工程图学-几何元素的投影

1,第三章几何元素的投影,2,1投影法,投影中心,投影面,投影线,空间点,投影,S,B,A,b,a,投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。,3,1.2.1中心投影法,S,特点：投影光线交于一点。,4,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。,投影特性,物体位置改变，投影大小也改变。,投射线,物体,投影面,投影,投射中心,5,1.2.2平行投影法,斜投影法,特点：投影光线相互平行。,6,1.2.2平行投影法,正投影法,特点：投影光线相互平行且垂直投影面。,7,投影特性,投影：大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。,斜投影法,正投影法,8,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,9,从属性,1.2.3投影规律,10,平行性,积聚性,11,真实性,类似性,12,1.2.4常用的工程图,1.多面正投影图,典型的多面视图的示例-三视图。真实地表达了零件的内外部结构和形状，配以尺寸标注和其它技术要求后，完全满足了机械加工的要求。,2.轴测图,它的优点是直观性较好，但度量性差，作图较繁。因此，在工程上常用作插图，以弥补多面正投影图直观性差的缺点。,13,2点的投影,2.1点在一个投影面上的投影2.2点在两投影面体系中的投影2.3点在三投影面体系中的投影2.4点的三面投影与直角坐标的关系2.5特殊位置的点2.6两点的相对位置及重影点,14,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,2.1点在一个投影面上的投影,a,15,物体的单面视图,结论：利用单面视图无法确定物体的空间形状,16,2.2点在两投影面体系中的投影,投影面正立投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）投影轴ox轴（简称x轴）V面与H面的交线,两个投影面互相垂直,1.两投影面体系的建立,17,2.空间点A在两个投影面上的投影,X,O,V,H,A,a,a,注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,18,X,O,V,H,A,a,a,4.点的投影规律:,（1）aaOX轴,（2）aax,aax,=Aa（A到V面的距离）,=Aa（A到H面的距离）,a,a,aX,3.投影面展开,省略不画,绕X轴向下旋转90,不动,19,2.3点在三投影面体系中的投影,1.三面投影体系的建立,正立投影面-V面,水平投影面-H面,侧立投影面-W面,2.投影轴,OX轴V面与H面的交线,OZ轴V面与W面的交线,OY轴H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,三面投影体系将空间分为八个分角。,20,3.空间点A在三面投影体系中的投影,X,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,Y,如：空间点A,21,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,绕Z轴向右旋转90,绕X轴向下旋转90,不动,4.投影面展开,a,a,x,a,z,Z,a,a,yh,a,yw,a,X,YH,YW,O,省略不画,22,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,5.点的投影规律:,（1）aaOX轴,（2）aax=,aax=,a,y,YW,Z,az,a,X,YH,ayW,O,a,ax,ayH,a,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa（A到H面的距离）,aaz,aay=,23,例：已知点A的两个投影a,a,求第三,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,Z,O,X,YW,YH,Z,O,X,YH,YW,投影a。,24,2.4点的三面投影与直角坐标的关系,A,a,a,a,X,(a),(b),x,y,z,y,25,空间点的重建法,(a)坐标法,(b)逆投影线法,已知点A的坐标或投影，在大脑中进行,26,2.5特殊位置的点,O,X,b,b,a,b,a,a,X,O,V,H,27,28,2.6两点的相对位置及重影点,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x坐标大的在左,y坐标大的在前,z坐标大的在上,A点在B点之前、之右、之上。,1.两点的相对位置,29,O,比较A、B两点的相对坐标,A点在B点之右,A点在B点之后,A点在B点之上,30,(),ac,c,2.重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加(),A、C为H面的重影点,Z,X,YW,O,YH,31,A、B为水平投影面的重影点,32,a(b),A、B为水平投影面的重影点,C、D为正面投影面的重影点,33,例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,34,例题2已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,35,3直线的投影,3.1直线的投影3.2直线对投影面的相对位置3.3一般位置直线的实长及倾角3.4属于直线的点3.5两直线的相对位置3.6直角投影定理,36,3.1直线的投影,O,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,37,直线对一个投影面的投影特性,3.2直线对投影面的相对位置,直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影不反映线段实长ab=AB*cos,38,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面),正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,39,投影面平行线,V,W,H,Y,X,Z,侧平线,水平线,正平线,40,水平线,实长,在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性：,ABH,ab=AB,abOXabOYW,41,正平线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性：,ABV,ab=AB,abOXabOZ,42,侧平线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。,投影特性：,ABW,ab=AB,abOZabOYH,43,投影面垂直线,V,W,H,Y,X,Z,铅垂线ABH,正垂线ADV,侧垂线ACW,C,D,B,A,44,铅垂线,ABH,2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的H投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,45,正垂线,ABV,2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的V投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,46,侧垂线,ABW,2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的W投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,47,V,W,H,Y,X,Z,B,A,一般位置直线,48,一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性:,Z,X,O,Y,H,49,(4)从属于某一投影面的直线,从属于V面的直线,H,W,V,50,从属于V投影面的铅垂线,H,W,51,从属于OX轴的直线,H,W,V,52,四、作图1求直线的实长及对水平投影面的夹角角2求直线的实长及对正面投影面的夹角角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角例题1,3.3一般位置直线的实长及倾角,53,1求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,AB,ab,|zA-zB|,O,54,2求直线的实长及对正面投影面的夹角角,|yA-yB|,|yA-yB|,AB,55,3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,56,例题已知线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,57,若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。,定比定理,从属性,定比性,3.4属于直线的点,点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,58,例题1已知线段AB的投影图，试将AB分成21两段，求分点C的投影c、c。,59,例题2已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,c,60,例题3已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。