机械动力学-习题复习

单自由度系统,有阻尼自由振动系统例1,摩托车的质量为200kg，为其设计了一个弱阻尼吸振器。当吸振器受到一个由于路面冲击而引起的竖直方向的速度时，相应的位移-时间曲线如图(b)所示。如果阻尼振动的周期为2s，经过个周期后振幅衰减为原来的14(即x1.5=x1/4)。求弹簧的刚度以及阻尼器的阻尼系数,【解】由于x1.5=x1/4,因而x2=x1/16,不同时刻解的表达式,对应振动的幅值比,获得阻尼比,根据,所以,【例3】图示为一大型火炮的示意图。发射时，高压气体使子弹在炮筒内获得一个很高的速度。后坐力使炮筒沿与子弹射出相反的方向移动。由于希望火炮不会由此产生振动并能以最短时间停下，所以设计了一个具有临界阻尼的弹簧一阻尼器系统，称为反冲机构。设炮筒和反冲机构的总质量为500kg，反冲弹簧的刚度为10000N/m，发射时后坐的距离为0.4m。求：(1)阻尼器的临界阻尼系数；(2)初始后坐速度,【解】系统的固有频率为,临界阻尼的大小为,系统的响应为,令,可以确定x(t)到达最大值的时间,【例】如图所示为汽车通过粗糙路面引起竖向振动的简单模型，设汽车的质量为1200kg，悬架系统的弹簧常数为400kN/m，阻尼比为z=0.5。若汽车的行驶速度为20km/h，求汽车的位移幅值。已知路面的起伏按正弦规律变化，幅值为Y=0.05m，波长为6m,【解】基础运动激励的频率可以通过汽车速度v(km/h)除以路面起伏的循环长度求得,v=20km/h时，,因而频率比,振幅比为,汽车竖向振动幅值为,这表明：幅值为5cm的路面起伏引起汽车底盘与乘客的竖向振动的振幅是7.3cm。因此在当前状态下，乘客感觉到的上下颠簸比路面的实际起伏要大。,如图所示，一个质量为m的薄板挂在弹簧下端，在空气和液体中上下振动的周期分别为T1和T2，不计空气阻尼，而液体的阻尼力为（2A为薄板上下两端面积之和）。试求液体的粘度系数m,多自由度系统,【例】一台电动机发电机组，如图所示，设计运行速度为20004000rmin。但由于转子存在微小不平衡，该机械在运转速度为3000rmin时发生剧烈振动。为此计划安装一个悬臂式集中质量吸振器来消除振动。当一个带有2kg实验载荷的悬臂安装到机器上之后，所得系统的固有频率为2500rmin和3500rmin。设计吸振器质量和刚度，使得整个系统固有频率在电动机发电机组转速范围之外。,无阻尼动力吸振器(6),问题分析,无阻尼动力吸振器(7),测试共振转速2500rmin和3500rmin,4,运行转速20004000rmin,共振转速3000rmin,2,1,主系统固有频率wn1,1,安装吸振器之后的新共振点的确定,2,测试时的两个共振频率和对应的频率比,4,质量比m=0.1345，求出主系统m1=2/0.1345=14.87kg,测试共振频率W1和W2为261.8rad/s(2500r/min)和366.53rad/s(3500r/min)，从而可以求出两个共振点的频率比l1,2,电动机发电机组的固有频率为w1、吸振器的固有频率为w2。因为吸振器(质量m2=2kg可调)，令w1=w2=314.16rads(对应转速3000rmin),无阻尼动力吸振器(8),系统的最低运行速度W1为209.44rad/s(2000r/min),获得第一处共振频率比l1,系统的二阶共振频率比,4500r/min,吸振器参数设计完毕,验证设计,无阻尼动力吸振器(9),（4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应,多自由度系统模态分析的基本步骤（P34）,（1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵,（2）坐标变换,得,（3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分，或待定系数法求微分方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表示，并代入模态方程，求出各积分常数。,注意：此时的变量为Y！,即,理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！,模态分析法实例1,k1=30,k2=5,k3=0,m1=10,m2=1,初始条件为：x(0)=10，v(0)=00,用模态分析法求二自由度系统的自由振动,m1,m2,k1,k2,k3,解系统的固有频率和主振型为,其中为任意常数。通过固有振型关于质量矩阵正则化，可以求出,由,求得,同理求得,系统的正则振型矩阵为,进行模态坐标变换,得到系统的模态坐标方程,自由振动,为模态坐标初值，需要通过广义坐标求出,矩阵迭代法的基本步骤是什么？如何求解二阶以后的模态？,连续系统的振动,习题1,习题2,初始条件,习题2,习题3,多刚体构件系统机械动力学,例2,质量为m，长度为l的匀质杆与质量为M的匀质圆盘中心用光滑铰链联结，构成一个物理摆。圆盘在水平导轨上无滑动地滚动，其中心用刚度为k的弹簧与固定墙联结。试用拉格朗日方法建立系统的运动微分方程,例3,为M的方木用刚度为k的弹簧与固定墙联结，并在水平导板上做无摩擦的运动。在方木内挖出半径为R的圆柱形空腔。在空腔内有质量为m半径为r(rR)的均质圆柱。试以拉格朗日方程形式建立系统的运动微分方程。,系统的动能和势能？,行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。,第二类拉格朗日方程例4,取曲柄的转角为广义坐标。,第二类拉格朗日方程例4,半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自