车灯灯丝长度优化设计的数学模型和数值模拟

第2 o 卷 第5 期 工 程 数 学 学 报 0 0 3 年。 3月 J OURNAL OF ENGI NEERI NG MATHEMATI CS V0 1 2 0 No 5 Ma r 2 0 0 3 文 章 编 号 ： 1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 3 ) 0 5 0 0 6 5 0 6 车灯 灯 丝长 度优化设 计的数学 模 型和数值模拟 谭 永 基 ( 复旦大 学数 学 系 ， 上 海 2 0 0 4 3 3 ) 摘要 ： 本文 对在 车灯反 射光 满足 一定 设计规 范 的前提下 优化 车灯 灯 丝长 度 的 问题 建 立 了基 于 光 线跟 踪 和基 于反 射 点 轨迹 分析 的两类 优化 模型 ， 并对 模型 的 数值 模 拟 和数 值求 解 进 行 了讨 论 。 本文 还 对 出 现 的其 他 模 型 进行 了评 述 。 关键词 ： 数学 模型 ； 线光 源 ； 数值模 拟 分类 号 ： A MS ( 2 0 0 0 )4 9 K 3 5 ； 7 8 A 5 5 中图分 类号 ： 0 2 2 4 ； 0 2 9 ； T M9 2 3 0 2 文献 标识码 ： A 1 问题 的 提 出 为保 证汽车夜 间行 驶的安全 ， 要求 汽车的车灯能 照亮汽 车行驶 正前 方一定距 离 内的一 定宽度范 围 ， 但 为了节省能源 ， 这一宽度范 围不必太大 ( 沿宽度 方 向有 一定 衰减 率 ) 。 各类 车 灯 的工业设 计规范正是 据此 而制定 的。 由于车灯 的照 明主要靠反 射光 ， 又考虑到汽车通常的 速度 ， 我们采用 的设计 规范 为 ， 在 水平放置的车灯 的反射 面焦点 F点正前方 2 5米 处( A点 ) 放置一个测试屏 ， 与 垂直 ， 在该 测试屏 上过 A点 引出一条 与地 面相 平行 的直线 ， 在该 直 线 A点 的同侧取 B点 和 c点 ， 使 A C=2 A B =2 6米 ， 要求在测试屏 上 B点与 c点的反射光 强度分别超 过 2 H 和 日， 其 中 日表示某一额定的光强度 。 我们考察 的汽车车灯 的形状 为一个水平放置 的旋转抛 物 面 ， 其开 lZ l 半径 为 3 6毫米 ， 深 度为 2 1 6毫米 ， 焦 点离开 l Z l 平 面的距离为 6 6毫米 。 该车灯安装在 汽车 的头部 ， 对称轴 指 向 水平正前方 。 经过 车灯 的焦点 F， 在与对称轴相垂 直的水平方 向对称地放 置长度为毫米且均 匀分布 的线光源 。 记线光 源的总功率为 ， 在测试 屏上 B与 c点 的反 射光强 度可 分别记 为 ( f )与 ( f ) ， 设计规范 可表示为 B( f ) 2 H， h c ( f ) 日 现在 问题就是 求出最优 的线光 源长度 ， 满足此 规范并使 功率 最小 。 不难看 出， 日可取为 1 ， 在 求得最小的 后 ， 再乘 以 日 即可 。 这样一来 ， 问题就归结 为 i ；：+ ； l ；， ； ， ?。 j ， ， ： 日 量 i i i 净：交 j 毫 宣 葺 ， i j 争 ：一 ， ?日 鱼 1j氢 一 ， 维普资讯 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 ，ml n 1 0 ， 1 o 1 s t h 口 ( 1 ) W 2 h c ( 1 ) W 1 2 反射 光 线 的方 向 建立 坐标 系如下 ， 取车灯旋转抛物 反射 面的顶点为原 点 0， O A为 Z轴方 向 ， Y轴平行于 灯丝 的右手坐标 系如 图 1 所示 。 以毫米为单位( 下同) ， 由所 给信息不难求 出车灯反射面方程 为 。： ， 焦 点 坐 标 为 ( 0， 0， 1 5 ) 。 位 于点 e( o， W， 1 5 )的点光 源发出的光 线经反射面上 一点 Q反射 出去 ， 设反射 点的坐标 为 Q( ， y， ) ， 若记入射 向量为 ， 该点反射面 外法 线方 向为 ， 不难 得到反 射 向量 满 足 + 2 ： 。一 T 6 记 ： 未 +多， 由 ： ( ， Y W， F 2 6 0 1 5 ) b = ( x 1 3 0 ， y 3 0 ，一1 ) 从 而 得 占 ： ( c ， c ， c )的 表 达 式 2x y w 矗丽 c = w( 2 y 2 2 r + UU r 4 -1 8 0 0r 一 3 6 0 0wy 4- 81 1 3 0 0 0 一 L ， l 奎 I 1 g - # t 光 线 3 反 射 面 上 面 元 受 点 光源 照射 的 能量 为研 究反射面上 一个面元反射一个点光 源发 射 的光强度 ， 我们 首先考 察该 面元受 点光 源照射的光强度 。 