高三数学集训讲义——函数-教育机构

高三数学“十一”集训讲义高三数学“十一”集训讲义六次课轻松搞定高三函数问题讲义说明1.本讲义是根据课程标准的要求，在深刻研究近几年高考试题的基础上，针对高中数学的主线知识函数，进行系统的讲解和分析，旨在帮助使用本讲义的教师和学生，领会高考中对函数问题的考查方式和常用的函数问题的处理方法.讲义中题目的来源多为2009到2012年课标考区的高考真题或高考真题的改编，有非常高的参考价值和训练价值. 2.本讲义只是“十一”集训时使用讲义的一个样例.使用本讲义时可根据自己所在地区的特点以及学生的具体情况，适当删减、增加内容或有选择性地使用. 3.使用本讲义者可根据文理科学生的特点，对讲义内容进行灵活的取舍，在所讲问题的深度上自主把握.讲义特色1.内容符合新课标的要求；2.解题方法比较全面，有不少例题使用了多种方法进行解答； 3.注重方法技巧的梳理和归纳；4.习题根据难度有分层.适用对象高三学生课时安排本讲义共六讲，每讲两个课时，共12课时.讲义结构编号课 题主要内容课时容量第一讲函数的奇偶性与周期性奇偶性与周期性的含义与应用；利用图象分析函数的奇偶性与周期性2课时第二讲函数的单调性函数单调性；利用图象分析函数的单调性；函数单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；求函数的单调区间.2课时第三讲函数的极大（小）值与最大（小）值函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)；利用导数解决某些实际问题.2课时第四讲函数的零点与含参数不等式函数的零点与方程根的关系；借助于函数图象处理函数零点的问题；不等式与函数、方程的联系；运用分类与整合的思想处理含参数的不等式.2课时第五讲函数模型及其应用建立函数关系的方法；运用函数的知识和方法解决问题.2课时第六讲分段函数分段函数的定义；求分段函数的定义域、值域；运用函数图象来研究分段函数的性质等.2课时第一讲 函数的奇偶性与周期性核心考点 奇偶性与周期性的含义与应用；利用图象分析函数的奇偶性与周期性.1. 内容梳理 函数奇偶性的定义：设函数的定义域为D，对D内的任意一个x，都有，若，则称为奇函数；若，则称函数为偶函数.函数周期性的定义：对于函数，若存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足，则称函数为周期函数，非零常数T为周期. 对于一个周期函数，若在它的所有周期中存在一个最小的正数，则称这个最小正数为最小正周期.特定的等式，所呈现的等量关系恰是函数奇偶性与周期性的核心要素，把握好这几个等式，是正确判定和应用函数奇偶性与周期性的关键.2. 典型例题例1 若函数与的定义域均为，则（ ） A与均为偶函数 B为奇函数，为偶函数 C与均为奇函数 D为偶函数，为奇函数思路分析 试题给出了函数与的解析式，依据定义便可判定其奇偶性.参考答案 为偶函数；为奇函数. 正确选项为D.反思总结 依据定义判定函数的奇偶性是基本方法，体现了概念在解题中的重要作用.拓展训练1 (2012陕西高考，理2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 例2 ，是定义在上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A充要条件 B充分不必要的条件 C必要不充分的条件 D既不充分也不必要的条件思路分析 试题既要判定充分性，又要判定必要性，因此要判定两个命题“若A则B”与“若B则A”的真与假.参考答案 ，均为偶函数；为偶函数.由此可知“，均为偶函数”是“为偶函数”的充分条件.令，则既非奇函数，也非偶函数，是奇函数；而是偶函数，由此可知“，均为偶函数”不是“为偶函数”的必要条件. 综上，正确选项是B.反思总结 依据函数的奇偶性的定义，既可判定函数具有奇偶性，也可判定函数不具有奇偶性. 判定命题“若为偶函数，则，均为偶函数”为假命题，采用了举反例的方法，这是一种间接有效的常用方法.拓展训练2 (2012重庆高考，理7)已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件例3 若是奇函数，则 思路分析 既可依据函数的奇偶性的定义，由导出关于a的方程；也可由导出关于a的方程.参考答案1 是奇函数参考答案2 ，此时，确为奇函数.反思总结 参考答案2采用了特殊值法，简化了求解过程，但应注意，只是为奇函数的必要条件，需对结论进行验证.拓展训练3 (2012辽宁高考，理11改编)设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.