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.,1,第五节函数的微分,一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、*微分在近似计算中的应用八、小结、作业,1/21,.,2,一、问题的提出近似计算问题,实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。,2/21,.,3,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？,3/21,.,4,二、微分的定义,定义,4/21,.,5,三、可微的条件,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,证毕,5/21,.,6,例1,解,6/21,.,7,四、微分的几何意义,M,N,）,C:y=f(x)在M(x0,f(x0)的切线T：y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=f(x0)x,=dy,7/21,.,8,五、微分的求法,微分求法（1）:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,8/21,.,9,1.基本函数的微分公式,9/21,.,10,2.函数和、差、积、商的微分法则,微分求法（2）：转化为基本函数的微分。,10/21,.,11,例2,解,例3,解,11/21,.,12,结论：,微分形式的不变性,六、微分形式的不变性,12/21,.,13,微分求法（3）：利用微分的形式不变性。,例4,解,例3,解,13/21,.,14,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,14/21,.,15,*例6求由方程cos(xy)=x2y2所确定的y=y(x)微分及导数.,解,15/21,.,16,*七、微分在近似计算中的应用,例7,解,16/21,.,17,例8,解,17/21,.,18,八、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的近计算似问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法，叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学.,导数与微分的联系:,18/21,.,19,导数与微分的区别:,19/21,.,20,思考题,20/21
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