2018高考数学空间几何高考真题.pdf

. WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 2017 年高考数学空间几何高考真题 一选择题（共9 小题） 1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面 MNQ 不平行的是（） ABC D 2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上， 则该圆柱的体积为（） AB C D 3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 CD的中点，则（） AA1E DC1BA1EBD C A1EBC1DA1EAC 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A60 B30 C 20 D10 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm2） 是（） A+1 B+3 C+1 D+3 6如图，已知正四面体DABC （所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R分别为 AB、BC 、CA上的点， AP=PB ，=2，分别记二面角 DPR Q，DPQR， DQR P的平面角为 、 、 ，则（） A B C D 7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A90B63C 42D36 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 1某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10 B12 C 14 D16 2已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ABC=120 ，AB=2 ，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（） ABC D 二填空题（共5 小题） 8已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上， SC是球 O的直径若平 面 SCA 平面 SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O的表面 积为 9长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的 表面积为 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为 11由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 体积为 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 12如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则的值是 三解答题（共9 小题） 13如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且 BAP= CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，且四棱锥 PABCD的体积为，求该四棱 锥的侧面积 14如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD，BAD= ABC=90 （1）证明：直线 BC平面 PAD ； （2）若 PCD面积为 2，求四棱锥 PABCD的体积 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 15如图四面体 ABCD中， ABC是正三角形， AD=CD （1）证明： AC BD； （2）已知 ACD是直角三角形， AB=BD ，若 E为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC ，求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比 16如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长 分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 （1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积； （2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小 17如图，在三棱锥PABC 中，PAAB，PA BC，ABBC ，PA=AB=BC=2 ，D 为线段 AC的中点， E为线段 PC上一点 （1）求证： PA BD； （2）求证：平面 BDE 平面 PAC ； （3）当 PA平面 BDE时，求三棱锥 EBCD的体积 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 18如图，在四棱锥PABCD中，AD平面 PDC ，ADBC，PD PB ，AD=1， BC=3 ，CD=4 ，PD=2 （）求异面直线AP与 BC所成角的余弦值； （）求证： PD平面 PBC ； （）求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值 19如图，已知四棱锥PABCD ，PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形， BC AD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为 PD的中点 （）证明： CE 平面 PAB ； （）求直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值 20由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示， 四边形 ABCD为正方形，O为 AC与 BD 的交点，E为 AD的中点， A1E平面 ABCD ， （）证明： A1O平面 B1CD 1； （）设 M 是 OD的中点，证明：平面A1EM平面 B1CD1 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 21如图，在三棱锥 