圆的标准方程用

生活中的圆,圆的标准方程,复习引入,问题：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？,平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆,这个定点是圆心，这个定长是圆的半径,y,O,M(x,y),x,C,(a,b),求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？,（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；,（2）写出适合条件p的点M的集合P=M|p(M)；,（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；,（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；,（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,其中步骤(1)(3)(4)必不可少,问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？,x,y,O,C,M(x,y),(x-a)2+(y-b)2=r2,设点M(x,y)为圆C上任一点，则|MC|=r。,r,(a,b),两边平方得：,x,y,O,C,M(x,y),已知圆的圆心C(a,b),半径r则圆的标准方程是：,知识点：一、圆的标准方程,二、求圆的标准方程的方法1、设圆的方程2、找出三个关于a、b、r的条件3、利用条件列出方程组4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程中,三、圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小,1.说出下列圆的方程：(1)圆心在原点,半径为3.(2)圆心在点C(3,-4),半径为7.(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).,2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1)(x+7)2+(y4)2=36,(2)(xa)2+y2=m2,(2)x2+（y+2）2=1,例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。,M,例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。,当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.,例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。,P(x,y),由勾股定理：OM2+MP2=OP2,解法二（利用平面几何知识）：,在直角三角形OMP中,x0 x+y0y=r2,例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。,解法三（利用平面向量知识）：,x0 x+y0y=r2,x2+y2=r2,过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2,练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；,待定系数法,解：设所求圆的方程为：,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上,圆的方程为,例2ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。,巩固：,一、已知圆的圆心C(a,b),半径r，则圆的标准方程是：,圆的圆心坐标是（a,b），半径是r,1.说出下列圆的方程：圆心在点C(-3,4),半径为9.,2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(x+6)2+y2=25,三、圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小,二、求圆的标准方程的方法1、设圆的方程2、找出三个关于a、b、r的条件3、利用条件列出方程组4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程中,例3己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,圆经过A(1,1),B(2,-2),解:设圆C的方程为,圆心在直线l:x-y+1=0上,待定系数法,解:A(1,1),B(2,-2),例3己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.,即：x-3y-3=0,圆心C(-3,-2),练习.根据下列条件，求圆的方程：求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+3=0上的圆的标准方程。,知识探究：点与圆的位置关系有几种？,三种：点在圆内、在圆上、在圆外,知识点：四、点与圆的位置关系点在圆内、在圆上、在圆外,M,O,|OM|r,点在圆内,点在圆上,点在圆外,在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系呢？,若(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,若(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,设点M，圆:,知识点五：判断点与圆的位置关系的方法：,把点M的坐标代入圆的方程,例：写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上。,解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：,把的坐标代入圆的方程，可知：,典型例题,点N在圆上，点M在圆外，点A在圆内,例3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m，拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。,解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。,析：(x-a)2+(y-b)2=r2,变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。,x2+(y+10.5)2=14.52,答：支柱A2P2的长度约为3.86m。,变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。,变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。,x2+(y+10.5)2=14.52,1.说出下列圆的方程：（1）圆心在点C(-4,6),半径为5.判断点A（-3，2）与圆的位置关系（2）圆心在点C（0,-3),半径为4.判断点B(4，3)与圆的位置关系,2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,（1）(x+2)2+y2=9（2）x2+（y+3）2=7,3.根据下列条件，求圆的方程：（1）求过两点A(0,2)和B(1,3),且圆心在直线x-y-1=0上的圆的标准方程。（2）已知圆过点P(1,-1),圆心在y轴上还在直线x+y-2=0上，求圆的方程。(3）设A（3，-5），B（-1，1），求以线段AB为直径的圆的方程。,4、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径的圆的方程.,圆的方程为:(x-5)2+(y-6)2=10,解：AB的中点（5，6），|AB|=所以圆心（5，6），半径r=,5、求圆心在（-1、2），与y轴相切的圆的方程,练习,(x+1)2+(y-2)2=1,(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4,练习,6、求圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2的圆的方程.,练习,7、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.,解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以|31-43-6|15所以圆的方程为,r=,=,=3,(x-1)2+(y-3)2=9,5,作业：,1、求圆心在（2、-3），与x轴相切的圆的方程2.求过两点A(0,2)和B(1,3),且圆心在直线x-y-1=0上的圆的标准方程。3、求以C(2,1)为圆心，和直线3x-4y+8=0相切的圆的方程。,练习,2.根据下列条件，求圆的方程：（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。,1.点(2a,1a)在圆x2+y2=4的内部,求实数a的取值范围.,(2)x2+y24x+10y+28=0,特殊位置的圆的方程:,圆心在原点:,x2+y2=r2(r0),圆心在x轴上:,(xa)2+y2=r2(r0),圆心在y轴上:,x2+(yb)2=r2(r0),圆过原点:,(xa)2+(y-b)2=b2(b0),圆心在x轴上且过原点:,(xa)2+y2=a2(a0),圆心在y轴上且过原点: