2012年考研数学真题及参考答案数学一

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. 指定位置上. （1）曲线 2 2 1 xx y x + = 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ： 【解析】 ： 2 2 1 lim 1 x xx x + = ，所以1x =为垂直的 2 2 lim1 1 x xx x + = ，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选 C （2）设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen=L，其中为正整数，则n (0) f= （A） 1 ( 1)(1)! n n （B） ( 1) (1)! n n （C） 1 ( 1)! n n （D） ( 1)! nn 【答案】 ：【答案】 ：C 【解析】 ： 【解析】 ： 222 ( )(2)()(1)(22)()(1)(2)() xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen=+LLLL 所以 (0) f= 1 ( 1)! n n （3）如果( , )f x y在(处连续，那么下列命题正确的是（ ） )0,0 （A）若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则( , )f x y在(0处可微 ,0) （B）若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则( , )f x y在(0处可微 ,0) 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 （C）若( , )f x y在(0处可微，则极限,0) 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在 （D）若( , )f x y在(0处可微，则极限,0) 2 0 0 ( , ) lim x y 2 f x y xy + 存在 【答案】 ： 【解析】 ：由于 【答案】 ： 【解析】 ：由于( , )f x y在()0,0处连续，可知如果 2 0 0 ( , ) lim x y 2 f x y xy + 存在，则必有 0 0 (0,0)lim( , )0 x y ff x y = 这样， 2 0 0 ( , ) lim x y 2 f x y xy + 就可以写成 22 0 0 (,)(0,0) lim x y fxyf xy + ，也即极限 22 0 0 (,)(0,0) lim x y fxyf xy + 存在，可知 220 0 (,)(0,0) lim0 x y fxyf xy = + ，也即 () 22 (,)(0,0)00fxyfxyoxy= + +。由可微的定义 可知( , )f x y在(0处可微。 ,0) （4）设 2k x k e Ie= sinxdx(k=1,2,3),则有 D （A）I1 I2 I3. (B) I2 I2 I3. (C) I1 I3 I1, (D) I1 I2 I3. 【答案】 ：【答案】 ：(D) 【解析】 ： 【解析】 ：看为以为自变量的函数，则可知 2 sin k x k e Iex=dxk() 2 sin0,0, k k Iekk=， 即 可 知关 于在 2 sin k x k e Iexd=xk()0,上 为 单 调 增 函 数 ， 又 由 于()1,2,30,，则 ，故选 D 12 II 3 I = 0，其它 0 则 45 000 1 ( , ) 5 y xyy x y P XYf x y dxdydxedxedy + = （ 8 ） 将 长 度 为1m的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 ， 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 （ ） 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 1)( 2 1 )( 2 1 )(1)(DCBA 【答案】 ：【答案】 ：() D 【解析】 ：【解析】 ：设两段长度分别为,x y，显然1,xy+=即1yx= +，故两者是线性关系，且是负相关，所以 相关系数为-1 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. 指定位置上. （9）若函数满足方程及，则=_。 )(xf0)(2)()( =+xfxfxf x exfxf2)()( =+)(xf 【答案】 ：【答案】 ： x e 【解析】 ： 【解析】 ：特征方程为，特征根为02 2 =+ rr2, 1 21 =rr ( )2 ，齐次微分方程 的通解为.再由 ( )( )2 ( )0fxfxf x+= xx eC 2 2 +eCxf 1 )(= ( )x fxf xe+=得 2 12 22 xx C eC e x e= 12 1,0CC=，可知。 故( ) x f xe= （10） 2 2 0 2xxx dx _。 【答案】 ：【答案】 ： 2 【解析】 ： 【解析】 ：令得1tx= 211 22 011 2(1) 11 2 xxx dxtt dtt dt 2 =+= （11） (2,1,1) grad z xy y + _。 【答案】 ：【答案】 ：1,1,1 【解析】 ： 【解析】 ： 2 (2,1,1)(2,1,1) 1 grad,1,1,1 zz xyy x yyy += （12）设(),0, 0, 0, 1, =+=zyxzyxzyx则_。 =dsy2 【答案】 ：【答案】 ： 3 12 【解析】 ：由曲面积分的计算公式可知 【解析】 ：由曲面积分的计算公式可知 22222 1( 1)( 1)3 DD y dsydxdyy dxdy =+ + = ，其中 ( , )|0,0,1Dx yxyxy=+。故原式 111 22 000 3 33(1) 12 y dyy dxyy dy = = （13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_。 