2003年乙组高教杯获得者论文

第 2 0 卷第 7 期 2 0 0 3 年 1 2月 工 程 数学 学 报 J OUR NAL O F E NGI NE E R I NG MA TH E MATI C S V 近似求出了 速度为1 . 5 米/ 秒的 选手的前进方向应左偏3 1 . 9 0 ， 他的最好成绩约为1 5 分1 0 秒; 根据此模型 得出了1 9 3 4 年和2 0 0 2 年成功完成赛事的最低速度及可以选择的前进角度， 较好地解释了两次比 赛成功者比 例相差悬殊 的 原 因 ， 进 而 得 出 了 能 够 垂 直 游 向 对 岸 的 条 件 为 。 二 u YX 在模型 1 的基础上， 建立了江水速度分段变化的模型a， 回答了题目的间题 3 -选手的前 进方向为靠近两岸2 0 0 米之内时， 左偏 3 6 . 1 0 ， 在江心区域左偏 2 8 . 1 , ; 它的最好成绩大约为 1 5 分 4 秒 进一步， 我们又完成了江水流速按区域连续变化的模型班和模型W， 并用离散的方法求解了 该模型。根据运算结果， 为选手提供了在垂直距离上每前行 1 0 0 米所应调整的角度， 求得最优路 径为一“ 反S 型; 得出了 两侧偏角大， 中间偏角小” 的行进方向基本原理。 : 抢渡长江; 数学模型; 最优化; 速度 : A MS ( 2 0 0 0 ) 4 9 N 9 9中图分类号: 0 2 2 4文徽Wi 0 T 5: A 问题重述( 略) 主要变量及其符号 v: 游泳者的平均游泳速度( 速率) ; u: 水流速度( 速率) ; X: 起点在对岸的投影点到终点的距离; Y: 两岸间的垂直距离; Y : 河流垂直岸边方向第 : 段的宽度; 万方数据 工程数学学报 第 2 0卷 “: 水流在第 i 段的速度( 速率); 0: 游至垂直岸边方向 第 i 段时， 与垂直岸边方向 左偏角度; t: 游泳者游经第 云 段所需时间; t : 游泳者从起点到终点所需的总时间; 几: 将江面宽度平均分成 n份， 每份的长度。 3 模型建立与求解 3 . 1 模型I ( 水流恒速模型 模型假设 1 ) 在游泳过程中， 游泳者的 速度可以 保持恒定不变; 2 ) 竞渡区域内各点水流速度相同; 3 ) 江面宽度保持不变， 即两岸是保持平行的; 4 ) 游泳过程中游泳者之间互不影响。 模型建立与求解 若游泳者的游泳速度为v， 则垂直于对岸的分速度 V I =v c o s o , 平行于两岸方向的分 速度。 : 二一v s i n a 。于是游泳者沿平行于水流方向的 合速度 V = u一二 s i n g o 因为江面宽度为 Y, 假设游泳者游进方向不变， 则游泳者游到对岸所需时间为 Y t , =石 毛 石 丽 ( 1 ) 游泳者平行于两岸前进的距离为 L=t l ( u一v s i n O )( 2 ) 此时游泳者与终点的距离为 L 二X一L。若 L 2 . 1 9 2 4 ， 即只有速度达到2 . 1 9 米 / 秒以上时， 选手方能一直沿垂直岸边的方向成功游到对岸。而绝大多数选手的速度达不到 或不能保持2 . 1 9 米/ 秒的水平， 因而一直垂直游向对岸不能成功到达终点口 2 0 0 2 年和1 9 3 4 年抢渡比赛成功率的显著差别， 可以用模型工 较好地解释: ( 1 ) 从速度要求来比较 针对2 0 0 2 年， 若游泳者最终游出的轨迹为直线， 则 v C os 一二二 1 . 8 9一 vs i n O1_ 1 6 01 0 0 0 解得 低。 5 4 8 1 v=2 5 0 0 c o s O + 2 9 0 0 s i n O 容易求得此时 。的最小值为1 . 4 4 ( 米/ 秒) 。 同理， 针对1 9 3 4 年有 1 0 9 6 2 v=2 4 3 1 5 c o s O +5 8 0 0 s i n 6 求得此时v的最小值为0 . 4 4 ( 米X 1 ) 0 两次竞渡对速度的要求2 0 0 2 年要明显高于 1 9 3 4 年， 因此成功者的比例自然会明显降 对速度的不同要求， 是导致两次比赛到达终点者比例不同的一个主要原因。 ( 2 ) 从可选择的游泳角度(0的取值范围) 来比较 表1 和表2 分别是利用依据求出的2 0 0 2 年和1 9 3 4 年不同速度水平下可以到达终点的 6的取值范围 表 1 2 0 0 2 年角度界限 表 2 1 9 3 4年角度界限 速 定 ( 米 / V ) 6 下界 ( 度 ) 件界 ( ) I) 0 上、 下 界差( 度) 1 . 4 54 0. 15 8. 11 8. 0 1. 5 0 3 1 9 6 6. 6 3 4 . 7 1 . 5 5 2 6 : 7 1 . 8 4 5 . 1 1. 6 0 2 2 7 7 5 . 8 5 3 . 1 速 度 ( 米/ 秒 ) B 下 界 ( 度 ) 6 上 界 ( 度 ) B上 、 下 界差( 度) 1. 4 5一5 8. 98 5. 81 4 4. 7 1 . 5 0 j 一 5 9 6 8 6. 4 一 1 4 6 . 0 1. 5 5一6 0. 2日 6. 9 1 4 7 . 1 1. 6 0一6 0. 7 8 7 . 5 j 1 4 8 “ 由两表对比可以看出， 2 0 0 2 年达到终点的角度变化范围大约在2 0 -5 0 度之间， 而1 9 3 4 年达到终点的角度变化范围大约在 1 4 0 度以上， 这一巨大差别是导致两次抢渡选手成功到 达终点比例差距很大的另一重要原因。 3 . 2 模型II( 水速分段变化模型) 在模型1中， 我们假设河流中各点水的流速是相同的， 这显然与实际不相符。