ABCD中，ABAD，BC BD，平面 ABD 平面 BCD ，点 E、 F（E与 A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且 EF AD 求证： （1）EF 平面 ABC ； （2）ADAC 3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且 BAP= CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，求二面角 APBC的余弦值 4如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点 （1）证明：直线 CE 平面 PAB ； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ，求二面角 M ABD的余弦值 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 5如图，四面体ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD= CBD ，AB=BD （1）证明：平面 ACD 平面 ABC ； （2）过 AC的平面交 BD于点 E ，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两 部分，求二面角 DAE C的余弦值 6如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD 平面 ABCD ， 点 M 在线段 PB上，PD 平面 MAC，PA=PD= ，AB=4 （1）求证： M 为 PB的中点； （2）求二面角 BPDA 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 7如图，在三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC ，BAC=90 点 D，E ，N 分别为 棱 PA ，PC ，BC的中点， M 是线段 AD的中点， PA=AC=4 ，AB=2 （）求证： MN平面 BDE ； （）求二面角 CEMN 的正弦值； （）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 段 AH的长 8如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB边所在 直线为旋转轴旋转120 得到的， G是的中点 （）设 P是上的一点，且 APBE ，求 CBP的大小； （）当 AB=3，AD=2时，求二面角 EAGC的大小 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 2017 年高考数学空间几何高考真题 参考答案与试题解析 一选择题（共7 小题） 1如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面 MNQ 不平行的是（） ABC D 【解答】 解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知B 不满足 题意； 对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 所以选项 A 满足题意， 故选： A 2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上， 则该圆柱的体积为（） AB C D 【解答】 解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球 面上， 该圆柱底面圆周半径r=， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 该圆柱的体积： V=Sh= 故选： B 3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为棱 CD的中点，则（） AA1E DC1BA1EBD C A1EBC1DA1EAC 【解答】 解：法一：连 B1C，由题意得 BC 1B1C， A1B1平面 B1BCC 1，且 BC1? 平面 B1BCC1， A1B1BC 1， A1B1B1C=B1， BC1平面 A1ECB 1， A1E? 平面 A1ECB1， A1EBC1 故选： C 法二：以 D为原点， DA为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 2， 则 A1（2，0，2） ，E（0，1，0） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，C1（0，2，2） ， A（2，0，0） ，C（0，2，0） ， =（2，1，2） ，=（0，2，2） ，=（2，2，0） ， =（2，0，2） ，=（2，2，0） ， ?=2，=2，=0，=6， A1EBC1 故选： C . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A60 B30 C 20 D10 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积 =10 故选： D 5某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（） . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . A+1 B+3 C+1 D+3 【解答】 解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2 的等腰直角三角形，圆锥的 高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为 123+3=+1， 故选： A 6如图，已知正四面体DABC （所有棱长均相等的三棱锥） ，P、Q、R分别为 AB、BC 、CA上的点， AP=PB ，=2，分别记二面角 DPR Q，DPQR， DQR P的平面角为 、 、 ，则（） A B C D 【解答】 解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面ABC的中心为 O . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 不妨设 OP=3 则 O（0，0，0） ，P （0，3，0） ，C （0，6，0） ，D （0，0，6） ， Q，R， =，=（0，3，6） ，=（，5，0） ，=， = 设平面 PDR的法向量为=（x，y，z） ，则，可得， 可得=，取平面 ABC的法向量=（0，0，1） 则 cos=，取 =arccos 同理可得： =arccos=arccos 解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点 O分别作垂线： OEPR ，OF PQ， OG QR，垂足分别为 E，F，G，连接 DE ，DF ，DG 设 OD=h 则 tan= 同理可得： tan=，tan= 由已知可得： OE OGOF tan tan tan ， ， ， 为锐角 故选： B . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A90B63C 42D36 【解答】解：由三视图可得， 直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的 一半， V=?3 210 ?3 26=63 ， 故选： B . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 1某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面 中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A10 B12 C 14 D16 【解答】 解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形=2（2+4）=6， 这些梯形的面积之和为62=12， 故选： B 2已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ABC=120 ，AB=2 ，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（） . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . ABC D 【解答】 解： 【解法一】如图所示，设M、N、P分别为 AB，BB1和 B1C1的中点， 则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0， ） ， 可知 MN=AB1=， NP= BC1=； 作 BC中点 Q，则 PQM 为直角三角形； PQ=1 ，MQ=AC ， ABC中，由余弦定理得 AC 2=AB2+BC22AB?BC?cos ABC =4+1221（） =7， AC=， MQ=； 在MQP中，MP=； 在PMN 中，由余弦定理得 cosMNP=； 又异面直线所成角的范围是（0， ， AB1与 BC1所成角的余弦值为 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【解法二】如图所示， 补成四棱柱 ABCD A1B1C1D1，求 BC1D即可； BC1=，BD=， C1D=， +BD 2= ， DBC 1=90 ， cos BC 1D= = 二填空题（共5 小题） 8已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上， SC是球 O的直径若平 面 SCA 平面 SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥 SABC的体积为 9，则球 O的表面 积为36 【解答】 解：三棱锥 SABC的所有顶点都在球O 的球面上， SC是球 O 的直径， 若平面 SCA 平面 SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥 SABC的体积为 9， 可知三角形 SBC与三角形 SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得，解得 r=3 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 球 O的表面积为： 4r 2=36 故答案为： 36 9长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的 表面积为14 【解答】 解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上， 可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为：= 则球 O的表面积为： 4=14 故答案为： 14 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为 【解答】 解：设正方体的棱长为a， 这个正方体的表面积为18， 6a 2=18， 则 a2=3，即 a=， 一个正方体的所有顶点在一个球面上， 正方体的体对角线等于球的直径， 即a=2R， 即 R= ， 则球的体积 V=? （） 3= ； 故答案为： 11由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 体积为2+ . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【解答】解：由长方体长为2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积V1=211=2， 圆柱的底面半径为1，高为 1，则圆柱的体积 V2= 121=， 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+， 故答案为： 2+ 12如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切， 记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则的值是 【解答】 解：设球的半径为 R，则球的体积为：R 3， 圆柱的体积为： R 2?2R=2R3 则= 故答案为： 三解答题（共9 小题） 13如图，在四棱锥 PABCD中，ABCD，且 BAP= CDP=90 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，且四棱锥 PABCD的体积为，求该四棱 锥的侧面积 【解答】 证明： （1）在四棱锥 PABCD中， BAP= CDP=90 ， ABPA ，CDPD ， 又 ABCD ，ABPD， PA PD=P ，AB平面 PAD ， AB? 