,AB,zA-zB,ab,61,例4：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,X,X,Z,X,O,YH,YW,62,3.5两直线的相对位置,两直线平行,两直线相交,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）,两直线交叉,63,两直线平行,O,X,1若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。反之亦然。2平行两线段之比等于其投影之比。,64,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,d,Z,O,YH,YW,Z,YH,YW,65,两直线相交,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。反之亦然。,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,X,66,c,d,k,k,d,例6：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,X,67,例7：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一点的投影特性。,判断方法？,应用定比原理,利用侧面投影,X,68,X,解法一：（应用定比定理）,解法二：（应用侧面投影）,c,a,b,d,c,69,两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合点的投影规律！,X,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线,70,1(2),投影特性：,同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一点的投影规律。,“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,71,例题8判断两直线的相对位置,d,a,c,b,o,交叉两直线,72,例题9判断两直线的相对位置,1d,c1,交叉两直线,73,例题10判断两直线重影点的可见性,74,3.6直角投影定理,75,3.6.1垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,76,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,3.6.2交叉垂直的两直线的投影,77,例题11过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V面。,78,例题12过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,79,例题13作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,80,4平面的投影,4.1平面的表示法4.2平面对投影面的相对位置4.3属于平面上的点和直线,81,4.1平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,X,X,X,X,X,4.1.1平面的几何元素表示法,82,4.1.2平面的迹线表示法,83,84,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,85,侧垂面,投影面垂直面,V,W,H,Y,X,Z,正垂面,铅垂面,86,c,c,铅垂面,a,b,c,a,b,b,a,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,Z,类似性,类似性,X,O,YH,YW,87,铅垂面的迹线表示,88,c,c,正垂面,a,b,c,a,b,b,a,积聚性,正垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,Z,类似性,X,O,YH,YW,类似性,89,正垂面的迹线表示,90,c,c,侧垂面,a,b,c,a,b,b,a,积聚性,侧垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,Z,类似性,类似性,X,O,YH,YW,91,侧垂面的迹线表示,92,侧平面,正平面,水平面,投影面平行面,93,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,它在水平投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,94,积聚性,积聚性,实形性,正平面,投影特性：,它在正面投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,95,积聚性,积聚性,侧平面,投影特性：,它在侧面投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,实形性,96,一般位置平面,三个投影都为类似形。,投影特性：,平面与三个投影面都倾斜。,97,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。,思考：此题有几个解？,Z,X,O,YH,YW,98,4.3属于平面的点和直线,4.3.1属于一般位置平面的点和直线4.3.2属于特殊位置平面的点和直线4.3.3属于平面的投影面平行线4.3.4属于平面的最大斜度线*,99,4.3.1属于一般位置平面的点和直线,1平面上的直线直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。例题1例题2例题3,100,1取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,101,位于平面上的直线应满足的条件：,平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,P,Q,102,d,例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,X,X,103,2取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,104,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,X,X,105,例题1已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。,e,e,106,例题2已知点D在ABC上,试求点D的水平投影。,d,107,例题3已知点E在ABC上,试求点E的正面投影。,108,4.3.2属于特殊位置平面的点和直线,1取属于投影面垂直面的点和直线2过一般位置直线总可作投影面的垂直面(1)几何元素表示法(2)迹线表示法3过特殊位置直线作平面(1)过正垂线作平面(2)过正平线作平面,109,1取属于投影面垂直面的点和直线,110,2过一般位置直线总可作投影面的垂直面,过一般位置直线AB作铅垂面PH,过一般位置直线AB作正垂面SV,111,m,n,(1)过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法),112,(2)过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法),b,a,SV,QW,PH,113,过正垂线作平面(迹线表示法),PV,SV,QV,RV,（a）给题,（c）作侧垂面,（b）作水平面,（d）作正垂面（有无穷多个）,114,过正平线作平面,PH,SH,g,g,（a）给题,（c）作正垂面,（b）作正平面,（d）作一般位置平面（有无穷多个）,115,4.3.3属于平面的投影面平行线,属于平面的水平线和正平线例题4例题5例题6例题7,116,属于平面的水平线和正平线,PV,PH,117,例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！,118,例题4已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,m,n,n,m,119,例题5已知点E在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。,120,d,e,例题6在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,121,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例题7已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,X,X,122,4.3.4属于平面的最大斜度线*,1平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线例题8例题9例题10例题11,123,124,1.平面上对水平投影面H的最大斜度线EF,AB平行于H，EF垂直于AB,125,2.平面上对正面投影面V的最大斜度线CD,AB平行于V，CD垂直于AB,126,3.平面上对侧面投影面W的最大斜度线MN,AB平行于W，MN垂直于AB,127,例题8求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。,b,128,例题9求ABC平面与水平投影面的夹角。,be,BE,129,例题10过正平线作平面与水平投影面成60。,ab,AB,130,例题11已知直线EF为平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。,给题,5直线与平面及两平面的相对位置,5.1平行问题5.2相交问题5.3垂直问题5.4综合问题分析及解法,基本要求,（一）平行问题1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。,直线与平面平行,两平面平行,5.1平行问题,直线与平面平行,b,B,a,A,P,若：ABab则：ABP,若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。,几何条件：,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,结论：直线AB不平行于定平面,例1试判断直线AB是否平行于定平面,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例2过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,X,正平线,例3过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,X,例4试过点K作水平线AB平行于CDE平面,直线与特殊位置平面平行,当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。,两平面平行,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,几何条件：,两平面平行的作图问题有：,两平面平行,若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,AB；AC；则：PQ,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,两特殊位置平面平行,两特殊位置平面平行,两一般位置平面平行,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例1判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知ABCDEFMH,例2试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例3已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,例4试判断两平面是否平行。,结论：因为PH平行SH，所以两平面平行,直线与平面相交,两平面相交,5.2相交问题,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,1.直线与平面相交,要讨论的问题：,(1)求直线与平面的交点。,(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。,我们将分别讨论直线与平面至少有一个处于特殊位置的情况和一般情况。,2.两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,5.2.1特殊位置线面相交,直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交,1.直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,2.判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,例1求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析:,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析:,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。,1,(2),X,(),k,例2求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别其可见性。,5.2.2一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线2.判断平面的可见性,1.求交线,2.判断平面的可见性,2.判断平面的可见性,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例3求两平面的交线MN并判别可见性。,空间及投影分析：,求交线,判别可见性,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,还可通过重影点判别可见性,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析：,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc可见。,作图,X,2,1,1(2),c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,n,n,5.2.3直线与一般位置平面相交,以正垂面为辅助平面求线面交点示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图判别可见性示意图,1,2,QV,步骤：1过EF作正垂平面Q。,2求Q平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,以正垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,过EF作正垂面Q,E,以正垂面为辅助平面求线面交点示意图,1,2,PH,步骤：1过EF作铅垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,以铅垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,过EF作铅垂面P,以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图,F,f,e,e,直线EF与平面ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（）,示意图,(),利用重影点判别可见性,直线EF与平面ABC相交，判别可见性。,示意图,5.2.4两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性,两一般位置平面相交，求交线步骤：1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,例4,求两平面的交线,两一般位置平面相交求交线的方法示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,(),(),5.2.5综合性问题解法,试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。,综合性问题解法,综合性问题解法,综合性问题解法,例5,过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,分析,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H。,3连接KH，KH即为所求。,作图,直线与平面垂直,两平面互相垂直,5.3垂直问题,5.3.1直线与平面垂直,几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。,a,例6平面由BDF给定，试过定点M作平面的垂线。,h,例7试过定点K作特殊位置平面的法线。,X,O,例8平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。,例9试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60，与H面的夹角为45。,平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角。,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,分析,|yM-yN|,|zM-zN|,m,mn,m,mn,X,O,作图过程,几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。,5.3.2两平面垂直,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,X,O,例10平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面,结论：两平面不垂直,X,O,例11试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。,5.4.1空间几何元素定位问题,5.4.2空间几何元素度量问题,5.4综合问题分析及解法,5.4.3综合问题解题举例,求解综合问题主要包括：,平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。,综合问题解题的一般步骤：1.分析题意2.明确所求结果，找出解题方法3.拟定解题步骤,空间几何元素的定位问题（交点、