理论力学10—质点动力学基本方程.ppt

动力学引言、动力学研究物体机械运动与力的关系。 动力学研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。 质点：具有一定的质量，几何形状和大小是可忽略的物体。 质点系：由几个或无限相互关联的质点组成的系统。 刚体：质点系的特殊情况下，其中任意两个质点之间的距离不变，也称为不变质点系。 舰载机通过发动机和弹射器的推力起飞甲板，得知施工中的动力学问题、施工中的动力学问题、初速、一定的时间间隔后知道起飞甲板时的速度，决定弹射器需要施加多少推力，或者需要多少跑道。 如果知道推力和跑道的可能长度，需要多少初速和一定的时间间隔后才能达到起飞甲板时的速度。 工程的实际动力学问题是棒球击球后，其速度的大小和方向发生了变化。 知道这个变化的话，就可以决定球和棒的相互作用力。施工中的动力学问题、载人航天器的交叉与对接、施工中的动力学问题、航天器的姿态控制、施工中的动力学问题、高速列车的振动问题、动力学基本法则运动微分方程动力学两类基本问题、10质点动力学基本方程、牛顿及其对力学发展的贡献，牛顿产生于林肯郡伍素朴城的中等农户。 他出生前父亲去世了，他不到三岁母亲就再婚了，他必须由祖母抚养。 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，1665年获得文学学士学位。 在大学里他全面掌握了当时的数学和光学。 1665-1666年两年间，剑桥流行黑热病，学校暂时停课，他回老家。 在此期间，他发现了二项式定律，开始了光学色实验，即白光由7种色光组成的实验。 然后，躺在树下看着苹果落下，开始思考重力的问题。 30岁时，牛顿被选为皇家协会的会员，是当时英国最高的科学荣誉。 牛顿的光学贡献发现太阳光是由7色光合成的，提出了光微粒子。 牛顿在数学上的主要贡献是独立于莱布尼茨发明微积分，给出了二项式定理。 牛顿在力学上作出最重要的贡献，牛顿对整个自然科学作出最重要贡献的是他的巨着自然哲学之数学原理。 该书出版于1687年，书提出万有引力理论，系统总结了前人动力学的研究成果，后者将该书总结的古典力学系统称为牛顿力学。 10.1动力学基本定律，第一定律(惯性定律)，力不作用的质点是静止的或等速直线运动。 质点保持原来运动状态的属性称为惯性。 10.1动力学的基本法则、第二法则(力与加速度的关系法则)，在古典力学中质点的质量被保存，质点的质量越大，运动状态越不容易变化，即质点的惯性越大。 因此，质量是质点惯性的尺度。 上式是导出其他动力学方程式的起点，称为动力学基本方程式。 质点的质量和加速度的积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向和力的方向相同。 10.1动力学的基本规律，国际计量基准g=9.80665m/s2，一般设为g=9.8m/s2，在国际单位制(SI )中，以长度、时间、质量为基本量，这些单位以米(m )、秒(s )、千克(kg )为基本单位。 其他量是导出量，其单位是导出单位。 在地球表面，任何物体都受重力p的作用。 由重力得到的加速度叫做重力加速度，用g表示。 有第二定律或者10.1动力学的基本定律，虽然质点受力与坐标无关，但应指出牛顿的第一、第二定律不适用于任何坐标，因为质点的加速度与坐标的选择有关。 牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 相反，它是非惯性坐标系。第三定律(作用和反作用定律)在两个物体之间相互作用的力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一作用线同时作用于两个物体。 根据牛顿定律形成的力学理论叫做古典力学。 10.2质点的运动微分方程，2 .质点运动微分方程投影到直角坐标轴，3 .质点运动微分方程投影到自然轴，1 .矢量形式的质点运动微分方程，10.3质点动力学两个基本问题，第一类基本问题：了解质点的运动，求出作用于质点的力。 这类问题本质上可归结为数学求导问题。 第二类基本问题：知道作用于质点的力，求质点的运动。 这类问题本质上可归结为数学解微分方程和积分问题。 10.3质点动力学的两个基本问题，1 .力是常数或时间的简单函数，3 .力是速度的简单函数，分离变量积分，2 .力是利用位置的简单函数，循环求出感应变换，例如10.1，例1图，质量m的质点m在平面oxy内运动，其运动方程式为x=acoswt，y=asinwt，作用于质点以，I，j，v，r，f，解：质点m为对象。 分析运动：运动方程除时间t得到，质点做椭圆运动。 