2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (2).pptx

一二维形式的柯西不等式,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点二维形式的柯西不等式,(a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何？,答案,答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考2,当且仅当ab且cd时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?,答案当且仅当adbc时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考3,若向量(a，b)，向量(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？,答案,(1)二维形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)，当且仅当adbc时，等号成立.,梳理,(acbd)2,|acbd|,|ac|bd|,(a，b，c，dR)；,(a，b，c，dR).,(2)柯西不等式的向量形式定理2：设，是两个向量，则，当且仅当是，或存在实数k，使k时，等号成立.,当且仅当三点P1，P2与O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有,零向量,|,事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,证明a1，a2，b1，b2R，,证明,(a1a2)2.,利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.,反思与感悟,证明,证明,(x1y1)2(x2y2)20，,(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.(2)此类题也可以用三角不等式，把ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可.,反思与感悟,证明,将上面三个同向不等式相加，,类型二利用柯西不等式求最值,例3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.,解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，,解答,利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,反思与感悟,跟踪训练3已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值.,解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.,解答,当堂训练,2,3,4,1,答案,5,1.已知xy1，那么2x23y2的最小值是,解析,2,3,4,1,5,2.已知a0，b0，且ab2，则,解析(a2b2)(1212)(ab)24，a2b22.,答案,解析,2,3,4,1,5,(12)29，,9,最小值为9.,解析,答案,2,3,4,5,1,4.设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为.,答案,解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.,解析,当且仅当anbm时取等号.,2,3,4,5,1,5.已知a2b21，求证：|acosbsin|1.,证明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acosbsin)2，|acosbsin|1.,证明,规律与方法,1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原型，进行多角度的尝试.2.