离散数字信号的时频域分析DFT

离散（数字）信号的时频域分析,Time-Frequency-DomainofDiscrete(digital)Signal&System,你了解信号吗？,模拟信号振幅连续，时间连续,数字信号振幅离散，时间离散,抽样数据信号振幅连续，时间离散,量化矩形窗信号振幅离散，时间连续,t,振幅,n,振幅,n,振幅,t,振幅,：数字信号,量化指将信号的连续取值（或者大量可能的离散取值）近似为有限多个（或较少的）离散值的过程。,信号的数字化需要三个步骤：抽样、量化和编码。数字信号是经过数字编码后的电信号!它和模拟信号的区别就是不经再解码，从传输信号中再也找不到原信号的丝毫踪迹!,抽样、量化后的信号还不是数字信号，将它转换成数字编码脉冲的过程称为编码，编码后的信号也被称为数码信号。,量化,编码,:离散时间傅里叶变换(DTFT),传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以现代社会需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。,为什么进行离散时间傅里叶变换？,:离散时间傅里叶变换(DTFT),设有离散时间序列x（n）则其离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为：,其中为数字角频率，单位为弧度而上式的逆变换称之为X(ej)的傅立叶逆变换（IDTFT）定义为：,:离散时间傅里叶变换(DTFT),模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s；模拟角频率w：每秒经历多少弧度，单位rad/s；数字频率：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad。关系：w=2pi*f；=w*TsT=N*Ts。,:离散时间傅里叶变换(DTFT),离散时间序列x（n）的傅里叶变换（DTFT），是数字角频率的复函数，也叫频谱函数，可以表示为：,其模|X（ej）|为幅度频谱，其幅角（）为相位频谱，均为数字角频率的连续函数。其中数字角频率,也是复变量ej的幅角，周期为2。从而离散时间序列x（n）的频谱X（ej），也是数字角频率的以2为周期的周期函数。,:离散时间傅里叶变换(DTFT),长度N4的单位矩形序列,:离散时间傅里叶变换(DTFT),显然是长度为N4的有限长离散时间序列，可求其DTFT为,幅度频谱为,:离散时间傅里叶变换(DTFT),:离散时间傅里叶变换(DTFT),离散时间傅里叶变换（DTFT）在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率上却是连续的周期函数，是无限长序列。而计算机只能处理变量离散有限的数字信号。,DTFT的局限性？,:离散傅立叶级数（DFS）,对于连续时间周期信号，可展开为傅立叶级数,对于序号n以N为周期的离散时间周期序列x（n），考虑到,:离散傅立叶级数（DFS）,可以展开为傅立叶级数,n，k为整数值,:离散傅立叶级数（DFS）,当整数k取值变化时，上式是以N为周期的序列。可以看出上式的级数也是以N为周期，所以求和只限于N项。,定义为离散时间周期序列x（n）的离散傅立叶级数系数（DFS）记为,k,k,:离散傅立叶级数（DFS）,其逆变换即,上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都是以N为周期的离散周期序列。,k,:离散傅立叶级数（DFS）,周期为N=10的单位矩形周期序列x（n）如下图：,其离散傅立叶级数（DFS）为,:离散傅立叶级数（DFS）,其幅度频谱为,频谱图如下图：,离散傅立叶级数（DFS）,DFS的局限性在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间n上是离散的，在频率上也是离散的，且频谱是的周期函数，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。,:离散傅里叶变换(DFT),离散时间周期序列x（n）是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为,时间点序号n是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为x（n）的主值序列：,主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。,:离散傅里叶变换(DFT),同理，x（n）的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：,也可以看出频率点序号k也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之X（k）为的主值序列：,主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。且主值序列的长度均为N（即n，k0，1，2，N1）。,:离散傅里叶变换(DFT),在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。这就是离散傅里叶变换（DFT）,逆变换（IDFT）,如果其时域和频域都仅取主值序列，离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS）。离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列x（n）和X（k）都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列x（n）和X（k）。,:离散傅里叶变换(DFT),在N点DFT中，无论时域还是频域，变换区间的采样点数都只有N个（即n，k0，1，2，N1），所以我们定义一个变换因子,:离散傅里叶变换(DFT),有效长度N14的单位矩形序列,:离散傅里叶变换(DFT),:离散傅里叶变换(DFT),如果变换区间等间隔采样点数N16（注意：可以补零延伸为序列有效长度N1的整数倍），则其16点的DFT频谱为,其16点DFT的幅度频谱图如下：,若N32，即在有限长离散时间序列尾部补零更多位，则32点的DFT谱线更密。这是因为增长观察时间，可提高频率分辨率。但DFT频谱的包络，始终与非周期序列的离散时间傅立叶变换DTFT的连续频谱曲线一致。这又表明DFT是DTFT连续频谱的离散化。综上所述，DFT是数码时代信号分析与合成的最重要的工具，理论上讲，几乎所有的物理信号（连续的或离散的、周期的或非周期的）的傅立叶分析都可以采用DFT实现计算机运算。,:离散傅里叶变换(DFT),栅栏效应与增加密度,DFT实质上是将连续频谱抽样成N点的离散频谱，理论上总会有频谱失真，即栅栏效应。为提高精度，可增加谱线密度，即可在有限长离散时间信号尾部补零多位（增加采样点数N），增大观察时间，提高频率分辨率。,:离散傅里叶变换(DFT),频谱泄漏与最佳加窗,DFT是对有限长序列进行变换，如果离散时间序列x（n）的长度无限，就要进行截断处理，相当于乘以单位矩形序列加窗处理。但加窗处理的副作用有二：1、频谱泄漏谱线向附近展宽（主瓣宽度为4/N），引起混叠失真；2、谱间干扰频谱主瓣两侧产生许多旁瓣，淹没弱小频率成分，或被误认为其它谱线。上述截断效应不可避免，实际中，尽量选用能量集中的窗函数，如汉宁窗等。理论上可以尽量增补加窗序列的点数N，加长变换的区间，尽量减少截断效应。,频谱泄漏与最佳加窗,频谱泄漏与最佳加窗,频谱泄漏与最佳加窗,x(n)=0.01cos(0.45pi*n)+sin(0.3pi*n),DFT的计算量与处理速度,DFT存在的问题及其解决办法大都与采样点数N有关，理论上讲增加采样点数N便可以提高计算精度，避免或减少频率失真。但仅仅简单地增加采样点数N会不会带来新的问题呢？,:离散傅里叶变换(DFT),点数N与DFT的计算量的关系。因为有限长序列x（n）的N点DFT为复数项级数对于长度为N的序列，完成其N点DFT计算需要进行N2次复数乘法和N（N1）N2次复数加法。逆变换运算量亦然。假设一个点数N1024的信号，则DFT计算