则函数f(x)在上的零点个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 例4 设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则（ ）A B C D思路分析 由于函数解析式中含有参数b，应先确定参数b，再由奇函数的性质，求出当时，函数的解析式，再求的值；也可将转化为直接求值.参考答案1 由为定义在上的奇函数,知,解得可知：当时，因而 ，即，可得故选A参考答案2 由为定义在上的奇函数,知,解得由此可得，故选A反思总结 参考答案2体现了转化的思想，有效地应用了奇函数的性质，从而简化了求解的过程.拓展训练4 (2012上海高考，理9) 已知是奇函数，且，若，则 .例5 已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时， ，则函数的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D.9思路分析 是R上最小正周期为2的周期函数，0x2，即区间0,2），恰是一个周期，只要确定在此区间上的图象与x轴的交点个数，即可确定函数的图象在区间0,6上与x轴的交点个数.参考答案1 解，得，可知函数的图象在区间0,2）上与x轴的交点个数为2，故函数的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为6，正确选项是A.参考答案2 画出函数在区间0,2）上的图象，由于是R上最小正周期为2的周期函数，因此，可画出区间0,6上函数的图象（如图）.由此可知，函数的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为6，正确选项是A.反思总结 两种方法，同一思路，参考答案1借助于解方程，参考答案2借助于函数图象. 两种方法都是通法，对处理函数问题都具有普遍意义.拓展训练5 (2012山东高考，理8)定义在上的函数满足.当时，当时，.则（ ）A.335 B.338 C.1678 D.2012例6 设函数 ，若，则的取值范围是（ ）A BC D思路分析 依题意，函数是一个分段函数， 为由确定实数的取值范围，就需对实数a进行分类讨论；如果画出函数的图象，就会发现新的思路.参考答案1 若，则即为，而，因此可得，解得，若，则即为，可化为，解得，.综上，实数的取值范围是或，故选C参考答案2 画出的图象，可以判定函数是奇函数，因此，可化为，即若，观察图象，取位于x轴上方的部分便可知，满足的实数的取值范围是或，故选C反思总结 题设中并未给出函数奇偶性的条件，只呈现出分段性的特征，所以采用分类讨论的方法求解，是理所当然的. 但是画出函数的图象，判定函数为奇函数，将简化为，就能不通过计算，直接得出结论. 由此可见，联系图象分析函数的问题，是十分重要的思维原则.拓展训练6 (2012福建高考，理7)设函数则下列结论错误的是（ ）A.D（x）的值域为0,1 B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数 D. D（x）不是单调函数A组练习1. 设函数为奇函数，则a = . 2. 设函数，是偶函数，则实数_3. 设是定义在R上的奇函数，当x0时，则 .4. 设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A +|g(x)|是偶函数 B -|g(x)|是奇函数C | +g(x)是偶函数 D |- g(x)是奇函数B组练习1. 若函数为偶函数，则实数 .2. 若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 3. 设是奇函数，则使的x的取值范围是（）ABCD4. 已知在R上是奇函数，且，当x(0,2)时，则（ ） A. -2 B. 2 C. -98 D. 98参考答案拓展训练1.D 2.D 3.B 4. 5.B 6.CA组练习1. . 2. . 3. . 4. A . B组练习1. 0 . 2. 3. A. 4. A . 第二讲 函数的单调性核心考点 理解函数单调性，会利用图象分析函数的单调性. 了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.单调性是高考的考查重点.有关函数单调性的问题大多具有综合性，要综合应用函数、导数及不等式的知识和方法分析和解决问题.1. 内容梳理 函数单调性的定义：设函数的定义域为D，区间MD.对M内的任意两个值，当时，有，则称函数在区间M上是增函数；当时，有，则称函数在区间M上是减函数.利用导数判定函数的单调性的法则：若在区间内，则函数在此区间是增函数，为函数的的增区间. 若在区间内，则函数在此区间是减函数，为函数的的减区间.无论是函数单调性的定义，还是利用导数判定函数的单调性的法则，都是以不等式的形式呈现，体现出函数单调性与导数、不等式的紧密联系，是试题综合性的重要体现.2. 典型例题 例1 函数的单调递增区间是（ ）A. B.（0，3） C. （1，4） D. 