重积分习题课PPT课件

.,1,习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第十章,重积分的计算及应用,.,2,定义,几何意义,性质,计算法,应用,二重积分,定义,几何意义,性质,计算法,应用,三重积分,一、主要内容,.,3,1、二重积分的定义,.,4,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,.,5,性质,当为常数时，,性质,、二重积分的性质,.,6,性质,对区域具有可加性,性质,若为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,.,7,性质,性质,（二重积分中值定理）,.,8,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,.,9,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,.,10,（）极坐标系下,.,11,.,12,5、二重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,.,13,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3)重心,.,14,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4)转动惯量,.,15,薄片对轴上单位质点的引力,为引力常数,(5)引力,.,16,6、三重积分的定义,.,17,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,.,18,9、三重积分的计算,()直角坐标,.,19,()柱面坐标,.,20,()球面坐标,.,21,10、三重积分的应用,()重心,.,22,()转动惯量,.,23,二、典型例题,例1,解,X-型,.,24,例2,计算积分,其中D由,所围成.,提示:如图所示,连续,所以,.,25,例3,解,先去掉绝对值符号，如图,.,26,例4,解,.,27,.,28,例5,解,.,29,例6,解,.,30,.,31,例7,证,.,32,例8,解,.,33,.,34,例9,解,利用球面坐标,.,35,例10,解,.,36,例11,证,思路：从改变积分次序入手,.,37,测验题,.,38,.,39,.,40,.,41,.,42,.,43,.,44,.,45,测验题答案,.,46,.,47,一、重积分计算的基本方法,1.选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,累次积分法,.,48,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性或重心公式简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,4.利用重积分换元公式,.,49,例1.计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,.,50,(2)积分域如图:,将D分为,添加辅助线,利用对称性,得,.,51,例2.计算二重积分,其中D是由曲,所围成的平面域.,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,.,52,例3.计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D为圆域,把与D分成,作辅助线,.,53,(2)提示:,两部分,说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D分成,.,54,例4.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,.,55,例5.,解:在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,.,56,三、重积分的应用,1.几何方面,面积(平面域或曲面域),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,证明某些结论等,2.物理方面,3.其它方面,.,57,例6.,证明,证:左端,=右端,.,58,例7.,设函数f(x)连续且恒大于零,其中,(1)讨论F(t)在区间(0,+)内的单调性;,(2)证明t0时,(03考研),.,59,解:(1)因为,两边对t求导,得,.,60