平面 PAB ，平面 PAB 平面 PAD 解： （2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD中点 O，连结 PO， PA=PD=AB=DC，APD=90 ，平面 PAB 平面 PAD ， PO 底面 ABCD ，且 AD=，PO=， 四棱锥 PABCD的体积为， VPABCD= =， 解得 a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=， PB=PC=2， 该四棱锥的侧面积： S侧=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC =+ = =6+2 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 14如图，四棱锥PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD，BAD= ABC=90 （1）证明：直线 BC平面 PAD ； （2）若 PCD面积为 2，求四棱锥 PABCD的体积 【解答】 （1）证明：四棱锥PABCD中， BAD= ABC=90 BC AD， AD? 平面 PAD ，BC ?平面 PAD ， 直线 BC 平面 PAD ； （2）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD，BAD= ABC=90 设 AD=2x， 则 AB=BC=x ，CD=，O是 AD的中点， 连接 PO，OC ，CD的中点为： E，连接 OE， 则 OE=，PO=，PE=， PCD面积为 2，可得：=2， 即：，解得 x=2，PE=2 则 V PABCD= （BC+AD）ABPO=4 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 15如图四面体 ABCD中， ABC是正三角形， AD=CD （1）证明： AC BD； （2）已知 ACD是直角三角形， AB=BD ，若 E为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC ，求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比 【解答】 证明： （1）取 AC中点 O，连结 DO、BO ， ABC是正三角形， AD=CD ， DOAC ，BOAC， DOBO=O ，AC平面 BDO ， BD ? 平面 BDO，ACBD 解： （2）法一：连结 OE，由（ 1）知 AC 平面 OBD， OE ? 平面 OBD ，OE AC， 设 AD=CD=，则 OC=OA=1 ， E是线段 AC垂直平分线上的点， EC=EA=CD= ， 由余弦定理得： cosCBD=， 即，解得 BE=1或 BE=2 ， BE BD=2 ，BE=1 ，BE=ED ， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A 到平面 BCD的高 h， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . BE=ED ，SDCE=SBCE， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 1 法二：设 AD=CD=，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1 ， BO=，BO 2+DO2=BD2，BODO， 以 O为原点， OA为 x 轴，OB为 y 轴，OD为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0，0） ，A（1，0，0） ， 设 E（a，b，c） ， （0 1） ，则（ a，b，c1）= （0，1） ， 解得 E（0，1 ） ， =（1，） ，=（1，） ， AE EC ，=1+3 2+（1 ）2=0， 由 0，1 ，解得，DE=BE ， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的高都是点 A 到平面 BCD的高 h， DE=BE ，SDCE=SBCE， 四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比为 1 16如图，直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长 分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 （1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积； （2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【解答】 解： （1）直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形， 两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 三棱柱 ABC A1B1C1的体积： V=S ABCAA1 = =20 （2）连结 AM， 直三棱柱 ABC A1B1C1的底面为直角三角形， 两直角边 AB和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5，M 是 BC中点， AA1底面 ABC ，AM=， A1MA 是直线 A1M 与平面 ABC所成角， tanA1MA=， 直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小为 arctan 17如图，在三棱锥PABC 中，PAAB，PA BC，ABBC ，PA=AB=BC=2 ，D 为线段 AC的中点， E为线段 PC上一点 （1）求证： PA BD； （2）求证：平面 BDE 平面 PAC ； . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . （3）当 PA平面 BDE时，求三棱锥 EBCD的体积 【解答】 解： （1）证明：由 PAAB，PA BC， AB? 平面 ABC ，BC ? 平面 ABC ，且 ABBC=B ， 可得 PA平面 ABC ， 由 BD? 平面 ABC ， 可得 PABD ； （2）证明：由 AB=BC ，D 为线段 AC的中点， 可得 BDAC， 由 PA 平面 ABC ，PA ? 平面 PAC ， 可得平面 PAC 平面 ABC ， 又平面 ABC 平面 ABC=AC ， BD? 平面 ABC ，且 BDAC ， 即有 BD平面 PAC ， BD? 平面 BDE ， 可得平面 BDE 平面 PAC ； （3）PA 平面 BDE ，PA ? 