思路分析 由于函数解析式中既有一次函数，又有指数函数，理应用求导的方法求单调区间.参考答案 ，其中恒成立，当时，故单调递增区间是，正确选项是D.反思总结 应从分析函数解析式的结构特征入手，合理选用判定单调性的方法与步骤.拓展训练1 （2012上海高考，理7）已知函数（为常数）.若在区间上是增函数，则的取值范围是 .例2 下列区间中，函数在其上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 思路分析 函数的解析式表明其图象是由基本函数通过平移、对称和翻折等变换所得，因此应选用图象法.参考答案 按的程序，画出函数的图象（如图），可知函数在上为增函数，故选D.反思总结 图象法是判定函数单调性的有效方法，具有直观简捷的优点，为此，应熟悉基本函数的图象，并熟练掌握函数图象的各种变换（如平移、对称和翻折等）.拓展训练2 （2012广东高考，理4）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+例3 设，则（ ）A. B. C. D.思路分析 a，b，c是三个不同函数的函数值，不能用一个函数的单调性比较出大小关系，应根据三个不同函数的单调性，判定各自的取值范围，得出大小关系的结论.参考答案 由，可知函数都是减函数，因此，且.综上可知，正确选项是B.反思总结 比较大小是一类常见的数学试题，如果是同一函数的函数值比较大小，可直接利用一个函数的单调性得出结论；如果是不同函数的函数值比较大小，则要灵活运用各相关函数的单调性，才能得出结论，体现出试题的综合性，高考试题以后者为主.拓展训练3 （2012全国大纲高考，理9）已知x=ln ，y=log5 2，则（ ）A.xyz B.zxy C.zyx D.yzx例4 已知函数的图象如图所示，则a、b满足的关系是（ ）A. B. C. D. 思路分析 函数的解析式中含有两个参数a与b，结论是判定含a与b及其倒数的不等关系，应从函数的解析式的数量特征与图象具有的几何特征的联系和转化入手.参考答案 函数的解析式显示：是一个由指数函数与对数函数组成的复合函数，其中是增函数；图象显示：函数是增函数，且由此可知，且，故，即，正确选项是A.反思总结 兼顾函数解析式的数量特征与图象的几何特征，是判定数量关系的重要途径和方法，这就是数形结合的思想的体现.拓展训练4 （2012四川高考，理5）函数的图象可能是（ ）例5 已知偶函数在区间上单调增加，则满足的x 取值范围是（ ）A.（，） B. ，） C.（，） D. ，）思路分析 题设的函数未给出解析式，借助于符合题意的函数图象，可将转化为关于x的不等式，进而求解.参考答案 如图，是偶函数，在区间上单调增加.由于图象关于y轴对称，可知，解得，故选A.反思总结 面对未给出解析式的“抽象”函数，化“抽象”为“具体”是一个基本的思维原则，借助于图象是体现这一原则的有效方法，尤其是在解答选择题时，效果更好. 此题综合了函数的奇偶性和单调性，又体现了数形结合的数学思想.拓展训练5 （2012山东高考，理3）设且，则“函数在R上是减函数 ”是“函数在R上是增函数”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件例6 已知函数R.(1) 讨论函数的单调区间；(2) 设函数在区间内是减函数，求a的取值范围.思路分析 是三次函数，且含有参数a，在求导确定单调区间时要注意对参数a的讨论. 参考答案 （1），求导，得当时，在上递增.当，解，得，且，故在递增，递减，递增.（2）在区间内是减函数，且，解得.反思总结 这是一道通过求导和对参数的分类讨论，求得三次函数的单调区间的解答题，考查了函数、导数和方程、不等式的知识和方法. 综合性很强，但解题的脉络清楚，程序流畅，难度适中，应力求达到会且做对的要求.拓展训练6 （2012北京高考，理18）已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.A组练习1. 函数的单调递增区间是 2. 函数的单调增区间为( )ABCD3. 的值域为( ) A B C D4. 设，则( )AB CD B组练习1. 若函数R)，则下列结论正确的是( )AR，在上是增函数 BR，在上是减函数CR，是偶函数 DR，是奇函数 2. 已知函数若则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 函数的定义域为R，对任意xR，则的解集为( )A.（-1，1） B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，+）4. 已知函数 是奇函数.() 求a，c的值； () 求的单调区间.参考答案拓展训练1. 2.A 3.D 4.D 5.A 6.(1)a=3,b=3; (2)增区间： 和，减区间：；当时，最大值为，当时，最大值为1A组练习1. . 