由于光强度 正 比于功率 ， 若考察 单位 时间 ， 我们 可 以研究 单位 时间 内光 源 发射到该 面元 的能量。由几何 光学 知识 ， 距离功率 为 1 个 单位的点光源 P为尺的点 Q附近一 面积微元 d S单位 时间受 该点光源照射 的能量为 它对点光源所在 位置所张 的立体 角 ，即 dS 其 中 卢为 P Q连线与面积微 元法线的夹角 。 于是 ， 若旋转抛 物面反射点 的坐标为 Q( ， Y， 。 ) ， 则具 有功 率 d N 的位 于点 的点光源单 位 时间照射 到 Q点附近 的旋转抛 物面上 的面元 d S能量为 d s 维普资讯 第 5期 车灯 灯丝 长度 优化 设计 的数学 模 型和数 值 模拟 6 7 其 中 P Q = +( Y一 ) +( r 2 6 01 5 ) 而 为 P Q连线 与旋转抛物 面在 Q点处法线 的夹角 ， 所 以 r 2 + 4 5 0 一 yw c o s p = = = 一 P Q T 9 0 0 其 中 r = + Y 。 4 光 线 跟踪 模 型 设线光源的长度 为 ， 功率为 1 。 将光源分为每段长 的 等分 ， 每段 光源可视作 一个功率 为 1 M 的 点 光 源 。 该 点 光 源 发 射 的 光 可 离 散 为许 多 条 光 线 ， 这 些 光 线 中的 部 分 会 被 抛 物 面 反 射 出去 ， 在测试屏 点 ( 或 c点)附近取一个小领域 ， 跟踪这 些光线 ， 将 反射到此领域 中的光 线 所 具 有 的 能 量 叠 加 并 除 以 小 领 域 的 面 积 ， 即 为 点 ( 或C 点 )处 的 光 强 度 h ( Z ) ( 或 h ( Z ) ) 。 反射 离散光线可用下述方法 产生 ： 1 )将反 射面进 行剖 分 ， 例 如用 柱 面坐标 ， 对径 向 ， 环 向和高度 进行等分 ， 将 反射面 分成很 多小面元 。 2 )将 面元 中心 点与 光源 的连 线作 为该光 源 发 出的光线 。 这些 反射光线反射 到测试屏 的位置可 由第 2节 的方法 计算 而反射 的 的能量可 由第 3节所述 的方 法计算 。 采用 光线跟踪法如何保证 计算 精度是至关重要 的。 具体检 验精 度 的方法是 同时将 光源 和 反 射 面 的 剖 分 加 密 一 倍 ， 将 ( 或 C) 点 附 近 的小 领 域 的面 积 缩 小 一 半 ， 得 到 的结 果 无 显 著 变化 时 ， 方能认 为结果是可信 的。 5 基 于 反射 点 轨 迹 分 析 的模 型 这一模 型的思路是将线光 源视作点光源的叠加 ， 以 c点 的光强 度为例 ， 若 位于 P( O ， ， 1 5 )的功率 为 d w l 的点光 源 ， 经反射面上 Q点反射到 C， 则 Q点 附近反射 面上微元 d s反射 的功 率 为 d s 而这束光 照射到测试屏 c点 附近 的面积为 ， 则此点光源经反射点 Q对 c点 光强度 的贡献为 d w c o s ?， d S d 于是 ， 只要确定所有反 射点和相应 的点光 源位 置 ， 将它 们对 c点 光强 度进 行叠 加或积 分 即 可 。 1 )求出反射点 的坐标 及其 反射的能量仍 以 c点 为例 ， 设 P( O ， ， 1 5 ) 处 的点光源发 出的 光线 经抛物反射面上 一点 Q( ， Y， )反射到 c点 。 注意到反射光 向量 通过 c点 ， 应有 k c = 一 k c y = 2 6 0 0 一 Y k c ： 25 01 5 一 r 6 0 维普资讯 6 8 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 其中为 k常数 ， = ( c ， c ， c ； ) 为反射 向量 由第 二节 给 出的公式决定 。从上述第一式可解得 ：0 或 |j ：一 由此得反射点坐标满足以下两组方程 二 wy =0 Y 一( t + 2 6 0 0 ) y +1 8 0 0 y +( 1 4 9 8 2 0 0 w一 4 6 8 0 0 0 0 ) Y +( 9 3 6 0 0 0 0 w+8 1 0 0 0 0 ) y 【 一 1 3 5 08 1 O0 0 0 一 21 0 6 0 0 0 00 0 ： 0 r 3 7 50 J Y 西 【 ： 5 2 0 0 ， 一9 0 0一 ， 2 通过计算 可知 ， 存在 ， 当时第一组 方程不存在满 足的实根 ， 即无 反射点 。而 当时 ， 有两个 反射点 Q ； ( 0 ， Y ； ， y 1 6 0 ) ， i=1 ， 2 。 而第 二组方程仅 当 一3 8 1 1 9 一1 5 6 0 9时存在满足 r 3 6 2的一对实根 ， 即有两 个反射点 ， 记为 Q ， ， Q 。 。 