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文档简介

2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,第九章欧几里得空间,5子空间,一、正交向量组,9.2标准正交基,二、标准正交基,三、正交矩阵,设为欧氏空间，非零向量,1.若则是正交向量组.,一、正交向量组,定义,如果它们两两正交，则称之为正交向量组,注意,（orthononalvectors）.,证：设非零向量两两正交.,令,则,由知,故线性无关.,2.正交向量组必是线性无关向量组.,4.维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,3.欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,但不是正交向量组.,维欧氏空间中，由个向量构成的正交向量组,称为正交基（orthogonalbasis）；,1、标准正交基的定义,由单位向量构成的正交基称为标准正交基（normalorthogonalbasis）.,注意,1.由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准,正交基.,二、标准正交基,2.维欧氏空间V中的一组基为标准正交基,3.维欧氏空间V中的一组基为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,4.维欧氏空间V中标准正交基的作用:,设为V的一组标准正交基，则,1)设,由，,这里,3),（定理1）维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基.,2、标准正交基的构造施密特(Schimidt)正交化过程,（1）,证：设欧氏空间中的正交向量组，,对作数学归纳法,当时,就是一组正交基了.,假设时结论成立，即此时可找到向量,使,成为一组正交基.,现在来看的情形.,所以必有向量不能被线性表出，,因为,作向量,待定,从正交向量组的性质知,于是取,即为正交向量组,由归纳法假设知，对这个向量构成的正交组,可得,可扩充得正交基.,定理得证,（2）,都可找到一组标准正交基使,（定理2）对于维欧氏空间中任一组基,证：,基本方法逐个构成出满足要求的,首先，可取,一般地，假定已求出是单位正交的，且,当时，因为有,由知不能被线性表出,按定理1证明中的方法，作向量,则且,再设,可知是单位正交向量组,从和知与,是等价向量组，,因此，有,由归纳原理，定理2得证.,则过渡矩阵是上三角形（即）,注意,且,1.由,知，若,2.Schimidt正交化过程:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,例1把,变成单位正交的向量组.,解：令,正交化,再单位化,即为所求,设与是维欧氏空间V中的,两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,即,3、标准正交基间的基变换,或,由于是标准正交基，所以,由公式，有,把A按列分块为,由有,则称A为正交矩阵（orthogonalmatrix）.,（2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交,矩阵.,三、正交矩阵,1、定义,2、简单性
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