2. D. 3. A. 4. D. B组练习1. C. 2. C. 3. B. 4. 解： () 因为函数为奇函数，所以，对任意的，即又，所以可得 解得() 由(1)得当时，由得当变化时，的变化情况如下表：00函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，所以函数在上单调递增第三讲 函数的极大（小）值和最大（小）值核心考点 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.1. 内容梳理 函数的极值与极值点的定义：已知函数，是定义域内任意一点，若对附近的所有点x, 都有（或），则称函数在点处取极大（小）值，并称为极大（小）值点. 函数的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）值.利用导数求函数极值的方法：(1)求导数；(2)求方程的所有实数根；(3)考查在每个根附近，从左到右，若的符号由正变负（由负变正），则是极大（小）值. 若在附近的左右两侧符号不变，则不是极值.利用导数求函数最大（小）值的步骤：求函数在开区间内使的点；计算在开区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大（小）的一个为最大（小）值.利用导数判定函数的极大（小）值或最大（小）值，都是以不等式的形式呈现，体现出函数极大（小）值和最大（小）值与导数、不等式的紧密联系，是试题综合性的重要体现.2. 典型例题 例1 函数在 处取得极小值.思路分析 求导；解方程求出；考查在附近， 的符号的变化.参考答案 令得或当时，单调递减；当或时，单调递增，故函数在处取得极小值.反思总结 这是一道求极值点的试题，是容易题，只要按照方法和步骤操作，就能解决问题，但求解过程中综合考查函数、导数与方程、不等式的命题意图十分明确.拓展训练1 （2012陕西高考，理7）设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点学例2 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有( )A1个 B2个 C3个 D 4个思路分析 观察导函数在内的图象，既要关注方程的所有实数根的个数，又要满足在根附近，从左到右，的符号应是由负变正.参考答案 导函数f (x)在(a ,b)内的图象与x轴有4个交点但只有从左边数第二个交点x=x0满足x x0时， f (x) x0时， f (x)0即在x0附近，当xx0时，f(x)递增所以x=x0是极小值点其他交点均不符合极小值点的条件故选A反思总结 此题揭示了极值点的数量特征与导函数图象的几何特征的密切联系，体现了考查数形结合的数学思想的命题意图，把握极值与最值与导函数图象的联系是判定极值与最值的有效方法拓展训练2 （2012重庆高考，理8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数有极大值和极小值 B.函数有极大值和极小值 C.函数有极大值和极小值 D.函数有极大值和极小值例3 若函数在处取极值，则 .思路分析 依题意， 是方程的根，可以依此确定参数的值.参考答案 由，依题意解得 反思总结 依据极值的定义，将问题转化为由是方程的根求的值，函数、导数与方程的联系自然又密切，命题的导向作用十分明确，既体现综合性，又有效控制难度，这就是近几年的命题趋势.拓展训练3 （2012重庆高考，理16）设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（） 求的值；（）求函数的极值. 例4 设R，若函数（R）有大于零的极值点，则( )A. B. C. D.思路分析 函数（R）有大于零的极值点，就是方程有大于零的实数根.参考答案 ，依题意，可知且，解得故选B.反思总结 这是一道中等难度的综合性试题，运算量不大，但函数、导数与方程、不等式的联系自然而且紧密，求导，解方程，由方程有正实根，转化为关于a的不等式，并求解，脉络清楚，一气呵成，应加强训练，有效应对.拓展训练4 （2012全国大纲高考，理10）已知函数的图象与x恰有两个公共点，则c（ ）A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1例5 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=，则S的最小值是_ 思路分析 S的变化取决于平行于底边的直线的变化，应选择刻画平行于底边的直线的变化的量为自变量，并建立表示S的目标函数参考答案 设，则梯形DBCE的周长为，面积为.所以 因为，当时，S(x)单调递减，S(x)单调递增故时，S取得最小值反思总结 这是一道由图形的变化引发的最小值的问题，考察图形的变化，选好自变量，建立目标函数是关键. 找到目标函数后，利用导数求最小值就顺理成章了.