高考理数　抛物线及其性质

10.3抛物线及其性质,高考理数(课标专用),考点一抛物线的定义和标准方程1.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案B=4,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知PQMPFN,则=,即=.|QM|=3,即|QF|=3.故选B.,2.(2017课标,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.,答案6,解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.,思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.,方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.,考点二抛物线的几何性质1.(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8,答案B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.故选B.,思路分析设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的方程,解方程得出结论.,2.(2018课标,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.,答案2,解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,设A,B,将直线方程与抛物线方程联立得整理得y2-y-4=0,从而得y1+y2=,y1y2=-4.M(-1,1),AMB=90,=0,即+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则-得-=4(x2-x1),从而k=.设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点,以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切.M(-1,1),AMB=90,点M在准线l:x=-1上,同时在M上,准线l是M的切线,切点为M,且MMl,即MM与x轴平行,点M的纵坐标为1,即=1y1+y2=2,故k=2.,疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.,考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案9,解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距离为9.,评析本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.,2.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.,答案2,解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.,3.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.,答案1+,解析|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.,考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.,答案A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知=,故选A.,2.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.,解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=,=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.,方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.,易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是否为0.,考点一抛物线的定义和标准方程1.(2013课标,11,5分,0.474)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x,C组教师专用题组,答案C以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+=5可得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为,点N的横坐标恰好等于圆的半径,圆与y轴切于点(0,2),从而2=,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.,思路分析根据抛物线方程及定义可得M,从而可得以MF为直径的圆的圆心坐标,进而知该圆与y轴切于点(0,2),由此可列出关于p的方程,解方程即可得出抛物线方程.,一题多解由抛物线C:y2=2px可知焦点F为.设A(0,2),M(x0,y0),则=,=(x0,y0-2)=.依题意,=0,即-8y0+16=0,y0=4,则M,由|MF|=5,得+16=25,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=16x,故选C.,2.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.,解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.,考点二抛物线的几何性质1.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1D.,答案B由抛物线y2=4x,有2p=4p=2,焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=x,不妨取其中一条:x-y=0,由点到直线的距离公式,有d=.故选B.评析考查抛物线及双曲线的基本性质,点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力.,2.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为.,答案,解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,|AF|=|AB|=p,不妨设A在第一象限,则A(p,p).易证EFCEAB,所以=2,所以=,所以SACE=SAFC=pp=p2=3,所以p=.评析本题考查了抛物线的定义和方程;考查了计算求解能力.,3.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.,答案x=-2,解析c2=9-5=4,c=2.椭圆+=1的右焦点为(2,0),=2,即p=4.抛物线的准线方程为x=-2.,4.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.,答案6,解析如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.,考点一抛物线的定义和标准方程1.(2018湖北四地七校3月联考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案D因为ABx轴,且AB过点F,所以AB是焦点弦,且|AB|=2p,所以SCAB=2p=24,解得p=4或-12(舍),所以抛物线方程为y2=8x,所以直线AB的方程为x=2,所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=-8x,故选D.,2.(2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于()A.B.C.D.,答案B由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1,由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4,所以点P的坐标为(3,2),因此点A的坐标为(-1,2),所以kAF=-,所以直线AF的倾斜角等于,故选B.,3.(2018河南百校联盟4月联考,6)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=(O为坐标原点),则=()A.-B.C.D.-,答案A不妨设M(m,)(m0),易知抛物线C的焦点F的坐标为,因为|MO|=|MF|=,所以解得m=,p=2,所以=,=,所以=-2=-.故选A.,4.