平面 PAC ， 且平面 PAC 平面 BDE=DE ， 可得 PADE ， 又 D 为 AC的中点， 可得 E为 PC的中点，且 DE= PA=1 ， 由 PA 平面 ABC ， 可得 DE平面 ABC ， 可得 SBDC=SABC=22=1， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 则三棱锥 EBCD的体积为DE?SBDC= 11= 18如图，在四棱锥PABCD中，AD平面 PDC ，ADBC，PD PB ，AD=1， BC=3 ，CD=4 ，PD=2 （）求异面直线AP与 BC所成角的余弦值； （）求证： PD平面 PBC ； （）求直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值 【解答】 解： （）如图，由已知ADBC ， 故DAP或其补角即为异面直线AP与 BC所成的角 因为 AD平面 PDC ，所以 ADPD 在 RtPDA中，由已知，得， 故 所以，异面直线 AP与 BC所成角的余弦值为 证明： （）因为 AD平面 PDC ，直线 PD ? 平面 PDC ， 所以 ADPD 又因为 BC AD，所以 PDBC ， 又 PDPB ，所以 PD平面 PBC . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 解： （）过点 D 作 AB的平行线交 BC于点 F，连结 PF ， 则 DF与平面 PBC所成的角等于 AB与平面 PBC所成的角 因为 PD平面 PBC ，故 PF为 DF在平面 PBC上的射影， 所以 DFP为直线 DF和平面 PBC所成的角 由于 ADBC ，DF AB，故 BF=AD=1 ， 由已知，得 CF=BC BF=2又 ADDC，故 BC DC， 在 RtDCF中，可得 所以，直线 AB与平面 PBC所成角的正弦值为 19如图，已知四棱锥PABCD ，PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形， BC AD，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为 PD的中点 （）证明： CE 平面 PAB ； （）求直线 CE与平面 PBC所成角的正弦值 【解答】 证明： （）取 AD的中点 F，连结 EF ，CF ， E为 PD的中点， EF PA ， 在四边形 ABCD中，BC AD，AD=2DC=2CB ，F为中点， CF AB，平面 EFC 平面 ABP， EC ? 平面 EFC ， EC 平面 PAB . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 解： （）连结 BF ，过 F作 FMPB于 M，连结 PF ， PA=PD ，PF AD， 推导出四边形 BCDF为矩形， BF AD， AD平面 PBF ，又 ADBC ， BC 平面 PBF ，BC PB ， 设 DC=CB=1 ，则 AD=PC=2 ，PB=， BF=PF=1 ，MF=， 又 BC 平面 PBF ，BCMF， MF平面 PBC ，即点 F到平面 PBC的距离为， MF= ，D到平面 PBC的距离应该和 MF 平行且相等，为， E为 PD中点， E到平面 PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， E到平面 PBC的距离为， 在， 由余弦定理得 CE=， 设直线 CE与平面 PBC所成角为 ，则 sin = 20由四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示， 四边形 ABCD为正方形，O为 AC与 BD 的交点，E为 AD的中点， A1E平面 ABCD ， （）证明： A1O平面 B1CD1； （）设 M 是 OD的中点，证明：平面A1EM平面 B1CD1 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【解答】 证明： （）取 B1D1中点 G，连结 A1G、CG ， 四边形 ABCD为正方形， O 为 AC与 BD 的交点， 四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD 1后，A1G OC ， 四边形 OCGA 1是平行四边形， A1OCG ， A1O?平面 B1CD1，CG ? 平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1 （）四棱柱 ABCD A1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后，BDB1D1， M 是 OD的中点， O为 AC与 BD 的交点， E为 AD的中点， A1E 平面 ABCD ， 又 BD? 平面 ABCD ，BDA1E， 四边形 ABCD为正方形， O 为 AC与 BD 的交点， AOBD， M 是 OD的中点， E为 AD的中点， EMBD， A1EEM=E ，BD平面 A1EM， BD B1D1，B1D1平面 A1EM， B1D1? 平面 B1CD1， 平面 A1EM平面 B1CD 1 21如图，在三棱锥 ABCD中，ABAD，BC BD，平面 ABD 平面 BCD ，点 E、 F（E与 A、D 不重合）分别在棱AD，BD上，且 EF AD 求证： （1）EF 平面 ABC ； （2）ADAC . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【解答】 证明： （1）因为 ABAD，EF AD，且 A、B、E、F四点共面， 所以 ABEF ， 又因为 EF ?平面 ABC ，AB? 平面 ABC ， 所以由线面平行判定定理可知：EF 平面 ABC ； （2）在线段 CD上取点 G，连结 FG 、EG使得 FGBC ，则 EG AC， 因为 BC BD，FG BC ， 所以 FG BD， 又因为平面 ABD 平面 BCD ， 所以 FG 平面 ABD ，所以 FG AD， 又因为 ADEF ，且 EF FG=F ， 所以 AD平面 EFG ，所以 ADEG ， 故 ADAC 3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD ，且 BAP= CDP=90 （1）证明：平面 PAB 平面 PAD ； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90 ，求二面角 APBC的余弦值 【解答】 （1）证明： BAP= CDP=90 ，PA AB，PDCD ， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . ABCD ，ABPD， 又PA PD=P ，且 PA ? 