设位 于点 P( O ， W， 1 5 )的单位能量点光源经点 Q附近的面元 d s反射 到 c点 ， 将从该 面 反射 的光 简化为平行于反射 向量光束 ， 该光束 照到测试屏 的面积 为 ： ：! COS y 其 中 ， y 分别为 与反射 面在点 Q 的法线 的夹 角和反射 向量 Q C与 z的能 z 轴 的夹角。 位于 P( O， ， 1 5 )的功率为 d w l 的点光源经反射对 c点能量 密度 的贡献为 d w C O S I d S d w c o s ) t i 而 c 0 s y = 2 5 0 2一 r 6 0 QC。 2 )h ( Z ) ， h 。 ( Z )的表 达 式 由 1 )中的分析 ， 长 的具有单位能量 的线光源位于点 P( O ， ， 1 5 )的长 的微小线光源 段反射 到 c点 的能量 密度为 4 E ( ) = ( w ) l 其 中 )： _ 20，2 ，2 【 0， 埘 一3 0 ， ， ， 一 3 8 1 1 9 ， 一1 5 6 0 9 1 ， i ：3 ， 4 ( ) ： 硒 一 一 0， 一3 8 1 1 9 ，一1 5 6 0 9 长 z的具 有单位 能量 的线光 源反射 到 C点 的能量密度 为 h c ( z )= l E ( ) d w 类似可得 h ( z )的表达 式。 相应 的反射点方程 为 维普资讯 第 5期 车灯 灯丝 长度优 化设 计 的数学模 型 和数 值模 拟 6 9 ， =0 ) ， 一( +1 3 0 0 ) y +1 8 0 0 y +( 1 4 9 8 2 0 0 w一 2 3 4 0 0 0 0 ) y +( 4 6 8 0 0 0 0 , o + 8 1 0 0 0 0 ) y L 1 3 5 08 1 0 0 0 0 一 1 0 53 0 0 0 0 0 0 = 0 r 3 7 5 0 J ) ， 西 = _ T 相应 的而第 二组 方程 的有两个反射 点的范围为 一1 9 0 6 ，一0 7 8 0 0 0 0 5 。 3 ) 的精确计算 将 P点发 出的光线经 抛物反射面 Q点附近的点( ， Y， ) 反射 到测试 屏上点 ( - ， Y 。 ， 2 5 0 1 5 ) 视作 变换 ( ， Y) 一 ( ， ， Y ， ) ， 从 l = + C Y】 = Y + Cy 2 5 01 5 = + kC 的第三式解 出 k， 代人第一 和第 二式 ， 就可得变换表达式 ， 进 而求 得其变换行列式 ， 一 a e t I l 那 么 ， 就有 d 2= I，I d S1 3 0 8 0 由此可得 的精 确表达式 ， 其 中为反射面在 Q点 的法线与 。轴的夹角 。 北京 和广 东都有参 队得 到 的精确表达式 ， 这是很有创造性 的 。 但 是它仅 当变换是一 对一时才成 立 ， 而对 车灯反射存在多值 的情形 ， 此时 J=0 ， 的表达 式为广 义积分 ， 计算较 为 复杂 。 所 以他们在实 际计算时 ， 并 未真正用它。 6模 型 的 求解 建立 了的光 线跟踪模型 或反射 点轨迹 积分模 型后 ， 对给定 的可 以 用数值模 拟或积分 的 方法求得 。应 具备下列性质 1 0，0 z = 2 I I h ( z )=十， z +， Z 日2 H h 口 ( z 。 )= ( 用到 z z 时 h 口 ) 。 当 z l； l t|4： ； i l t 鱼l ； ；量 摹 壹薯 萼 ， 争 1：_ j； i ； ii i； ： 维普资讯 7 0 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 H h c ( z 。 )： W。， ( 用到 z f 时 h 十) 这就证 明了 W。的确是 最 小值 。 z 的数值结 果约 为 4 mm。 例如用 第 5节 的反 射点轨 迹积分 模 型 ， 用 2 )中的方法 近似 ，最 优 灯 丝 长 度 为 3 8 9 mm。 利用 反射 向量 的公 式 ， 不难计算 出灯丝上任一点光 源经反 射 面上任 一点反 射到测试 屏 上点 的位 置 。 遍历 等丝上所有 的点光 源和反射 面上所有 的反射 点 ， 并检验 光线是否被反射面 本身遮挡 ， 就 可得到测试屏上反 射光的亮区。 7其他 模 型 和 方 法 在各参 赛队 的论文 中出现了许多不 同的模型 和不 同的方法 。 这 充分 显示 出广大学 生极 其活跃的思维 和创造精 神 。 在 他们提出的各种模型和方法 中有一些是相 当完美 的 ， 另外一些 虽有不同程度 的缺 陷 ， 但不乏 独到之处 。 有 些参赛 队采用 光线跟踪模型 ， 用计算 反射到 B， c两点各 自领域 中的光线条数来决定 领域 中接受到 的反射光 的功率 。 考虑到均匀分布的光线 由于反 射点距离 和反射方 向的不 同 ， 因而具有 不同 的反射功率 ， 他们 巧妙地改变光 线的分 布 ， 使