求出运动方程式相对于时间的2次微分系数：代入质点运动微分方程式，能动力的投影为：力f和向量r在同一直线上反转，其大小与向量r的类型成正比，方向指向椭圆中心。 这种力量叫做力量。 y、x、x、b、a、o、m、例10.2，例2质量为1Kg的球m用两根绳子连结，两根绳子的另一端分别与固定点a、b连接。 众所周知，球以速度v=2.5m/s在水平面内进行等速圆周运动，以圆的半径r=0.5m求出两绳的拉伸力。 解：以小球为研究对象，瞬间小球受力如图。 的双曲馀弦值。 m、o、r、b、a、45、60、球在水平面内进行等速圆周运动。 因为可以从表达式(1)、(2)获得、mg、FB、FA、v、和自然坐标系的获取：分析器：可以获得3360，所以只在这时两个带同时受到输入。 否则，只有一根绳子受力。mg、FB、FA、v、an、例10.3、例3从某个场所放射物体，初始速度为v0，放射角为a，忽略空气阻力，求出物体在重力单独作用下的运动规律。 研究了、解：辐射体、列直角坐标形式的质点运动微分方程，积分结果表明，x、y、m，初始条件为、轨迹方程为：物体轨迹为抛物线。 于是，物体的运动方程式为：积分常数为：例如10.4，例如4垂直于地面向上发射物体，求出由地球的引力引起的物体的运动速度，求出第二宇宙速度。 不关心空气阻力和地球自转的影响。 因此，从直角坐标形式的质点运动微分方程式中，将：上式视为解：以物体为研究对象的质点，制作图像坐标。 在质点某处受到地球引力的大小为：分离变量为：物体在地上发射的初速为v0，在空中某个位置x的速度为v，通过积分上式得到，因此物体在某个位置的速度为：物体的速度随着x的增加而减小。 另外，如果是v02gR，则无论x多么大还是无限大，速度v都不会减小为零，因此，将物体向上举起以使得不再返回所需的最小速度设为g=9.8m/s、R=6370km，若代入上式，则物体会以脱离地球的引力范围所需的最小初始速度返回到第二速度例10.5、例5以重力以仰角a初速度v0投掷物体。 设空气阻力与速度成比例，方向与速度方向相反的FR=-Cv，c为阻力系数。 求出辐射体的运动方程式。 解：以物体为研究对象，以其为质点。 创建图标坐标。 某个质点受力。从直角坐标形式的质点运动微分方程式获得的是，v0，v，m，FR，mg，o，y，x，a，q，把它们代入运动微分方程式中，获得：这是两个独立的线性二次常数常微分方程式，并且从常微分方程式理论可知，获得这些解在t=0情况下，x0=0，y0=0； vx0=v0cosa、vy0=v0sina代入上述4式中求出，因此质点的运动方程式是上式为轨迹的参数方程式，轨迹如图所示。 由第1式可知，轨迹为渐近线。 放射体射程： a大、a小时，由运动方程式求出。 另外，质点的速度式由上式可知，质点的速度向水平方向的投影vx不是常数，而是随着时间的经过而减小，在t时，质点的速度向y轴的投影vy的大小和方向随着时间的经过而变化，在t时，vxg/m，方向为垂直向下。 因此，质点的运动经过一定时间后，铅直向下等速运动。 例10.6、例6如图所示，在细的通常杆的前端有小的球m，其质量为m，另一端用平滑的铰链固定。 棒的长度为l，与质量无关，棒在铅直面内运动，最初球处于铅直位置，突然对球施加水平初速v0，求出棒处于任一位置q时对球的约束力。 解：以球为研究对象，以其为质点。 创建图标的自然坐标。 运动学已知：q，o，l，O1，s，v0，m，()，n，t，(1)式是常数系数的二阶非线性微分方程式，其解是椭圆积分且复杂。 一次求出该积分，代入(2)式后求出FT。 因此，q、o、l、O1、s、v0、mg、FT、m、()、n、t等任何位置质点都受力。 由自然坐标形式的质点运动微分方程式得到，即得：初始条件： t=0时，q0=0，将其代入上式，将其代入(2)式，进一步研究以下计算结果： (3)得到，该式表示杆位于任意位置时球的速度。 从这个式子可以看出，当时球是做圆周运动的，不然球就摇晃了。 (4)式给出约束力FT的q角的变化规则。 另外，q=0时，q=p时，如果T=0，则在(4)式中约束力为零时，杆的位置(用qA表示此时的杆的位置)满足条件，因此需要满足T0。 也就是说，因此，区间范围内总是存在确定的qA值，球在这一点上不受杆的作用。 QQQQ时，FT0，即球被压。 例10.7、例7 :质量m长度l的摆动在垂直面内摆动。 初始球的速度为u、=0。 求出绳作用于球的力f ()，分析球的运动。 解： 1、取研究对象图像的尝试2、确定坐标系3、解微分方程式4、解5、分析小球运动、积分运动微分方程式、得到积分上式，运动特征：等时性(周期与初始条件无关)、初始条件：确定微分方程式的通解、积分常数，解： 1、以子