(2017江西赣州二模,4)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1,O为坐标原点,则p的值为()A.1B.2C.3D.4,答案B不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知即A,又点A在抛物线y2=2px上,=2p,即p4=16,又p0,p=2,故选B.,5.(2016河南中原名校联考,9)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,MFO的面积为4,则抛物线的方程为()A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=,答案B设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线定义知x+=2p,所以x=p,所以y=p,又MFO的面积为4,所以p=4,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x.,考点二抛物线的几何性质1.(2018湖南雅礼中学、河南实验中学4月联考,11)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与抛物线的准线交于点M,且=3,则|=()A.B.C.D.,答案C如图,不妨设Q点在第一象限,过P点作PN垂直于抛物线的准线,垂足为N,由抛物线定义可知|PF|=|PN|,又因为=3,所以=2,所以|PM|=2|PF|=2|PN|,在RtPNM中,cosMPN=,由抛物线焦点弦的性质可知|=.故选C.,2.(2017河北衡水中学调研,15)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|=4|FB|,O为坐标原点,若AOB的面积为,则p=.,答案1,解析解法一:易知抛物线y2=2px的焦点F的坐标为,准线为x=-,不妨设点A在x轴上方,如图,过A、B作准线的垂线AA,BB,垂足分别为A,B,过点B作BHAA,交AA于H,则|BB|=|AH|,设|FB|=t,则|AF|=|AA|=4t,|AH|=|AA|-|AH|=3t,又|AB|=5t,在RtABH中,cosHAB=,tanHAB=,则可得直线AB的方程为y=.,由得8x2-17px+2p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=p+p=p,易知点O到直线AB的距离为d=|OF|sinAAB=p.SAOB=pp=,p2=1,又p0,p=1.解法二:设直线AB的倾斜角为,不妨设点A在x轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=,|BF|=,又|AF|=4|BF|,所以=,解得cos=,sin=.又|AB|=|AF|+|BF|=+=,点O到直线AB的距离d=sin,所以SAOB=|AB|d=,所以p2=1,又p0,所以p=1.,答案D由题意知y=2+,所以曲线y=可由奇函数y=的图象平移得到,易得其对称中心为(1,2),代入抛物线方程得4=2p,得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,设直线l的方程为x=my+1,由得y2-4my-4=0,设A,B,则y1y2=-4,由抛物线定义可知|AF|+2|BF|=+1+2=+32+3=2+3,当且仅当=,即=2时,等号成立,故选D.,思路分析首先求出曲线y=的对称中心,从而得到抛物线方程,设出直线l的方程,并与抛物线方程联立求得y1y2=-4(y1、y2分别为A、B的纵坐标),利用抛物线定义表示出|AF|+2|BF|,最后利用基本不等式求得最小值.,2.(2018江西六校4月联考,10)已知抛物线C:y2=2x,过焦点F且斜率为的直线与C交于P、Q两点,且P、Q两点在准线上的射影分别为M、N两点,则SMFN=()A.8B.2C.4D.8,答案B不妨设点P在x轴上方,由抛物线定义可知|PF|=|PM|,|QF|=|QN|,设直线PQ的倾斜角为,则tan=,=,由抛物线焦点弦的性质可知,|PF|=2,|QF|=,所以|MN|=|PQ|sin=(|PF|+|QF|)sin=4,所以SMFN=|MN|p=4=2,故选B.,知识拓展已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线于A,B两点(A点在x轴上方,B点在x轴下方),为直线l的倾斜角,则有如下结论:|AF|=,|BF|=;|AB|=;SAOB=;+=.,思路分析由直线斜率得倾斜角,利用抛物线焦点弦的性质分别求|PF|与|QF|,进而得|PQ|,利用三角函数求得|MN|,从而求得MFN的面积.,一题多解由题意可得直线PQ:y=x-,与抛物线方程y2=2x联立,得=2x,即3x2-5x+=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,|PQ|=x1+x2+p=+=,所以|MN|=|PQ|sin=4,所以SMNF=4=2,故选B.,3.(2018福建六校4月联考,10)已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x,答案C由题意,得F,直线AB的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),联立y=x-和y2=2px得,y2-2py-p2=0,则y1+y2=2p,所以y0=p,故N(0,p),又因为点M在直线AB上,所以x0=,即M,因为MCAB,所以kABkMC=-1,故kMC=-1,从而直线MC的方程为y=-x+p,令y=0,得x=p,故C,四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差,即S四边形CMNF=S梯形CMNO-SNOF=p+pp-p=p2=7,p2=4,又p0,p=2,故抛物线E的方程为y2=4x,故选C.,思路分析联立抛物线的方程与直线AB的方程,利用根与系数关系求得AB中点M的坐标,进而写出线段AB中垂线MC的方程,得点C坐标,从而可利用S四边形CMNF=S梯形CMNO-SNOF建立参数p的方程,求出p即可得抛物线E的方程.,4.(2016湖南长郡中学3月月考,8)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120,过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()A.B.1C.D.2,答案A过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,由题意知|MN|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|),在AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos120=|AF|2+|BF|2+|AF|BF|.,思路分析作出辅助线,利用抛物线定义可得|MN|=,由余弦定理可得|AB|2=|AF|2+|BF|2+|AF|BF|,进而表示出,利用基本不等式求其最大值,进而得到的最大值.,二、填空题(每题5分,共5分)5.(2017河南安阳二模,15)已知抛物线C1:y=ax2(a0)的焦点F也是椭圆C2:+=1(b0)的一个焦点,点M,P分别为曲线C1,C2上的点,则|MP|+|MF|的最小值为.,答案2,解析将P代入+=1,可得+=1,b=,c=1,抛物线的焦点F为(0,1),抛物线C1的方程为x2=4y,准线为直线y=-1,设点M在准线上的射影为D,根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值,易知当D、M、P三点共线时,|MP|+|MD|最小,最小值为1-(-1)=2.,思路分析求出抛物线的焦点坐标,设点M在准线上的射影为D,根据抛物线定义可得|MF|=|MD|,从而把问题转化为求|MP|+|MD|的最小值,可推断出当D、M、P三点共线时|MP|+|MD|最小,从而得出答案.,方法技巧与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关,由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度,“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要思路.,三、解答题(共25分)6.(2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线C:x2=2py(p0),圆O:x2+y2=1.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|;(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.,解析(1)由题意得F(0,1),从而抛物线C:x2=4y.(1分)解方程组得yA=-2,(3分)|AF|=-1.(5