拓展训练5 （2011福建高考，理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.（）求的值;（）若该商品的成品为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大例6 设函数，其中a为正实数.（）当时，求的极值点；（）若为R上的单调函数，求的取值范围.思路分析 第（）问可按求极值的常规方法. 第（）问，由为R上的单调函数，求的取值范围，则需要不等式在R上恒成立，导出关于的不等式，并求解.参考答案 +0-0+极大值极小值（）当时，由得解得由,可得所以,是极小值点,是极大值点.（）因为为R上的单调函数，所以在R上不变号，结合与a0，知在R上恒成立，因此综上，反思总结 这是一道解答题，难度中等.综合考查函数、导数与方程、不等式的基本特点十分明显，既要熟练掌握求函数的极值点的基本方法与步骤，又要灵活运用转化的思想，将为R上的单调函数，转化为关于的不等式.拓展训练6 （2012高考江苏，18节选）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点.A组练习1. 设R，若函数，R有大于零的极值点，则( )A. B. C. D.2. 函数在区间-1，1上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 3. 设aR，函数x=2是函数的极值点，则 a的值是 .4. 函数，已知和x为的极值点，则a= ，b= .B组练习1. 设直线x=t 与函数， 的图象分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为( )A.1 B. C. D. 2. 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是( ) 3. 已知函数.（）求的单调区间；（）求在区间0,1上的最小值.4. 设函数在及处取得极值（）求a，b的值；（）若对于任意的x0，3，都有f(x)0；当时，f (x)0所以，当x=1时，f (x)取得极大值f (1)=5+8c，又f (0)=8c，f (3)=9+8c则当x0，3时，f (x)的最大值为f (3)=9+8c因为对于任意的x0，3，有f (x)c2恒成立，所以9+8cc2，解得c9，因此c的取值范围为(，1)(9，+)第四讲 函数的零点与含参数的不等式核心考点 了解函数的零点与方程根的联系，会借助于函数图象处理函数零点的问题. 把握不等式与函数、方程的联系，会运用分类与整合的思想处理含参数的不等式.1. 内容梳理 函数的零点就是方程的根，函数的零点也是函数的图象与x轴交点的横坐标，引入函数零点的概念，沟通了函数的性质与图象、函数与方程的联系，是数形结合思想的重要体现. 含参数的不等式，需要灵活运用函数与不等式的知识与方法，运用联系与变化、数形结合、分类与整合的思维策略，可有效考查运算能力和推理能力，在数学高考试题中出现的频率较高.2. 典型例题例1 设函数则（ ）A. 在区间内均有零点B. 在区间内均无零点C. 在区间内有零点，在区间内无零点D. 在区间内无零点，在区间内有零点思路分析 设，若，则连续函数在区间内有零点；若，则不能判定连续函数在区间内一定无零点. 应通过对函数单调性的分析，考察在区间内是否有零点.参考答案1 由得，当时，可知函数在区间单调递减，由故函数在区间无零点. 又，故函数在内有零点，应选D.参考答案2 由于，画出函数和的图象，观察图象可知：两曲线在内无交点，在内有交点，故选D. 反思总结 函数的零点既是一种特定的数量关系，又与图象的几何特征紧密联系，因此判定函数的零点的有无及范围，都应从数与形的两个侧面进行分析和研究. 参考答案1的求解过程中，借助于导数对函数的单调性做出精确地判断，十分关键，体现了试题的综合性.拓展训练 1 下列函数中，在（-1,1）上有零点且单调递增的是（ ）A. B. C. D. 例2 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 思路分析 题设给出的四个选项中的区间长度很小，图象难以达到要求的精度，应通过数量关系的精准分析，确认符合题意的结论.参考答案 由，得， 可知函数在定义域R上是增函数. 由，可得，故函数的零点所在的区间为，应选C. 反思总结 在利用导数确认函数在定义域R上的单调性基础上，由判定函数的零点所在的区间为.拓展训练2 (2012天津高考，理4)函数在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3例3 若函数有两个零点, 则实数a的取值范围是 .思路分析 函数有两个零点，等价于与的图象有两个不同的公共点. 由于a0，且a1，应在和两种不同条件下讨论函数图象的关系.参考答案 曲线与y轴的交点是(0,1)，直线的斜率为1，与y轴的交点是(0,a).如图1，当时，曲线与直线只有一个公共点，不合题意.如图2，当时，曲线与直线必有两个个公共点. 故使函数有两个零点的实数a的取值范围是.反思总结 此题采用图象法便可直接得出结论，但必须是在对图象进行既定性，又定量的前提下，才能得出正确的结论.拓展训练3 (2012天津高考,理14)已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_.例4 已知是函数的一个零点，若，则（ ） AB CD思路分析 题目要判定函数零点左右的函数值的正与负，为此，需要借助于导数判定函数在零点附近的单调性.参考答案 由，得恒成立，所以函数在区间与内都是增函数，当时，必有，故选B. 反思总结 既要关注与相等关系相联系的函数零点，又要关注在零点左右与不等关系相联系的函数单调性.拓展训练 (2012福建高考,理15)对于实数a和b，定义运算“”：， 设，且关于x的方程为f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_.例5某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，判断函数的零点的个数是 . 思路分析：函数的零点的个数即为方程的解得个数，因此需要根据图形研究函数随x的变化情况，也就是函数的单调性.参考答案：连接,由图可知，故的最小值为，此时.当x由0向逐渐变大时，的函数值由向逐渐减小，而故此时必有唯一一个x，使得成立；当x由向1逐渐变大时，的函数值由向逐渐减大，而故此时必有唯一一个x，使得成立.综上方程有两个解，即函数有两个零点.反思总结：本题构思巧妙，设计匠心独运，除了考查函数的零点与单调性之外，还涉及数与形的对应与转换，以及根式的估值等知识，是一道难度较大，对推理的要求很高，但运算并不复杂的综合题.求解过程中既要实施函数的零点与方程的解之间的转换，又要抓住函数与图形之间的对应关系，其中借助于几何图形的特征，找到函数的最小值是至关重要的一步.本题摆脱了传统的对函数零点的考查方式，考查方式新颖，若多加思考，融会贯通，一定大有裨益.拓展训练 已知函数的零点，且，则 . 例6 设函数，如果，求a的取值范围. 思路分析 比较条件与结论，可知应对a的进行分类讨论，并最终加以整合.参考答案 若，不满足题设条件；若，可知的最小值为；若，可知的最小值为.为使，恒成立的充要条件是，解得a的取值范围.反思总结 分类与整合的数学思想是分析和解决含参数的不等式的基本思路和方法.拓展训练 (2012高考江苏,13)已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 A组练习 1. 函数的零点个数为 .2. 函数的零点所在的一个区间是( )A B C D3. 函数的零点个数为( ) A B C D4. 已知函数的周期为2，当时， ,那么函数的图象与的图象的交点共有( )A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 1个B组练习1. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,则 可以是( )A. B. C. D. 2. 设函数.若，则x0的值为 .3. 若对任意，恒成立，则的取值范围是 4. 设函数若当时，求a的取值范围参考答案拓展训练1. B 2. B 3. 4. 5. 3 6. 9A组练习1. 2. 2. C. 3. C. 4. A. B组练习 1. A. 2. . 3. . 4. 解: ，令，则由，得若，则当时，为增函数，而，从而当时，即若，则当时，为减函数，而，从而当时，即，因此，当时，对于，不恒成立综上，的取值范围为 第五讲 函数模型及其应用 核心考点 函数是中学数学最基本、最核心的知识点，描述量的依存关系和制约关系，刻画数量本质特征.在提出数学问题时，剔除问题的非数学特征，抽象其数量特征，建立函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题. 1. 内容梳理 用联系和变化的观点着眼于变量与变量之间，相互联系又相互制约的关系，相互沟通，相互转换，达到解决解决问题的目的. 2. 典型例题例1 如图所示，单位圆中弧的长为表示弧与弦 所围成的弓形面积的倍，则函数的图象是（ ） 思路分析 对阴影部分的面积的变化与弧长之间的关系，既可以定性分析，也可以定量刻画.参考答案1 观察题目给出的A， B， C， D四个选项中，都有一条线段，依题意，2S扇形AOB =；当时，S弓形AOB S扇形AOB ，故. 应选D.参考答案2 当时，（S扇形AOB -SAOB）；当时，（S扇形AOB +SAOB）. 由于时，故；而时，故. 应选D.反思总结 按照思路一的求解过程中，没有推求函数y=f(x)的解析式，而是由题目给出的A，B，C，D四个图形提供的信息，将图形中曲线与直线的不同位置关系联系扇形面积与弓形面积的不同数量关系，直接做出判断，从而减少了运算量，简化了解题过程，显示出运用函数的思想方法，用联系和变化的观点分析处理问题的意义和作用. 例2 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 思路分析 关注注水量V与水深h的变化趋势是解决此题的关键，可以借助自己的生活常识加以解决参考答案1 观察函数的图象可以发现：函数的图象呈现“先陡后平”的几何特征，因而注水量V随着水深h的增加而增加的过程具有“先快后慢”的数量特征，由此判断水瓶的形状应是“下底大而上口小”. 所以应选B参考答案2 观察函数的图象可以发现：当水深时，注水量超过了水瓶总容量的一半，只有形状为B的水瓶符合这一数量特征. 所以应选B反思总结 此题中,给出了函数的图象，而没有给出这一函数的解析表达式,因此需通过对图象的观察与分析做出判断，而不是采用列式计算的方法做出判断. 在观察、分析和判断的过程中，着眼于函数图象的几何特征与数量特征的联系与变化，是贯穿始终的思维脉络. 例3 设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为（ ） A1 B C D思路分析 寻找变化的原因，是推求的最小值的关键.参考答案 由题，构造函数，则，令解得，因时，当时，所以当时，取得最小值.所以应选D反思总结 求函数的最值问题，首先要确定变化的原因，也就是找到“变因”，然后建立自变量和因变量之间的关系，应用函数理论使问题得以解决.此题利用导数的方法求函数的最值，导数是研究函数的重要工具，也是高考考察的重要内容. 例4 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 . 思路分析 存在垂直于轴的切线，即存在斜率为的切线，问题转化为：在范围内导函数存在零点.参考答案1 导函数（）存在零点, 即与存在交点().当不符合题意，当时，如图1，利用数形结合的思想方法知，显然没有交点；当，如图2，此时正好有一个交点，故有，正确答案是.参考答案2 上述也可等价于方程在内有解，分离参数，可知反思总结 函数的图象可以非常直观地刻画两个变量的变化情况.在涉及函数的零点、不等式的解集时，利用函数的图象能比较快速、准确的解决问题.例5 在中，内角，边设内角，周长为() 求函数的解析式和定义域； () 求的最大值 思路分析 依据正弦定理和余弦定理，建立三角形三边和三个角的关系参考答案 依题意，中，内角，边内角，由正弦定理可知，同理可知:.故周长.由于 ， 且，故当时，函数取最大值. 反思总结 这是一道三角函数与三角变换的综合题，通常此类题目是在题设条件中给出三角函数的解析式，要求通过三角变换推导其相关的性质，而此题则是要求考生先根据题意导出三角函数的解析式和定义域，然后通过三角变换推导其最大值.采用这样的方式命制试题，凸现了在考查三角函数的知识的同时，考查函数与方程的思想方法的命题意图，也就是要求考生首先用联系和变化的观点，处理好中相关元素之间的关系，并在此基础上完成解题的全过程.类似的命题方式，也常常出现在解析几何的试题中.例6 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值思路分析 建立直角坐标系，依托椭圆的方程先求出等腰梯形的高,再表示等腰梯形的面积.参考答案 （I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程 ，解得. 由此可得，梯形面积，定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为 反思总结 这是一道解析几何与实际应用问题相结合的综合题，利用椭圆方程找到目标函数后，需要利用导数的方法求目标函数的最大值，凸显了考查学生灵活运用知识解决问题的能力.在解决问题的过程中，要求考生首先用联系和变化的观点，处理好自变量与等腰梯形面积之间的的关系，并在此基础上完成解题的全过程. A组练习1. 设且的最小值是（ ） A B C D2. 函数的最小值为（ ）A190 B171 C90 D453对R，记，函数的最小值是（ ） A0 B C D34.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.B组练习1若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项 2.已知函数,若在区间是增函数，则实数的取值范围为 .3植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） A（1）和（20） B（9）和（10） C（9）和（11） D.（10）和（11）4.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm. （）若广告商要求包装