T xxE 【答案】 ：【答案】 ：2 【解析】 ： 【解析】 ：矩阵 T xx的特征值为，故0,0,1 T Exx的特征值为1,。又由于为实对称矩阵，是可相似对角 化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 1,0 () T r Exx2=。 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 （14）设, ,A B C是随机事件，,A C互不相容， 1 () 2 P AB =, 1 ( ) 3 P C =,则_。 ()P ABC = 【答案】 ：【答案】 ： 3 4 【解析】 ：【解析】 ：由条件概率的定义， () () ( ) P ABC P AB C P C =， 其中 ( )( ) 12 11 33 P CP C= = =， ()()()( 1 2 P ABCP ABP ABCP ABC=)，由于,A C互不相容，即AC=，又 ()0P AC= ABCAC，得()0P ABC=，代入得 () 1 2 P ABC =，故 () 3 4 P AB C =. . 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 证明： 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x + + + 【解析】 ：【解析】 ：令( ) 2 1 lncos1 12 xx f xxx x + =+ ，可得 ( ) () 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx fxx xx x xx xx xx xx xx xx + =+ + =+ + =+ g g xx 1 当0 x ，所以 2 2 1 sin0 1 x xx x + g， 故，而，即得( ) 0fx( )0f=0 2 1 lncos10 12 xx xx x + + 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x + + 。 当，有10 x ，所以 2 2 1 sin0 1 x xx x + g， 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 故，即得( ) 0fx 2 1 lncos10 12 xx xx x + + 可知， 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x + + + （16） （本题满分 10 分） 求() 22 , 2 xy f x yxe + =的极值。 【解析】 ：【解析】 ：() 22 , 2 xy f x yxe + =， 先求函数的驻点. ，解得函数为驻点为. ()(),0, xy fx yexfx yy = = 0 = ) (),0e 又， ， ()()(),01,00,01 xxxyyy AfeBfeCfe = = 所以，故 2 0,0BACA(,f x y在点(),0e处取得极大值() 2 1 ,0 2 f ee=. . （17） （本题满分 10 分） 求幂级数 0n = 2 44 21 nn n + + 3 x 2n 的收敛域及和函数 【解析】 ：【解析】 ： ()() () 2 2 11 443 21 41413 211 limlimlim nn nnn nn nn aa n R aa nn n + + + = + + () ()() 2 2 211443 1 21 41413 lim n nnn n nn + = + + = 2 2 0 443 ( ) 21 n n nn S xx n = + = + 2 2 00 0 2 2 0 2 443 ( ) 21 443 1 21 443 21 1 21 lim xx n n n n n nn S t dtx dx n nn xx n nn n n = = + = + + = + + + = + Q 时发散 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 () 2 2 0 443 11 21 n n nn x n = + = + 时收敛 () 您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 2 2 0 1,1 4431 ( ) 21 n n x nn S xx nx = + = + 为函数的收敛域。 和函数为 （18） （本题满分 10 分） 已知曲线 = = 2 0 cos )( : t ty tfx L，其中函数具有连续导数，且)(tf0)0(=f， 2 00)( ttf。 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无 边界的区域的面积。 )(tf 【解析】 ：【解析】 ： （1）曲线在任一处的切线斜率为L),(yx )( sin tf t dx dy =，过该点处的切线为),(yx ()( )( sin costfX tf t tY =，令Y得0=)(cos)(tfttfX+=.由于曲线与Lx轴和轴的交点到切 点的距离恒为1. y 故有，又因为1cos)()(cot)( 2 2 =+ttftfttf) 2 0(0)( , 设ZX=Y, (1) 求z的概率密度 () 2 ,f z； (2) 设 12 , n z zzL为来自总体Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 2 ； (3) 证明 2 为 2 的无偏估计量。 【解析】 ：【解析】 ： （1）因为 2 ( ,),( ,2)XNYN 2 ，且X与Y相互独立，故 2 (0,5)ZXYN=， 所以，Z的概率密度为 2 2 2 10 1 ( ,),() 10 z f zez = + （2）似然函数 ()() ()() 22 22 11 11 1010222 2 2 21 2 2 1 ()( ,)10 10 nn ii ii n nzz n in n i Lf zee = = = ()() 22 2 1 1 ln ()ln