故無法對(4.6)式微分。根據 Small (1982)對美國舊金山灣地區之572個通勤者所做之調查結果，顯示通勤者之單位時間成本,與的大小順序為 (4.10) 由(4.10)式可知(4.8)與(4.9)式分別為正值與負值。圖4.3描繪出通勤者在均衡狀態下所有出發時刻所對應之排隊等候的時間長度 (即, )。其中在早到出發區間與遲到出發區間之斜率分別為與。因圖4.3中假設 ，故在該圖中為頂點偏左之三角形。根據 之關係可得以下二式：(4.11)(4.12)另外，因為該瓶頸路段每小時之車容量為 s ，故在時段中通過該瓶頸路段之通勤者人數(N)為 (4.13)由(4.11)(4.13)，可求得擁擠收費前均衡狀態下之 及等三個時間解如下：(4.14) (4.15) (4.16)從(4.14)(4.16)之結果可知以下時間參數之先後順序為： (4.17)接著利用(4.8)、(4.9)及(4.14)(4.16)之關係式，可求得圖4.3中時間帶內各出發時刻之。因為全體通勤者在均衡狀態下之所有出發時刻的通勤成本皆相同，故可將前面所求得之 、或的值分別代入(4.5)、(4.6)或(4.7)式中加以驗證(請注意)。驗證之結果可知等候收費實施前每位通勤者之均衡通勤成本()為： (4.18)圖4.4描繪出通勤者在等候收費前所有出發時刻()之通勤成本(含排隊擁擠時間成本以及時程延滯成本)皆為之情形。圖中左邊以及右邊之陰影部分分別為早到以及遲到之時間成本，而中間之白色三角形部分則是排隊等候時間成本。排隊等候時間成本在早到出發時段以及遲到出發時段之斜率分別為以及。在求得之解後，將探討如何在均衡之狀態下制訂出零等候最佳收費(the optimal time-varying toll or the optimal fine toll)。零等候最佳收費之定義是藉由不斷變動收費金額之方式來消除全體通勤者之排隊等候時間。為了達成最佳之通勤狀態(即瓶頸入口前不發生任何排隊等候之現象)，且等候收費後不增加通勤者原來的均衡通勤成本(如此將可使反對等候收費之阻力降至最低)，必須對通勤者徵收零等候最佳通行費，且收費後仍不改變其收費前之均衡通勤成本()。故在該等候收費體制下會使得(4.5)(4.7)中之，且。根據此一結果，可求得零等候最佳收費如下： (4.19) (4.20) (4.21)(4.19)(4.21)之 t 亦可視為通勤者到達工作場所之時刻。這是因為在零等候最佳收費體制下，瓶頸入口前排隊等候之現象已不復存在。如圖4.5所示，因，故零等候最佳收費永遠是一個頂點偏右的三角形；且其早到以及遲到出發時段分別為以及。數值分析此處將舉出一些數值例來說明本章中所導出之結果。假設有3600個通勤者(N)，每人開一部車，且這些人都必須通過一個已達容量飽和之瓶頸路段後方可到達其目的地。該瓶頸路段之容量(capacity)為s =1800輛/小時。由(4.13)式可知他們的排隊等候時間長度(即排隊等候開始至結束之時段)將持續兩個小時(即N/s = 2)。又假設這些通勤者之工作開始時刻均為上午 9：00(= )，且他們的排隊等候、早到以及遲到時間成本均分別為$6.4/小時、$3.9/小時以及$15.21/小時。、及這三個數值是根據Small (1982)對美國舊金山灣地區之572個通勤者所作之調查結果。根據以上之數值，我們可算出在等候收費前均衡狀態下之排隊等候開始及結束時刻分別為上午7:24:29（= 7.408小時 =)及上午9:24:29（= 9.408小時 =)。此外，所有通勤者在該排隊等候時段內出發之均衡通勤成本均為$6.21(=)。由於在以及出發之通勤者通過該瓶頸路段時並不會產生任何排隊等候之時間成本，故其必須負擔最高之早到時間成本以及最高之遲到時間成本，且均為$6.21。另外，在8:01:48（= 8.03小時 =)出發之通勤者雖可在9點整準時到達工作場所，但必須承擔最高之排隊等候時間成本(即$6.21)。而出發時刻在、及以外之通勤者則須負擔總和為$6.21之排隊等候及早到(或遲到)之雙重成本。以上所求出之、及等時間點之數值均是以小時為單位之出發時刻(以凌晨零點起算)。 由於零等候最佳收費是隨著通勤車輛進入瓶頸入口時間之不同而徵收不同的金額，以消除全體通勤者在瓶頸入口前之總排隊等候時間，故在該收費體制下之所有出發時刻即為到達工作場所之時刻。在7.408,9.0)以及(9.0,9.408這兩個時段出門之通勤者所分別承擔之早到以及遲到時間成本均為$6.21-；而在工作開始時刻(上午9:00)出發之通勤者則必須負擔最高之等候費(即$6.21)。 本數值分析之圖形請參閱圖4.6。其中各線段之定義如下: (A1)：等候收費前早到時間帶之均衡排隊等候時間成本； (A2)：等候收費前遲到時間帶之均衡排隊等候時間成本； (a1)：等候收費前之均衡早到時間成本； (a2)：等候收費前之均衡遲到時間成本； (B1)：零等候最佳收費下早到時間帶之收費金額； (B2)：零等候最佳收費下遲到時間帶之收費金額；(b1)：零等候最佳收費下之早到時間成本； (b2)：零等候最佳收費下之遲到時間成本。 圖4.6中之總排隊等候時間成本為$11178，等候收費前早到及遲到之總時間成本分別為$3476.36及$7701.64。等候收費前在7.408,8.03)這個時間帶內之排隊等候及早到時間成本之直線斜率分別為9.98(即)，而在(8.03,9.408這個時間帶內之排隊等候及遲到時間成本的直線斜率分別為4.50(即)。另一方面，零等候最佳收費之總收入(=$11178)恰等於收費前之總排隊等候時間成本，且在零等候最佳收費下之早到時間帶7.408,9.0)的等候收費金額與早到時間成本的直線斜率分別為3.9(即)，而另一邊遲到時間帶(9.0,9.408之等候收費金額與遲到時間成本的直線之斜率分別為15.21(即)。請根據以上數據回答以下問題： (1)在不收任何道路等候費之均衡狀態下，出發時刻為上午8:00與8:30之排隊擁擠時間長度為何？ (提示：此處t = 8.