平面 PAD ，PD? 平面 PAD ， AB平面 PAD ，又 AB? 平面 PAB ， 平面 PAB 平面 PAD ； （2）解： ABCD，AB=CD ，四边形 ABCD为平行四边形， 由（1）知 AB平面 PAD ，ABAD，则四边形 ABCD为矩形， 在APD中，由 PA=PD ，APD=90 ，可得 PAD为等腰直角三角形， 设 PA=AB=2a ，则 AD= 取 AD中点 O，BC中点 E，连接 PO 、OE， 以 O为坐标原点，分别以OA、OE 、OP所在直线为 x、y、z轴建立空间直角坐标 系， 则：D （） ，B （） ，P （0，0，） ，C （） ， 设平面 PBC的一个法向量为， 由，得，取 y=1，得 AB平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，ABPD， 又 PDPA ，PA AB=A， PD 平面 PAB ，则为平面 PAB的一个法向量， cos = 由图可知，二面角APBC为钝角， 二面角 APBC的余弦值为 . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 4如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点 （1）证明：直线 CE 平面 PAB ； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ，求二面角 M ABD的余弦值 【解答】 （1）证明：取 PA的中点 F，连接 EF ，BF ，因为 E是 PD的中点， 所以 EFAD，AB=BC= AD，BAD= ABC=90 ，BC AD， BCEF 是平行四边形，可得CE BF，BF ? 平面 PAB ，CE ?平面 PAB ， 直线 CE 平面 PAB ； （2）解：四棱锥 PABCD中， 侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC= AD， BAD= ABC=90 ，E是 PD的中点 取 AD的中点 O，M 在底面 ABCD上的射影 N 在 OC上，设 AD=2，则 AB=BC=1 ， OP=， PCO=60 ，直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45 ， 可得： BN=MN，CN=MN，BC=1 ， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 可得： 1+BN 2=BN2，BN= ，MN=， 作 NQAB于 Q，连接 MQ， 所以 MQN 就是二面角 MABD 的平面角， MQ= =， 二面角 MABD的余弦值为：= 5如图，四面体ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD= CBD ，AB=BD （1）证明：平面 ACD 平面 ABC ； （2）过 AC的平面交 BD于点 E ，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两 部分，求二面角 DAE C的余弦值 【解答】 （1）证明：如图所示，取AC的中点 O，连接 BO，OD ABC是等边三角形， OBAC . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . ABD与CBD中，AB=BD=BC ，ABD= CBD ， ABD CBD ，AD=CD ACD是直角三角形， AC是斜边， ADC=90 DO= AC DO 2+BO2=AB2=BD2 BOD=90 OB OD 又 DOAC=O ，OB 平面 ACD 又 OB? 平面 ABC ， 平面 ACD 平面 ABC （2）解：设点 D，B 到平面 ACE的距离分别为 hD，hE则= 平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分， =1 点 E是 BD的中点 建立如图所示的空间直角坐标系不妨取AB=2 则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C （1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0，0） ， E =（1，0，1） ，=，=（2，0，0） 设平面ADE 的法向量为=（x，y，z） ，则，即，取 = 同理可得：平面 ACE的法向量为=（0，1，） cos= . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 二面角 DAE C的余弦值为 6如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD 平面 ABCD ， 点 M 在线段 PB上，PD 平面 MAC，PA=PD= ，AB=4 （1）求证： M 为 PB的中点； （2）求二面角 BPDA 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：如图，设AC BD=O ， ABCD为正方形， O为 BD的中点，连接 OM， PD 平面 MAC，PD? 平面 PBD ，平面 PBD 平面 AMC=OM， PD OM，则，即 M 为 PB的中点； （2）解：取 AD中点 G， PA=PD ，PG AD， 平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD=AD ， PG 平面 ABCD ，则 PGAD，连接 OG，则 PG OG， 由 G是 AD的中点， O是 AC的中点，可得 OG DC ，则 OGAD 以 G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为 x、y、z轴距离空间直角坐标 系， . WORD格式整理 . . . .专业知识分享 . . 由 PA=PD=，AB=4，得 D（2，0，0） ，A（2，0，0） ，P（0，0，） ，C（2， 4，0） ，B（2，4，0） ，M（1，2，） ， ， 设平面 PBD的一个法向量为， 则由，得，取 z=，得 取平面 PAD的一个法向量为 cos = 二面角 BPD A 的大小为 60 ； （3）解：，平面 BDP的一个法向量为 直 线MC与 平 面BDP所 成 角 的 正 弦 值 为 | cos | =| =| = 7如图，在三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC ，BAC=90 点 D，E ，N 分别为 棱 PA ，PC ，BC的中点， M 是线段 AD的中点， PA=AC=4