高考理数　椭圆及其性质

10.1椭圆及其性质,高考理数(课标专用),考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014课标,20,12分,0.433)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.,A组统一命题课标卷题组,五年高考,解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=.,设=t,则t0,SOPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.,思路分析(1)通过直线AF的斜率求得c的值,通过离心率求得a,进而求出b2,从而得到E的方程;(2)设出直线l的方程和点P、Q的坐标,联立直线l与椭圆方程,利用弦长公式求得|PQ|的长,根据点到直线的距离公式求得OPQ边PQ上的高,从而表示出OPQ的面积,利用换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值,从而得直线l的方程.,解题关键对于第(2)问,正确选择参数,表示出OPQ的面积,进而巧妙利用换元法分析最值是解题的关键.,2.(2014课标,20,12分,0.185)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.B.C.D.,答案D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=(x+a),直线PF2的方程为y=(x-c).联立得y=(a+c),解题关键通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.,2.(2017课标,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.,答案A本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.,方法技巧椭圆离心率的求法:(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=求解.(2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的范围取舍方程的解.,3.(2016课标,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.,答案A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.,思路分析根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.,方法点拨求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而利用e=求得离心率.,4.(2018课标,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:|,|,|成等差数列,并求该数列的公差.,解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、等差数列的概念及其运算.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案A由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1,选A.,2.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(00)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.,解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,可得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.,从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.,解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.,4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.,解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而得a=b,c=2b.故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.,评析本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.,考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.,答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质.由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B.,2.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.,答案,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.、两式相减并整理得=-.结合已知条件得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.,评析本题考查了直线和椭圆的位置关系.考查了线段的中点问题,利用整体运算的技巧是求解的关键.本题也可以利用韦达定理求解.,3.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.,答案-1;2,解析本题考查椭圆与双曲线的几何性质.解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭圆M的两个焦点.直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y=x,=.设m=k,则n=k,则双曲线N的离心率e2=2.,方法总结求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系,从而求出c与a的比值,即得离心率.,4.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.,解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得,所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1CAB,所以=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.,5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.,解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|=2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF1PF2,所以+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,考点一椭圆的定义和标准方程1.(2011课标,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为.,C组教师专用题组,答案+=1,解析设椭圆方程为+=1(ab0),因为AB过F1且A、B在椭圆上,如图,则ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.又离心率e=,c=2,b2=a2-c2=8,椭圆C的方程为+=1.,失分警示本题易将a求出后当成a2,从而得出错误方程+=1等.评析本题主要考查椭圆的定义和标准方程,以及离心率,属中等难度题.,2.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.,解析(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1.点T坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=x+m(m0),由方程组可得所以P点坐标为,|PT|2=m2.,设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2),由0,解得-b0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.,解析(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.,=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而=+y1y2,=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,所以cos0.又,不共线,所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,考点二椭圆的几何性质1.(2012课标,4,5分)设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.,答案C设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得PF2Q=60,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,a-c=2c,则e=,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.,2.(2013辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=,则C的离心率e=.,答案,解析如图,设右焦点为F1,|BF|=x,则cosABF=.解得x=8,故AFB=90.由椭圆C及直线AB关于原点对称可知|AF1|=8,且FAF1=90,FAF1是直角三角形,|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e=.评析本题考查椭圆的定义、几何性质、余弦定理等知识.注意椭圆的对称性是解题的关键.,3.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为10,故0,因为x2sin-y2cos=1可化为+=1,所以方程x2sin-y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆.,4.(2018山西康杰中学4月月考,15)设F1、F2为椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为.,答案+=1,解析F2AB是面积为4的等边三角形,ABx轴,A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得|F1A|=|F1B|=.又|F1F2|=2c,F1F2A=30,=2c.又=2c=4,a2=b2+c2,由解得a2=9,b2=6,c2=3,椭圆C的方程为+=1.,考点二椭圆的几何性质1.(2018安徽宣城二模,7)已知椭圆+=1(ab0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若=0,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.,答案D由题意知,M(-a,0),N(0,b),F(c,0),=(-a,-b),=(c,-b).=0,-ac+b2=0,即b2=ac.又知b2=a2-c2,a2-c2=ac.e2+e-1=0,解得e=或e=(舍).椭圆的离心率为,故选D.,2.(2018豫南九校3月联考,9)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A.B.C.D.,答案A不妨设椭圆方程为+=1(a1),与直线l的方程联立得消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由题意易知=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)0,解得a,所以e=,所以e的最大值为.故选A.,3.(2016江西五市八校二模,4)已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的焦点坐标为()A.(,0)B.(0,)C.(,0)或(,0)D.(0,)或(,0),答案B因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,则m=4,所以圆锥曲线x2+=1即为椭圆x2+=1,易知其焦点坐标为(0,),故选B.,4.(2017湖南百校联盟4月联考,10)已知椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.,答案A圆O与直线BF相切,圆O的半径为,即OC=,四边形FAMN是平行四边形,点M的坐标为,代入椭圆方程得+=1,5e2+2e-3=0,又00)的右焦点为F,椭圆C上的两点A、B关于原点对称,且满足=0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.-1,1),答案A设椭圆左焦点为F,连接AF、BF.由椭圆的对称性可知,四边形AFBF为平行四边形,又=0,即FAFB,故平行四边形AFBF为矩形,所以|AB|=|FF|=2c.设|AF|=n,|AF|=m,则在直角三角形AFF中m+n=2a,m2+n2=4c2,得mn=2b2,得+=,令=t,得t+=.又由|FB|FA|2|FB|得12,则=t1,2,t+=,又=,则可得e,即离心率的取值范围是.故选A.,解题关键根据题意构造关于离心率e的不等式是求解本题的关键.在解决椭圆有关问题时注意定义的运用.,思路分析设出椭圆左焦点F,由对称性知四边形AFBF为平行四边形,由=0,知该平行四边形为矩形,设|AF|=n,|AF|=m.由椭圆定义及勾股定理得mn=2b2,进而由m2+n2=4c2得+=.再由|FB|FA|2|FB|得的范围,从而利用相应函数的性质得出离心率的取值范围.,2.(2018湖南湘东五校联考,11)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60PF1F2120,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.,答案B由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|PF1|cosPF1F2=4c2+4c2-22c2ccosPF1F2,即|PF2|=2c,所以a=c+c,又60PF1F2120,-cosPF1F2,所以2ca(+1)c,则,即e.故选B.,思路分析首先根据余弦定理求出等腰三角形底边PF2的长,进而根据椭圆的定义可得椭圆的长半轴长a=c+c,结合600)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.,答案A设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),由题易知|x0|+有解,即c2(+)min,又=b2-,b2+c2=a2,b2,所以e2=,又0e1,e1,故椭圆C的离心率的取值范围是,故选A.,解题关键本题考查了平面向量的数量积在解题中的应用,体现了化归与转化思想,解答此题的关键在于把存在点P使F1PF2为钝角转化为与的数量积小于0有解.,一题多解如图,椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心,c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc,由bc,得a2-c2c2,即a22c2,即e2,又0e1,0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.,答案D解法一:|OA|=|OF2|=2|OM|,则M在椭圆C的短轴上,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=|F1F2|,AF1AF2,从而AF1F2OMF2,=,又|AF1|2+|AF2|2=(2c)2,|AF1|=c,|AF2|=c,又|AF1|+|AF2|=2a,c=2a=.故选D.解法二:|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上,在RtMOF2中,tanMF2O=,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|=|F1