为此， 我 们将模型工中的假设2 改为: 万方数据 工程数学学报 第 2 0卷 2 ) 各段水流速度不同， 但每段的速度是恒定不变的， 如题设 (一 :一 m /s,Om y 200mm /s,200m y 960m 其他假设不变， 则可建立以下模型: v s i n O) 了一人.lles.es 占乙 S m in 艺t ， 一艺 一 Y ; V MS 优 X=艺t ; ( u ; - Y一艺 Y , 一 晋 B ; 晋 = 1 , 2 , - - - 。 n 其中 t ; v c o s 0 为游泳者游经第: 段所需时间t j u ; v s i n O ) 为游泳者游经第 i 段时沿岸 边水平方向前进的距离。 本问题将江水分为3 段， 根据模型可得 !|习十 m in Y ,+Y 2+ 一 .Y 3 1 、- u, ul v5 i i i v2 vs m o3) X = Y = 艺: ( 。 、 一 。 s i n O ) Y , +Y 2 +Y 3 一 号 二 “ 三 晋 = 1 , 2, 3 由于两岸附近的水流速度相同， 因而游泳者在这两段的 游泳方向 应该是相同的。 将 Y , =Y 3 二 2 0 0 , Y 2 = 7 6 0 , u ， 二 1 . 4 7 , u 2 = 2 . 1 1 , 。= 1 . 5 代人模型， 用G I N O软件解得 6 , =0 3 = 3 6 . 1 0 , 0 2 = 2 8 . 1 0 , t = 9 0 4 ( 秒) = 1 5 分4 秒 再讨论其游进路线。 游泳者沿岸边及垂直两岸方向的速度分别为v 2 =u 一二i n 氏和。 ， =v c o s o， 其在沿 岸边及垂直两岸方向的瞬时状态为 v e t=( u 一v s i n 0 , ) t , v i i=( v c o s 0 ; ) t ( 5 ) y= 将。 1 = 1 . 5 , 民= 3 6 . 1 0 , 0 2 = 2 8 . 1 0 , t = 9 0 4 代人式( 5 ) ， 可得游进线路如图1 0 实际中选手中之间的速度差异是比较大的， 为此我们研究速度在 1 . 3 5 - - 1 . 6 5 米/ 秒之 间不同水平下最优游进方向及最短时间。将不同的速度值代人模型II， 利用G I N O软件计 算结果见表3 0 由见表 3可以看出: 1 ) 游泳者的速度越慢， 其游进的角度越大， 而且在不同流速区域内B 的变化也越大。 2 ) 水流速度大的区域， 偏角相应减小。 3 ) 当游速大于1 . 5 米/ #U后， 总用时变化减缓。这表明， 对于高水平选手来说， 游泳 的方向对成绩至关重要。 万方数据 第 7 期江河竟渡的优化模型 表3 不同速度水平下液佳角度一最少用时 速 度 ( 米 渺) 0 , ( 度)0 2 ( 度)最少用时 1 . 3 56 5. 73 8. 62 4 分0 1 秒 1 . 4 0 6 0 . 5 3 5. 0 一2 1 分5 3 秒 1 . 4 54 5. 0 3 2 . 6 1 6 分 5 2 秒 1 . 5 0 巧分 0 4秒 1 . 5 5 2 9 . 7 2 4 . 3 1 3 分 5 5 秒 1 . 6 0 2 4 . 9 1 3 分 0 5 秒 1 . 6 5 2 1 . 0 1 8 . 3 1 2 分2 5 秒 朋 即水 it 段 不 蛛以路一 3 . 3 模型1u ( 水流速度连续变化模型) 一 我们可以将模型Q的假设2 进一步改进为 2 0 ) 设水速随着其与岸边的垂直距离y 连续变化， 记为v ( y ) 。如题中假设 v ( .v ) 2. 2 8 乏 丽- Y + 2 . 2 8 y, 湍( 1 1 6 0 0二，兰2 0 0 加0Y W Y / X ) . O n t h e b a s i s o f M o d e l I , Mo d e l I I i s s e t u p t o a s s u m e t h a t t h e f l o w r a t e o f t h e r i v e r c h a n g e s i n s e c t i o n s - T h e a n g l e i s a t 3 6 . 1 d e g r e e s w i t h i n 2 0 0 m e t e r s f r o m t h e t w o s i d e s a n d 2 8 . 1 d e g r e e s i n t h e m i d d l e . T h e b es t re - s u l t i s a b o u t 1 5 mi n u t e s a n d 4 s e c o n d s . F in a l ly , s e a s u p t h e M o d e l 班a n dW w i t h f lo w r a t e s o f t h e r iv e r c o n t in u o u s ly c h a n g i n g , a n d s o lv e s t h e s e Mo d e l s b y d is c r e t e m e t h o d s . T h e n , p r o v i d e s t h e d i r e c t io n s t h a t s h o u l d b e r e a d j u s t e d e v e r y 1 0 0 me t e r s t o t h e s w i m m e r s . T h e o p t i m u m r o u t e is a r e v e r s e d S . T h e b a s i c p r